💡 12. Sınıf Matematik: Ardışık Sayılar Çözümlü Örnekler

Bu soru, ardışık tam sayıların toplamını bulmanın temel bir yolunu gerektirir.
Ardışık tam sayıların toplamı için genel formül, \( 1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n(n+1)}{2} \) şeklindedir.

• 👉 Adım 1: Soruda verilen \( n \) değerini belirleyelim.
• Burada ilk 20 pozitif tam sayı dendiği için \( n = 20 \) olarak alınır.


• 👉 Adım 2: Formülü kullanarak toplamı hesaplayalım.
• \[ \text{Toplam} = \frac{n(n+1)}{2} \]
• \[ \text{Toplam} = \frac{20(20+1)}{2} \]
• \[ \text{Toplam} = \frac{20 \cdot 21}{2} \]
• \[ \text{Toplam} = 10 \cdot 21 \]
• \[ \text{Toplam} = 210 \]

✅ İlk 20 pozitif tam sayının toplamı 210'dur.

Ardışık tam sayılar arasında belirli bir ilişki vardır.
Bir sayıyı \( x \) olarak alırsak, ondan sonraki ardışık tam sayılar \( x+1 \) ve \( x+2 \) şeklinde ifade edilebilir.

• 👉 Adım 1: Ardışık üç tam sayıyı cebirsel olarak ifade edelim.
• En küçük sayı \( x \) olsun.
• Ortanca sayı \( x+1 \) olur.
• En büyük sayı \( x+2 \) olur.


• 👉 Adım 2: Bu sayıların toplamını verilen değere eşitleyelim.
• \[ x + (x+1) + (x+2) = 102 \]


• 👉 Adım 3: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım.
• \[ 3x + 3 = 102 \]
• Her iki taraftan 3 çıkaralım:
• \[ 3x = 102 - 3 \]
• \[ 3x = 99 \]
• Her iki tarafı 3'e bölelim:
• \[ x = \frac{99}{3} \]
• \[ x = 33 \]

✅ Ardışık üç tam sayının en küçüğü 33'tür. (Sayılar 33, 34, 35'tir.)

Ardışık çift sayılar, birbirini takip eden ve 2'şer 2'şer artan sayılardır.
Beş ardışık çift sayının ortancası, aynı zamanda bu sayıların aritmetik ortalamasıdır.

• 👉 Adım 1: Ardışık beş çift sayıyı cebirsel olarak ifade edelim.
• Ortanca sayı \( x \) olsun.
• Sayılar: \( x-4, x-2, x, x+2, x+4 \) şeklinde ifade edilebilir.


• 👉 Adım 2: Bu sayıların toplamını verilen değere eşitleyelim.
• \[ (x-4) + (x-2) + x + (x+2) + (x+4) = 150 \]


• 👉 Adım 3: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım.
• Parantezleri açtığımızda, \( -4, -2, +2, +4 \) terimleri birbirini götürür.
• \[ 5x = 150 \]
• Her iki tarafı 5'e bölelim:
• \[ x = \frac{150}{5} \]
• \[ x = 30 \]

✅ Ardışık beş çift sayının ortancası 30'dur. (Sayılar 26, 28, 30, 32, 34'tür.)

Ardışık iki tek sayı arasında 2 fark bulunur.
Kareleri farkı denildiğinde, büyük sayının karesinden küçük sayının karesi çıkarılır.

• 👉 Adım 1: Ardışık iki pozitif tek sayıyı cebirsel olarak ifade edelim.
• Küçük sayı \( x \) olsun.
• Büyük sayı \( x+2 \) olur. (Çünkü tek sayılar 2'şer 2'şer artar.)


• 👉 Adım 2: Kareleri farkını denkleme dökelim.
• \[ (x+2)^2 - x^2 = 40 \]


• 👉 Adım 3: Denklemi çözelim.
• Tam kare ifadeyi açalım: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• \[ (x^2 + 4x + 4) - x^2 = 40 \]
• \( x^2 \) terimleri birbirini götürür:
• \[ 4x + 4 = 40 \]
• Her iki taraftan 4 çıkaralım:
• \[ 4x = 40 - 4 \]
• \[ 4x = 36 \]
• Her iki tarafı 4'e bölelim:
• \[ x = \frac{36}{4} \]
• \[ x = 9 \]


• 👉 Adım 4: Sayıların toplamını bulalım.
• Küçük sayı \( x = 9 \).
• Büyük sayı \( x+2 = 9+2 = 11 \).
• Sayıların toplamı \( 9 + 11 = 20 \).

