Temel integral alma kurallarına göre \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) ve \( \int c \, dx = cx \) olduğundan:
\[ 2 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + x = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) + x = x^2 + x \]
Belirsiz integralimiz \( x^2 + x \) olarak bulunur. Belirli integralde sabit \( C \) yazılmaz.
Adım 2: İntegralin üst ve alt sınırlarını belirsiz integrale uygulayarak farkını bulunuz.
Belirli integralin değeri, belirsiz integralin üst sınırındaki değeri ile alt sınırındaki değerinin farkına eşittir. Yani, \( [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \).
Burada \( F(x) = x^2 + x \), alt sınır \( a = 1 \) ve üst sınır \( b = 3 \)'tür.
✅ Sonuç olarak, \( \int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx = 10 \) olarak bulunur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Belirli integrali kullanarak \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \) integralini hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda trigonometrik bir fonksiyonun belirli integralini alacağız.
Adım 1: \( \sin(x) \) fonksiyonunun belirsiz integralini bulunuz.
Temel integral kurallarından biliyoruz ki \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \). Sabit \( C \) belirli integralde kullanılmaz.
Adım 2: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayınız.
İntegralimiz \( [-\cos(x)]_{0}^{\pi/2} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = \pi/2 \) yerine koyalım:
\[ -\cos(\pi/2) = -0 = 0 \]
Alt sınırı \( x = 0 \) yerine koyalım:
\[ -\cos(0) = -1 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ F(\pi/2) - F(0) = 0 - (-1) = 1 \]
💡 Unutmayın, \( \cos(\pi/2) = 0 \) ve \( \cos(0) = 1 \)'dir.
✅ Sonuç olarak, \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx = 1 \) bulunur.
3
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Belirli integralin geometrik yorumunu kullanarak, \( y = x^2 \) eğrisi, x-ekseni ve \( x=1 \) ile \( x=2 \) doğruları arasında kalan alanı hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Belirli integral, bir eğrinin x-ekseni ile sınırladığı alanın ölçüsünü verir. Bu soruda, \( y = x^2 \) eğrisinin belirli sınırlar altındaki alanını hesaplayacağız.
Adım 1: Alanı temsil eden belirli integrali kurunuz.
İstenen alan, \( y = x^2 \) fonksiyonunun \( x=1 \) ve \( x=2 \) arasındaki x-ekseni ile sınırladığı alandır. Bu alan şu belirli integral ile ifade edilir:
\[ \text{Alan} = \int_{1}^{2} x^2 \, dx \]
Adım 2: İntegrali alınacak fonksiyonun belirsiz integralini bulunuz.
Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \). Bu fonksiyonun integrali:
Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak alanı hesaplayınız.
İntegralimiz \( \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = 2 \) yerine koyalım:
\[ \frac{(2)^3}{3} = \frac{8}{3} \]
Alt sınırı \( x = 1 \) yerine koyalım:
\[ \frac{(1)^3}{3} = \frac{1}{3} \]
Şimdi farkı alalım:
\[ \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]
✅ Bu durumda, \( y = x^2 \) eğrisi, x-ekseni ve \( x=1 \) ile \( x=2 \) doğruları arasında kalan alan \( \frac{7}{3} \) birimkaredir.
4
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir hareketlinin \( t \) saniye sonraki hızı \( v(t) = 3t^2 + 2t \) metre/saniye olarak verilmiştir. Bu hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı toplam yolu bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Hareketlinin aldığı yol, hız fonksiyonunun zamana göre belirli integralini alarak bulunur. Hız, yer değiştirmenin zamana göre türevi olduğundan, integrali yer değiştirmeyi (yolu) verir.
Adım 1: Alınan yolu veren belirli integrali kurunuz.
Hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı yol, hız fonksiyonunun \( t=0 \) ile \( t=3 \) arasındaki integralidir:
Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak yolu hesaplayınız.
İntegralimiz \( [t^3 + t^2]_{0}^{3} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( t = 3 \) yerine koyalım:
\[ (3)^3 + (3)^2 = 27 + 9 = 36 \]
Alt sınırı \( t = 0 \) yerine koyalım:
\[ (0)^3 + (0)^2 = 0 + 0 = 0 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ 36 - 0 = 36 \]
✅ Bu hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı toplam yol 36 metredir.
5
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir su deposuna sabit bir hızla su pompalanmaktadır. Depoya \( t \) dakika boyunca pompalanan su miktarı \( V(t) \) litre olsun. Eğer depoya su pompalama hızı \( r(t) = 2t + 5 \) litre/dakika ise, ilk 4 dakikada depoya toplam kaç litre su pompalanmıştır?
