💡 12. Sınıf Matematik: Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemler Çözümlü Örnekler

Denklemi çözmek için bilinmeyeni yalnız bırakmalıyız. İşte adım adım çözüm:

• Adım 1: Eşitliğin sol tarafındaki \( -12 \) sayısını karşı tarafa \( +12 \) olarak geçirelim.
  \( 4x = 20 + 12 \)
• Adım 2: Toplama işlemini yapalım.
  \( 4x = 32 \)
• Adım 3: \( x \) değerini bulmak için her iki tarafı \( 4 \) sayısına bölelim.
  \( x = \frac{32}{4} \)
• Adım 4: Sonucu hesaplayalım.
  \( x = 8 \)

✅ Denklemin çözüm kümesi \( \{8\} \) olarak bulunur.

Parantezleri dağıtarak işleme başlayalım:

• Adım 1: Çarpmanın toplama ve çıkarma işlemleri üzerine dağılma özelliğini uygulayalım.
  \( 3x + 6 - 2x + 8 = 15 \)
• Adım 2: Sol taraftaki benzer terimleri kendi aralarında toplayalım.
  \( (3x - 2x) + (6 + 8) = 15 \)
  \( x + 14 = 15 \)
• Adım 3: \( +14 \) sayısını eşitliğin sağ tarafına \( -14 \) olarak geçirelim.
  \( x = 15 - 14 \)
• Adım 4: Sonucu bulalım.
  \( x = 1 \)

💡 İpucu: Parantez önündeki eksi işaretini dağıtırken içerideki terimlerin işaretlerini değiştirmeyi unutmayın!

Paydaları eşitleyerek denklemi daha basit bir hale getirelim:

• Adım 1: Paydaları \( 6 \) sayısında eşitleyelim. İlk kesri \( 3 \), ikinci kesri \( 2 \) ile genişletelim.
  \( \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = 10 \)
• Adım 2: Ortak paydada toplayalım.
  \( \frac{5x}{6} = 10 \)
• Adım 3: İçler dışlar çarpımı yapalım.
  \( 5x = 10 \times 6 \)
  \( 5x = 60 \)
• Adım 4: Her iki tarafı \( 5 \) ile bölelim.
  \( x = 12 \)

👉 Rasyonel denklemlerde payda eşitlemek en güvenli yoldur.

Bu tür denklemlerde en hızlı yöntem içler dışlar çarpımı yapmaktır:

• Adım 1: Çapraz çarpımları birbirine eşitleyelim.
  \( 3(2x - 3) = 5(x + 1) \)
• Adım 2: Sayıları parantez içine dağıtalim.
  \( 6x - 9 = 5x + 5 \)
• Adım 3: Bilinmeyenleri bir tarafa, sayıları diğer tarafa toplayalım.
  \( 6x - 5x = 5 + 9 \)
• Adım 4: İşlemleri sonuçlandıralım.
  \( x = 14 \)

✅ Denklemi sağlayan \( x \) değeri \( 14 \) olarak hesaplanmıştır.

Problemi matematiksel bir denkleme dönüştürelim:

• Adım 1: Değişkenleri belirleyelim.
  \( 5 \) TL sayısına \( x \) diyelim.
  Toplam \( 20 \) para olduğu için, \( 1 \) TL sayısı \( 20 - x \) olur.
• Adım 2: Toplam tutar denklemini kuralım.
  \( 5 \times x + 1 \times (20 - x) = 52 \)
• Adım 3: Denklemi çözelim.
  \( 5x + 20 - x = 52 \)
  \( 4x + 20 = 52 \)
• Adım 4: Sayıyı karşıya atalım.
  \( 4x = 52 - 20 \)
  \( 4x = 32 \)
• Adım 5: Bölme işlemini yapalım.
  \( x = 8 \)

📌 Kumbarada 8 tane \( 5 \) TL bulunmaktadır.

Günlük hayattaki bu durumu bir bilinmeyenli denklemle ifade edelim:

• Adım 1: Gidilen yol miktarını \( x \) kilometre olarak kabul edelim.
• Adım 2: Toplam ücret formülünü yazalım.
  Açılış Ücreti + (Kilometre Başı Ücret \(\times\) Yol) = Toplam Ödenen
  \( 15 + 8x = 135 \)
• Adım 3: Denklemi çözelim. \( 15 \) sayısını karşıya atalım.
  \( 8x = 135 - 15 \)
  \( 8x = 120 \)
• Adım 4: Her iki tarafı \( 8 \)'e bölelim.
  \( x = 15 \)

🚕 Bu kişi toplamda 15 kilometre yol gitmiştir.

Geometrik verileri denkleme dökelim:

• Adım 1: Kısa kenara \( x \) diyelim.
  Uzun kenar bu durumda \( 3x - 2 \) olur.
• Adım 2: Çevre formülünü hatırlayalım.
  Çevre = \( 2 \times \) (Kısa Kenar + Uzun Kenar)
  \( 2 \times (x + 3x - 2) = 44 \)
• Adım 3: Parantez içini düzenleyelim.
  \( 2 \times (4x - 2) = 44 \)
• Adım 4: Her iki tarafı \( 2 \)'ye bölelim.
  \( 4x - 2 = 22 \)
• Adım 5: Denklemi sonuçlandıralım.
  \( 4x = 24 \)
  \( x = 6 \)

📏 Dikdörtgenin kısa kenarı 6 cm olarak bulunur.

Birinci dereceden bir bilinmeyenli denklemlerde \( ax + b = cx + d \) yapısında çözüm kümesinin boş küme olması için \( x \)'li terimlerin katsayıları eşit, sabit terimler ise farklı olmalıdır.

• Adım 1: Denklemin her iki tarafındaki \( x \)'li terimleri inceleyelim.
  Sol tarafın katsayısı: \( a - 3 \)
  Sağ tarafın katsayısı: \( 5 \)
• Adım 2: Çözümün olmaması için bu katsayıları birbirine eşitleyelim.
  \( a - 3 = 5 \)
• Adım 3: \( a \) değerini bulalım.
  \( a = 5 + 3 \)
  \( a = 8 \)
• Adım 4: Kontrol edelim.
  Eğer \( a = 8 \) olursa denklem \( 5x + 7 = 5x - 2 \) halini alır. Buradan \( 7 = -2 \) gibi yanlış bir ifade çıkar ki bu da çözüm kümesinin boş küme (\( \emptyset \)) olduğunu kanıtlar.

⚠️ Sonuç: \( a = 8 \) olmalıdır.