📄 12. Sınıf Matematik: Belirli integral Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Öncelikle \(f(x)\) fonksiyonunun ters türevini (ilkel fonksiyonunu) bulalım:

\[F(x) = \int (2x^3 - 3x^2 + 5) \, dx = \frac{2x^4}{4} - \frac{3x^3}{3} + 5x + C = \frac{x^4}{2} - x^3 + 5x + C\]

Belirli integrali hesaplamak için temel integral teoremini kullanırız: \(\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)\).

Burada \(a=0\) ve \(b=2\) olduğundan:

\[\int_0^2 (2x^3 - 3x^2 + 5) \, dx = \left[\frac{x^4}{2} - x^3 + 5x\right]_0^2\]

Şimdi üst ve alt sınırları yerine koyarak farkı alalım:

\(F(2) = \frac{2^4}{2} - 2^3 + 5(2) = \frac{16}{2} - 8 + 10 = 8 - 8 + 10 = 10\)

\(F(0) = \frac{0^4}{2} - 0^3 + 5(0) = 0 - 0 + 0 = 0\)

Sonuç: \(F(2) - F(0) = 10 - 0 = 10\).

Bu nedenle, \(\int_0^2 (2x^3 - 3x^2 + 5) \, dx = 10\) bulunur.

💡 Çözüm Adımları:

Bir hareketlinin hız fonksiyonu \(v(t)\) verildiğinde, belirli bir zaman aralığında \([t_1, t_2]\) aldığı toplam yol, hız fonksiyonunun bu aralıktaki belirli integrali ile bulunur: \(Yol = \int_{t_1}^{t_2} v(t) \, dt\).

Verilenler: \(v(t) = 3t^2 + 4t\), \(t_1 = 0\), \(t_2 = 2\).

Hesaplanacak integral: \(\int_0^2 (3t^2 + 4t) \, dt\)

Öncelikle \(v(t)\) fonksiyonunun ters türevini bulalım:

\[V(t) = \int (3t^2 + 4t) \, dt = \frac{3t^3}{3} + \frac{4t^2}{2} + C = t^3 + 2t^2 + C\]

Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

\[\int_0^2 (3t^2 + 4t) \, dt = [t^3 + 2t^2]_0^2\]

Üst ve alt sınırları yerine koyarak farkı alalım:

\(V(2) = 2^3 + 2(2^2) = 8 + 2(4) = 8 + 8 = 16\)

\(V(0) = 0^3 + 2(0^2) = 0 + 0 = 0\)

Sonuç: \(V(2) - V(0) = 16 - 0 = 16\).

Bu nedenle, araç \(t=0\) saniyeden \(t=2\) saniyeye kadar toplam 16 metre yol almıştır.

💡 Çözüm Adımları:

İntegralin içinde mutlak değer fonksiyonu olduğu için, mutlak değerin içini sıfır yapan noktayı (\(x=0\)) integral aralığında incelememiz gerekir.

İntegral aralığı \([-1, 3]\) ve \(x=0\) bu aralıkta olduğu için integrali iki parçaya ayırırız:

1. \(-1 \le x < 0\) için: \(x < 0\) olduğundan \(|x| = -x\) olur.

Bu aralıktaki fonksiyon: \(f(x) = 2x + (-x) = x\)

2. \(0 \le x \le 3\) için: \(x \ge 0\) olduğundan \(|x| = x\) olur.

Bu aralıktaki fonksiyon: \(f(x) = 2x + x = 3x\)

Şimdi integrali iki parçaya ayırarak hesaplayalım:

\[\int_{-1}^3 (2x + |x|) \, dx = \int_{-1}^0 x \, dx + \int_0^3 3x \, dx\]

Birinci integral:

\[\int_{-1}^0 x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{-1}^0 = \frac{0^2}{2} - \frac{(-1)^2}{2} = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}\]

İkinci integral:

\[\int_0^3 3x \, dx = \left[\frac{3x^2}{2}\right]_0^3 = \frac{3(3^2)}{2} - \frac{3(0^2)}{2} = \frac{3(9)}{2} - 0 = \frac{27}{2}\]

Toplam integral değeri: \(-\frac{1}{2} + \frac{27}{2} = \frac{26}{2} = 13\).

Bu nedenle, \(\int_{-1}^3 (2x + |x|) \, dx = 13\) bulunur.