💡 12. Sınıf Matematik: Belirli integral Çözümlü Örnekler
12. Sınıf Matematik: Belirli integral Çözümlü Örnekler
- Adım 1: İntegrali alınacak fonksiyonun belirsiz integralini bulunuz.
- Adım 2: İntegralin üst ve alt sınırlarını belirsiz integrale uygulayarak farkını bulunuz.
Fonksiyonumuz \( f(x) = 2x + 1 \). Bu fonksiyonun integrali:
\[ \int (2x + 1) \, dx = 2 \int x \, dx + \int 1 \, dx \]Temel integral alma kurallarına göre \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) ve \( \int c \, dx = cx \) olduğundan:
\[ 2 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + x = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) + x = x^2 + x \]Belirsiz integralimiz \( x^2 + x \) olarak bulunur. Belirli integralde sabit \( C \) yazılmaz.
Belirli integralin değeri, belirsiz integralin üst sınırındaki değeri ile alt sınırındaki değerinin farkına eşittir. Yani, \( [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \).
Burada \( F(x) = x^2 + x \), alt sınır \( a = 1 \) ve üst sınır \( b = 3 \)'tür.
\[ \int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx = [x^2 + x]_{1}^{3} \]Şimdi üst sınırı yerine koyalım:
\[ F(3) = (3)^2 + 3 = 9 + 3 = 12 \]Şimdi alt sınırı yerine koyalım:
\[ F(1) = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \]Son olarak farkı alalım:
\[ F(3) - F(1) = 12 - 2 = 10 \]- Adım 1: \( \sin(x) \) fonksiyonunun belirsiz integralini bulunuz.
- Adım 2: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayınız.
Temel integral kurallarından biliyoruz ki \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \). Sabit \( C \) belirli integralde kullanılmaz.
İntegralimiz \( [-\cos(x)]_{0}^{\pi/2} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = \pi/2 \) yerine koyalım:
\[ -\cos(\pi/2) = -0 = 0 \]Alt sınırı \( x = 0 \) yerine koyalım:
\[ -\cos(0) = -1 \]Şimdi farkı alalım:
\[ F(\pi/2) - F(0) = 0 - (-1) = 1 \]- Adım 1: Alanı temsil eden belirli integrali kurunuz.
- Adım 2: İntegrali alınacak fonksiyonun belirsiz integralini bulunuz.
- Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak alanı hesaplayınız.
İstenen alan, \( y = x^2 \) fonksiyonunun \( x=1 \) ve \( x=2 \) arasındaki x-ekseni ile sınırladığı alandır. Bu alan şu belirli integral ile ifade edilir:
\[ \text{Alan} = \int_{1}^{2} x^2 \, dx \]Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \). Bu fonksiyonun integrali:
\[ \int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \]İntegralimiz \( \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = 2 \) yerine koyalım:
\[ \frac{(2)^3}{3} = \frac{8}{3} \]Alt sınırı \( x = 1 \) yerine koyalım:
\[ \frac{(1)^3}{3} = \frac{1}{3} \]Şimdi farkı alalım:
\[ \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]- Adım 1: Alınan yolu veren belirli integrali kurunuz.
- Adım 2: İntegrali alınacak fonksiyonun belirsiz integralini bulunuz.
- Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak yolu hesaplayınız.
Hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı yol, hız fonksiyonunun \( t=0 \) ile \( t=3 \) arasındaki integralidir:
\[ \text{Yol} = \int_{0}^{3} v(t) \, dt = \int_{0}^{3} (3t^2 + 2t) \, dt \]Fonksiyonumuz \( v(t) = 3t^2 + 2t \). Bu fonksiyonun integrali:
\[ \int (3t^2 + 2t) \, dt = 3 \int t^2 \, dt + 2 \int t \, dt \]Temel integral kurallarını kullanarak:
\[ 3 \left( \frac{t^{2+1}}{2+1} \right) + 2 \left( \frac{t^{1+1}}{1+1} \right) = 3 \left( \frac{t^3}{3} \right) + 2 \left( \frac{t^2}{2} \right) = t^3 + t^2 \]İntegralimiz \( [t^3 + t^2]_{0}^{3} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( t = 3 \) yerine koyalım:
\[ (3)^3 + (3)^2 = 27 + 9 = 36 \]Alt sınırı \( t = 0 \) yerine koyalım:
\[ (0)^3 + (0)^2 = 0 + 0 = 0 \]Şimdi farkı alalım:
\[ 36 - 0 = 36 \]- Adım 1: Toplam su miktarını veren belirli integrali tanımlayınız.
