🎓 12. Sınıf
📚 12. Sınıf Matematik
💡 12. Sınıf Matematik: Çarpanlara ayırma Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Çarpanlara ayırma Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
📌 Ortak Çarpan Parantezine Alma
12. Sınıf matematik hazırlıklarında temel olan \( 5x^2y - 10xy^2 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 💡
12. Sınıf matematik hazırlıklarında temel olan \( 5x^2y - 10xy^2 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 💡
Çözüm:
Verilen ifadenin katsayılarındaki en büyük ortak bölen ve değişkenlerdeki ortak dereceler belirlenir.
- Adım 1: Sayısal katsayılar olan \( 5 \) ve \( 10 \) sayıları için ortak bölen \( 5 \)'tir.
- Adım 2: Değişkenler incelendiğinde her iki terimde de en düşük \( x \) ve \( y \) dereceleri sırasıyla \( x \) ve \( y \)'dir.
- Adım 3: Ortak çarpan \( 5xy \) parantezine alınırsa ifade şu şekle gelir: \( 5xy(x - 2y) \)
Örnek 2:
📌 Gruplandırma Yöntemi
\( ax + ay + bx + by \) cebirsel ifadesinin en sade çarpanlarına ayrılmış halini bulunuz. 🔍
\( ax + ay + bx + by \) cebirsel ifadesinin en sade çarpanlarına ayrılmış halini bulunuz. 🔍
Çözüm:
İfade ikişerli gruplara ayrılarak ortak çarpan aranır.
- Adım 1: İlk iki terim \( a \) ortak parantezine alınır: \( a(x + y) \)
- Adım 2: Son iki terim \( b \) ortak parantezine alınır: \( b(x + y) \)
- Adım 3: Elde edilen yeni ifade ortak \( (x + y) \) parantezine yazılır: \( (x + y)(a + b) \)
Örnek 3:
📌 İki Kare Farkı Özdeşliği
\( 9x^2 - 16y^2 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi nedir? 🎯
\( 9x^2 - 16y^2 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış biçimi nedir? 🎯
Çözüm:
İki terimin karelerinin farkı kuralı uygulanır.
- Adım 1: Birinci terim olan \( 9x^2 \), \( (3x)^2 \) olarak yazılır.
- Adim 2: İkinci terim olan \( 16y^2 \), \( (4y)^2 \) olarak yazılır.
- Adim 3: İki kare farkı kuralı \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) formülüne göre açılır: \( (3x - 4y)(3x + 4y) \)
Örnek 4:
📌 Tam Kare Özdeşliği
\( x^2 + 6x + 9 \) ifadesini çarpanlarına ayırarak yazınız. 📝
\( x^2 + 6x + 9 \) ifadesini çarpanlarına ayırarak yazınız. 📝
Çözüm:
İfade bir tam kare açılımıdır.
- Adım 1: Birinci terim \( x^2 \), \( x \)'in karesidir.
- Adım 2: Son terim \( 9 \), \( 3 \)'ün karesidir.
- Adım 3: Ortadaki terim \( 6x \), birinci ile ikincinin çarpımının iki katı olan \( 2 \cdot x \cdot 3 \) ifadesine eşittir.
- Adım 4: Bu durumda ifade \( (x + 3)^2 \) şeklinde yazılır.
Örnek 5:
📌 İkinci Dereceden Denklemlerde Çarpanlara Ayırma
\( 2x^2 - 5x - 3 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 🚀
\( 2x^2 - 5x - 3 \) ifadesini çarpanlarına ayırınız. 🚀
Çözüm:
Çapraz çarpım yöntemi veya kök bulma mantığı kullanılır.
- Adım 1: \( 2x^2 \) ifadesi \( 2x \) ve \( x \) olarak çarpanlarına ayrılır.
- Adım 2: Sabit terim olan \( -3 \) sayısı \( -3 \) ve \( 1 \) olarak seçilir.
- Adım 3: Çapraz çarpımların toplamı ortadaki \( -5x \) terimini vermelidir: \( (2x + 1)(x - 3) \) kontrol edilirse \( 2x \cdot (-3) + 1 \cdot x = -5x \) bulunur.
Örnek 6:
📌 Geometrik Alan Problemi
Kenar uzunluğu \( x \) birim olan bir kare şeklindeki kartonun bir köşesinden kenar uzunluğu \( y \) birim olan kare kesilip çıkarılıyor. Kalan bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış halini bulunuz. 📐
Kenar uzunluğu \( x \) birim olan bir kare şeklindeki kartonun bir köşesinden kenar uzunluğu \( y \) birim olan kare kesilip çıkarılıyor. Kalan bölgenin alanını veren cebirsel ifadenin çarpanlarına ayrılmış halini bulunuz. 📐
Çözüm:
Alanlar farkı hesabı yapılır.
- Adım 1: Büyük karenin alanı \( x^2 \) birimkaredir.
- Adım 2: Kesilen küçük karenin alanı \( y^2 \) birimkaredir.
- Adım 3: Kalan alan \( x^2 - y^2 \) olur.
- Adım 4: İki kare farkı özdeşliği uygulanırsa alan \( (x - y)(x + y) \) olarak bulunur.
Örnek 7:
📌 Maliyet ve Kar Hesaplaması
Bir imalathanede üretilen \( x \) adet ürünün toplam maliyet fonksiyonu \( M(x) = x^2 + 8x + 15 \) TL olarak belirlenmiştir. Birim maliyeti \( x \) cinsinden bulabilmek için bu ifadeyi çarpanlarına ayırınız. 💰
Bir imalathanede üretilen \( x \) adet ürünün toplam maliyet fonksiyonu \( M(x) = x^2 + 8x + 15 \) TL olarak belirlenmiştir. Birim maliyeti \( x \) cinsinden bulabilmek için bu ifadeyi çarpanlarına ayırınız. 💰
Çözüm:
Toplam maliyet, üretilen miktar ile birim maliyetin çarpımıdır.
- Adım 1: \( x^2 + 8x + 15 \) ifadesinin çarpanları aranır.
- Adım 2: Çarpımları \( 15 \), toplamları \( 8 \) olan iki sayı \( 5 \) ve \( 3 \)'tür.
- Adım 3: İfade \( (x + 5)(x + 3) \) biçiminde çarpanlarına ayrılır.
Örnek 8:
📌 Kübik Özdeşlikler
\( x^3 - 8 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış en sade halini yazınız. ⭐
\( x^3 - 8 \) ifadesinin çarpanlarına ayrılmış en sade halini yazınız. ⭐
Çözüm:
İki küp farkı özdeşliği kullanılır.
- Adım 1: İfade \( x^3 - 2^3 \) şeklinde yazılır.
- Adım 2: İki küp farkı kuralı \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \) formülü hatırlanır.
- Adım 3: Formülde \( a = x \) ve \( b = 2 \) yazıldığında ifade \( (x - 2)(x^2 + 2x + 4) \) olur.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-carpanlara-ayirma/sorular