💡 12. Sınıf Matematik: Asal Çarpanlara Ayırma Çözümlü Örnekler

180 sayısını asal çarpanlarına ayırmak için sırasıyla en küçük asal sayıdan başlayarak bölme işlemi yaparız:

• 180 ÷ 2 = 90
• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Bölme işlemi 1'e ulaştığında dururuz. Kullanılan asal bölenler 2, 2, 3, 3, 5'tir.

Bu durumda 180 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli: \( 180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1 \) olur. ✅

Bir sayının asal çarpanları 2, 3 ve 5 ise, bu sayının en küçük hali bu asal çarpanların çarpımıdır:

En küçük sayı = \( 2 \times 3 \times 5 = 30 \)

Ancak bizden üç basamaklı en küçük sayıyı bulmamız isteniyor. Bu durumda 30'un katlarını alarak üç basamaklı en küçük sayıyı bulmalıyız:

• 30 x 1 = 30 (İki basamaklı)
• 30 x 2 = 60 (İki basamaklı)
• 30 x 3 = 90 (İki basamaklı)
• 30 x 4 = 120 (Üç basamaklı)

Dolayısıyla, asal çarpanları 2, 3 ve 5 olan en küçük üç basamaklı sayı 120'dir. 👉

Öncelikle 72 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 72 ÷ 2 = 36
• 36 ÷ 2 = 18
• 18 ÷ 2 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

72 sayısının asal çarpanlarına ayrılmış şekli \( 72 = 2^3 \times 3^2 \) şeklindedir.

Bu asal çarpanlar 2 ve 3'tür. Dolayısıyla 72 sayısının iki tane asal çarpanı vardır. ✌️

Bir sayının pozitif tam bölenlerinin sayısını bulmak için, sayının asal çarpanlarının üslerini birer artırıp çarparız.

A sayısının asal çarpanları 2, 5 ve 7'dir. Bu asal çarpanların üsleri sırasıyla 3, 2 ve 1'dir.

Pozitif tam bölen sayısı = \( (3+1) \times (2+1) \times (1+1) \)

Pozitif tam bölen sayısı = \( 4 \times 3 \times 2 \)

Pozitif tam bölen sayısı = 24'tür. ➕

Öncelikle toplam pasta dilimi sayısını hesaplayalım:

Toplam dilim sayısı = 8 adet pasta \(\times\) 12 dilim/pasta

Toplam dilim sayısı = \( 8 \times 12 \)

Şimdi bu sayıyı asal çarpanlarına ayıralım:

• 8'in asal çarpanları: \( 2 \times 2 \times 2 = 2^3 \)
• 12'nin asal çarpanları: \( 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3^1 \)

Toplam dilim sayısı = \( 2^3 \times (2^2 \times 3^1) \)

Üslü sayılarda çarpma kuralını kullanarak:

Toplam dilim sayısı = \( 2^{3+2} \times 3^1 \)

Toplam dilim sayısı = \( 2^5 \times 3^1 \)

Yani, toplam 32 x 3 = 96 dilim pasta bulunmaktadır ve bu sayı \( 2^5 \times 3^1 \) şeklinde asal çarpanlarına ayrılır. 🎈

Bu tür problemler, sayı teorisindeki modüler aritmetik ile çözülür. Ancak 12. sınıf müfredatında bu kavramlar daha derinlemesine işlenir. Biz burada deneme yanılma ve asal çarpanlara ayırma bilgisini kullanarak bir yöntem izleyelim.

Elma sayısına x diyelim.

Verilen bilgilere göre:

• \( x \equiv 2 \pmod{3} \) (x'in 3'e bölümünden kalan 2)
• \( x \equiv 1 \pmod{4} \) (x'in 4'e bölümünden kalan 1)

Bu koşulları sağlayan sayıları bulalım:

4'erli gruplandığında 1 elma artan sayılar: 1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33, 37, 41, 45, 49, 53, 57, 61, 65, 69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97...