Çözüm ve Açıklama
Bu soruda, su pompalama hızının belirli integralini alarak belirli bir zaman aralığında depoya giren toplam su miktarını bulacağız. Hız, miktarın zamana göre değişim oranıdır; bu nedenle integrali toplam miktarı verir.
Adım 1: Toplam su miktarını veren belirli integrali tanımlayınız.
İlk 4 dakikada depoya pompalanan toplam su miktarı, hız fonksiyonunun \( t=0 \) ile \( t=4 \) arasındaki integraline eşittir:
Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak toplam su miktarını hesaplayınız.
İntegralimiz \( [t^2 + 5t]_{0}^{4} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( t = 4 \) yerine koyalım:
\[ (4)^2 + 5(4) = 16 + 20 = 36 \]
Alt sınırı \( t = 0 \) yerine koyalım:
\[ (0)^2 + 5(0) = 0 + 0 = 0 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ 36 - 0 = 36 \]
✅ İlk 4 dakikada depoya toplam 36 litre su pompalanmıştır. 💧
6
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
\( \int_{2}^{5} 3 \, dx \) belirli integralini hesaplayınız.
Çözüm ve Açıklama
Bu integral, sabit bir fonksiyonun belirli integralidir. Sabit bir fonksiyonun integrali, fonksiyonun değeri ile integral aralığının uzunluğunun çarpımına eşittir.
Adım 1: Sabit fonksiyonun integralini alınız.
Sabit fonksiyon \( f(x) = 3 \) olduğundan, integrali \( \int 3 \, dx = 3x \) olur.
Adım 2: Belirli integralin sınırlarını uygulayınız.
İntegralimiz \( [3x]_{2}^{5} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = 5 \) yerine koyalım:
\[ 3(5) = 15 \]
Alt sınırı \( x = 2 \) yerine koyalım:
\[ 3(2) = 6 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ 15 - 6 = 9 \]
✅ Sonuç olarak, \( \int_{2}^{5} 3 \, dx = 9 \) bulunur.
Temel integral alma kurallarına göre \( \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \) ve \( \int c \, dx = cx \) olduğundan:
\[ 2 \left( \frac{x^{1+1}}{1+1} \right) + x = 2 \left( \frac{x^2}{2} \right) + x = x^2 + x \]
Belirsiz integralimiz \( x^2 + x \) olarak bulunur. Belirli integralde sabit \( C \) yazılmaz.
Adım 2: İntegralin üst ve alt sınırlarını belirsiz integrale uygulayarak farkını bulunuz.
Belirli integralin değeri, belirsiz integralin üst sınırındaki değeri ile alt sınırındaki değerinin farkına eşittir. Yani, \( [F(x)]_a^b = F(b) - F(a) \).
Burada \( F(x) = x^2 + x \), alt sınır \( a = 1 \) ve üst sınır \( b = 3 \)'tür.
✅ Sonuç olarak, \( \int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx = 10 \) olarak bulunur.
Örnek 2:
Belirli integrali kullanarak \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx \) integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu soruda trigonometrik bir fonksiyonun belirli integralini alacağız.
Adım 1: \( \sin(x) \) fonksiyonunun belirsiz integralini bulunuz.
Temel integral kurallarından biliyoruz ki \( \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) \). Sabit \( C \) belirli integralde kullanılmaz.
Adım 2: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayınız.
İntegralimiz \( [-\cos(x)]_{0}^{\pi/2} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = \pi/2 \) yerine koyalım:
\[ -\cos(\pi/2) = -0 = 0 \]
Alt sınırı \( x = 0 \) yerine koyalım:
\[ -\cos(0) = -1 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ F(\pi/2) - F(0) = 0 - (-1) = 1 \]
💡 Unutmayın, \( \cos(\pi/2) = 0 \) ve \( \cos(0) = 1 \)'dir.
✅ Sonuç olarak, \( \int_{0}^{\pi/2} \sin(x) \, dx = 1 \) bulunur.
Örnek 3:
Belirli integralin geometrik yorumunu kullanarak, \( y = x^2 \) eğrisi, x-ekseni ve \( x=1 \) ile \( x=2 \) doğruları arasında kalan alanı hesaplayınız.
Çözüm:
Belirli integral, bir eğrinin x-ekseni ile sınırladığı alanın ölçüsünü verir. Bu soruda, \( y = x^2 \) eğrisinin belirli sınırlar altındaki alanını hesaplayacağız.
Adım 1: Alanı temsil eden belirli integrali kurunuz.