- Adım 2: İntegrali alınacak fonksiyonun belirsiz integralini bulunuz.
- Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak toplam su miktarını hesaplayınız.
İlk 4 dakikada depoya pompalanan toplam su miktarı, hız fonksiyonunun \( t=0 \) ile \( t=4 \) arasındaki integraline eşittir:
\[ \text{Toplam Su} = \int_{0}^{4} r(t) \, dt = \int_{0}^{4} (2t + 5) \, dt \]Fonksiyonumuz \( r(t) = 2t + 5 \). Bu fonksiyonun integrali:
\[ \int (2t + 5) \, dt = 2 \int t \, dt + \int 5 \, dt \]Temel integral kurallarını kullanarak:
\[ 2 \left( \frac{t^{1+1}}{1+1} \right) + 5t = 2 \left( \frac{t^2}{2} \right) + 5t = t^2 + 5t \]İntegralimiz \( [t^2 + 5t]_{0}^{4} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( t = 4 \) yerine koyalım:
\[ (4)^2 + 5(4) = 16 + 20 = 36 \]Alt sınırı \( t = 0 \) yerine koyalım:
\[ (0)^2 + 5(0) = 0 + 0 = 0 \]Şimdi farkı alalım:
\[ 36 - 0 = 36 \]- Adım 1: Sabit fonksiyonun integralini alınız.
- Adım 2: Belirli integralin sınırlarını uygulayınız.
Sabit fonksiyon \( f(x) = 3 \) olduğundan, integrali \( \int 3 \, dx = 3x \) olur.
İntegralimiz \( [3x]_{2}^{5} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = 5 \) yerine koyalım:
\[ 3(5) = 15 \]Alt sınırı \( x = 2 \) yerine koyalım:
\[ 3(2) = 6 \]Şimdi farkı alalım:
\[ 15 - 6 = 9 \]- Adım 1: Fonksiyonun tek fonksiyon olup olmadığını kontrol ediniz.
- Adım 2: Tek fonksiyonların belirli integral özelliğini uygulayınız.
Bir fonksiyonun tek fonksiyon olması için \( f(-x) = -f(x) \) özelliğini sağlaması gerekir.
Fonksiyonumuz \( f(x) = x^3 + x \). O halde \( f(-x) \) hesaplayalım:
\[ f(-x) = (-x)^3 + (-x) = -x^3 - x \]Şimdi \( -f(x) \) hesaplayalım:
\[ -f(x) = -(x^3 + x) = -x^3 - x \]Gördüğümüz gibi \( f(-x) = -f(x) \) olduğundan, \( f(x) = x^3 + x \) tek bir fonksiyondur. 💡
Tek bir fonksiyonun simetrik bir aralıkta (örneğin \( [-a, a] \)) belirli integrali her zaman sıfırdır.
Bizim integralimiz \( \int_{-1}^{1} (x^3 + x) \, dx \) olup, aralık \( [-1, 1] \) simetriktir ve fonksiyonumuz tek fonksiyondur.
\[ \int_{-1}^{1} (x^3 + x) \, dx = 0 \]- Adım 1: \( e^{2x} \) fonksiyonunun belirsiz integralini bulunuz.
- Adım 2: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayınız.
Genel olarak \( \int e^{ax} \, dx = \frac{1}{a} e^{ax} + C \) formülünü kullanırız.
Burada \( a=2 \) olduğundan, belirsiz integralimiz:
\[ \int e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \]İntegralimiz \( \left[\frac{1}{2} e^{2x}\right]_{0}^{\ln 2} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = \ln 2 \) yerine koyalım:
\[ \frac{1}{2} e^{2(\ln 2)} \]Üslü sayılarda \( e^{a \ln b} = e^{\ln b^a} = b^a \) özelliğini kullanarak:
\[ \frac{1}{2} e^{\ln 2^2} = \frac{1}{2} e^{\ln 4} = \frac{1}{2} \times 4 = 2 \]Alt sınırı \( x = 0 \) yerine koyalım:
\[ \frac{1}{2} e^{2(0)} = \frac{1}{2} e^0 \]Herhangi bir sayının 0. kuvveti 1 olduğundan:
\[ \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \]Şimdi farkı alalım:
\[ 2 - \frac{1}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \]Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/12-sinif-matematik-belirli-integral/sorular