Şimdi bu sayılardan hangisinin 3'erli gruplandığında 2 elma artıyor, ona bakalım:

• 5 ÷ 3 = 1 kalan 2 ✅
• 9 ÷ 3 = 3 kalan 0 ❌
• 13 ÷ 3 = 4 kalan 1 ❌
• 17 ÷ 3 = 5 kalan 2 ✅
• 21 ÷ 3 = 7 kalan 0 ❌
• 25 ÷ 3 = 8 kalan 1 ❌
• 29 ÷ 3 = 9 kalan 2 ✅
• ...
• 97 ÷ 3 = 32 kalan 1 ❌

Koşulları sağlayan sayılar 5, 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89'dur. Bu sayılar arasındaki fark 12'dir (3 ve 4'ün EKOK'u).

100'den az en büyük sayı 89'dur. 🎉

Öncelikle 360 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 360 ÷ 2 = 180
• 180 ÷ 2 = 90
• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Yani, \( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5^1 \)

Bir sayının çift olması için asal çarpanları arasında en az bir tane 2 çarpanı bulunması gerekir.

360'ın pozitif tam bölenlerinin genel formu \( 2^a \times 3^b \times 5^c \) şeklindedir. Burada:

• \( a \) değeri 0, 1, 2, 3 olabilir (4 seçenek).
• \( b \) değeri 0, 1, 2 olabilir (3 seçenek).
• \( c \) değeri 0, 1 olabilir (2 seçenek).

Toplam pozitif tam bölen sayısı = \( 4 \times 3 \times 2 = 24 \)

Çift bölenleri bulmak için, bölenin çift olmasını sağlayan 2 çarpanının bulunması gerektiğini biliyoruz. Bu durumda, 2'nin üssü (a) en az 1 olmalıdır.

Çift bölenler için a'nın alabileceği değerler: 1, 2, 3 (3 seçenek).

b'nin alabileceği değerler: 0, 1, 2 (3 seçenek).

c'nin alabileceği değerler: 0, 1 (2 seçenek).

Çift bölen sayısı = \( 3 \times 3 \times 2 = 18 \). 👍

İlk olarak 210 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 210 ÷ 2 = 105
• 105 ÷ 3 = 35
• 35 ÷ 5 = 7
• 7 ÷ 7 = 1

210 sayısının asal çarpanları 2, 3, 5 ve 7'dir.

Bu asal çarpanların toplamı:

Toplam = \( 2 + 3 + 5 + 7 \)

Toplam = 17'dir. 🌟

Bir sayının, başka sayıların çarpımı şeklinde ifade edilebilmesi için, o sayıların asal çarpanlarının, ana sayının asal çarpanları kümesinde bulunması gerekir.

Öncelikle 60 sayısını asal çarpanlarına ayıralım:

• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

Yani, \( 60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 \)

Şimdi verilen paketleme seçeneklerini inceleyelim:

2'li paketler: 60 sayısının asal çarpanları arasında 2 bulunmaktadır (\( 2^2 \)). Dolayısıyla 60, 2'ye tam bölünebilir. \( 60 = 2 \times 30 \). Evet, 2'li paketler halinde satılabilir. ✅

3'lü paketler: 60 sayısının asal çarpanları arasında 3 bulunmaktadır (\( 3^1 \)). Dolayısıyla 60, 3'e tam bölünebilir. \( 60 = 3 \times 20 \). Evet, 3'lü paketler halinde satılabilir. ✅

5'li paketler: 60 sayısının asal çarpanları arasında 5 bulunmaktadır (\( 5^1 \)). Dolayısıyla 60, 5'e tam bölünebilir. \( 60 = 5 \times 12 \). Evet, 5'li paketler halinde satılabilir. ✅

Özetle: 60 sayısının asal çarpanları (2 ve 3 ve 5'in kuvvetleri), bu paketleme sayılarını (2, 3, 5) tam olarak karşıladığı için, 60 adet ürün 2'li, 3'lü veya 5'li paketler halinde satılabilir. 🛒