İstenen alan, \( y = x^2 \) fonksiyonunun \( x=1 \) ve \( x=2 \) arasındaki x-ekseni ile sınırladığı alandır. Bu alan şu belirli integral ile ifade edilir:
\[ \text{Alan} = \int_{1}^{2} x^2 \, dx \]
Adım 2: İntegrali alınacak fonksiyonun belirsiz integralini bulunuz.
Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 \). Bu fonksiyonun integrali:
Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak alanı hesaplayınız.
İntegralimiz \( \left[\frac{x^3}{3}\right]_{1}^{2} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = 2 \) yerine koyalım:
\[ \frac{(2)^3}{3} = \frac{8}{3} \]
Alt sınırı \( x = 1 \) yerine koyalım:
\[ \frac{(1)^3}{3} = \frac{1}{3} \]
Şimdi farkı alalım:
\[ \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]
✅ Bu durumda, \( y = x^2 \) eğrisi, x-ekseni ve \( x=1 \) ile \( x=2 \) doğruları arasında kalan alan \( \frac{7}{3} \) birimkaredir.
Örnek 4:
Bir hareketlinin \( t \) saniye sonraki hızı \( v(t) = 3t^2 + 2t \) metre/saniye olarak verilmiştir. Bu hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı toplam yolu bulunuz.
Çözüm:
Hareketlinin aldığı yol, hız fonksiyonunun zamana göre belirli integralini alarak bulunur. Hız, yer değiştirmenin zamana göre türevi olduğundan, integrali yer değiştirmeyi (yolu) verir.
Adım 1: Alınan yolu veren belirli integrali kurunuz.
Hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı yol, hız fonksiyonunun \( t=0 \) ile \( t=3 \) arasındaki integralidir:
Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak yolu hesaplayınız.
İntegralimiz \( [t^3 + t^2]_{0}^{3} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( t = 3 \) yerine koyalım:
\[ (3)^3 + (3)^2 = 27 + 9 = 36 \]
Alt sınırı \( t = 0 \) yerine koyalım:
\[ (0)^3 + (0)^2 = 0 + 0 = 0 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ 36 - 0 = 36 \]
✅ Bu hareketlinin ilk 3 saniyede aldığı toplam yol 36 metredir.
Örnek 5:
Bir su deposuna sabit bir hızla su pompalanmaktadır. Depoya \( t \) dakika boyunca pompalanan su miktarı \( V(t) \) litre olsun. Eğer depoya su pompalama hızı \( r(t) = 2t + 5 \) litre/dakika ise, ilk 4 dakikada depoya toplam kaç litre su pompalanmıştır?
Çözüm:
Bu soruda, su pompalama hızının belirli integralini alarak belirli bir zaman aralığında depoya giren toplam su miktarını bulacağız. Hız, miktarın zamana göre değişim oranıdır; bu nedenle integrali toplam miktarı verir.
Adım 1: Toplam su miktarını veren belirli integrali tanımlayınız.
İlk 4 dakikada depoya pompalanan toplam su miktarı, hız fonksiyonunun \( t=0 \) ile \( t=4 \) arasındaki integraline eşittir:
Adım 3: Belirsiz integrali üst ve alt sınırlara uygulayarak toplam su miktarını hesaplayınız.
İntegralimiz \( [t^2 + 5t]_{0}^{4} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( t = 4 \) yerine koyalım:
\[ (4)^2 + 5(4) = 16 + 20 = 36 \]
Alt sınırı \( t = 0 \) yerine koyalım:
\[ (0)^2 + 5(0) = 0 + 0 = 0 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ 36 - 0 = 36 \]
✅ İlk 4 dakikada depoya toplam 36 litre su pompalanmıştır. 💧
Örnek 6:
\( \int_{2}^{5} 3 \, dx \) belirli integralini hesaplayınız.
Çözüm:
Bu integral, sabit bir fonksiyonun belirli integralidir. Sabit bir fonksiyonun integrali, fonksiyonun değeri ile integral aralığının uzunluğunun çarpımına eşittir.
Adım 1: Sabit fonksiyonun integralini alınız.
Sabit fonksiyon \( f(x) = 3 \) olduğundan, integrali \( \int 3 \, dx = 3x \) olur.
Adım 2: Belirli integralin sınırlarını uygulayınız.
İntegralimiz \( [3x]_{2}^{5} \) şeklinde olacaktır.
Üst sınırı \( x = 5 \) yerine koyalım:
\[ 3(5) = 15 \]
Alt sınırı \( x = 2 \) yerine koyalım:
\[ 3(2) = 6 \]
Şimdi farkı alalım:
\[ 15 - 6 = 9 \]
✅ Sonuç olarak, \( \int_{2}^{5} 3 \, dx = 9 \) bulunur.