✅ Bu sayıların toplamı 20'dir.

Bu problem, ardışık artan terimlere sahip bir diziyi ifade eder. Her raftaki kitap sayısı, bir önceki raftakinden belirli bir miktar (5) fazla olduğu için, bu bir aritmetik dizi özelliği taşır.

• 👉 Adım 1: Raflardaki kitap sayılarını cebirsel olarak ifade edelim.
• En üst raftaki (ilk raftaki) kitap sayısı \( x \) olsun.
• İkinci raftaki kitap sayısı \( x+5 \).
• Üçüncü raftaki kitap sayısı \( x+10 \).
• Dördüncü raftaki kitap sayısı \( x+15 \).


• 👉 Adım 2: Toplam kitap sayısını denkleme dökelim.
• \[ x + (x+5) + (x+10) + (x+15) = 140 \]


• 👉 Adım 3: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım.
• \[ 4x + (5+10+15) = 140 \]
• \[ 4x + 30 = 140 \]
• Her iki taraftan 30 çıkaralım:
• \[ 4x = 140 - 30 \]
• \[ 4x = 110 \]
• Her iki tarafı 4'e bölelim:
• \[ x = \frac{110}{4} \]
• \[ x = 27.5 \]


• 👉 Adım 4: Sonucu yorumlayalım.
• Kitap sayısı tam sayı olmak zorunda olduğundan, bu problemde bir hata veya kurgusal bir durum vardır. Ancak matematiksel olarak çözüm 27.5'tir.

• Düzeltme: Sorunun gerçekçi olması için toplamı değiştirelim. Toplam 140 yerine 110 olsaydı:

• \[ 4x + 30 = 110 \]

• \[ 4x = 80 \]

• \[ x = 20 \]

✅ (Varsayılan düzeltilmiş toplam 110 için) En üst raftaki kitap sayısı 20'dir. (Orijinal 140 toplamı ile kitap sayısı tam çıkmamaktadır, bu tür yeni nesil sorularda gerçekçiliğe dikkat edilmelidir.)

Bu durum, ardışık artış gösteren bir yolculuk örneğidir. Her gün alınan yol miktarı bir aritmetik dizi oluşturur.

• 👉 Adım 1: Günlük alınan yol miktarlarını belirleyelim.
• 1. Gün: 3 cm
• 2. Gün: \( 3 + 2 = 5 \) cm
• 3. Gün: \( 5 + 2 = 7 \) cm
• 4. Gün: \( 7 + 2 = 9 \) cm
• 5. Gün: \( 9 + 2 = 11 \) cm


• 👉 Adım 2: Toplam alınan yolu hesaplayalım.
• Toplam yol = \( 3 + 5 + 7 + 9 + 11 \)
• \[ \text{Toplam yol} = 35 \]

✅ Karınca 5 gün boyunca toplam 35 cm yol almıştır.

Bu senaryo, günlük artan miktarlarla yapılan birikimi gösterir ve ardışık terimlerin toplamı prensibine dayanır.

• 👉 Adım 1: Her gün atılan para miktarını belirleyelim.
• 1. Gün: 10 TL
• 2. Gün: \( 10 + 2 = 12 \) TL
• 3. Gün: \( 12 + 2 = 14 \) TL
• 4. Gün: \( 14 + 2 = 16 \) TL
• 5. Gün: \( 16 + 2 = 18 \) TL
• 6. Gün: \( 18 + 2 = 20 \) TL
• 7. Gün: \( 20 + 2 = 22 \) TL


• 👉 Adım 2: 7 günün sonunda kumbaradaki toplam parayı hesaplayalım.
• Toplam para = \( 10 + 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 \)
• Bu bir aritmetik dizidir. Terim sayısı \( n=7 \), ilk terim \( a_1=10 \), son terim \( a_7=22 \).
• Toplam formülü \( S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) \) kullanılabilir.
• \[ S_7 = \frac{7}{2}(10 + 22) \]
• \[ S_7 = \frac{7}{2}(32) \]
• \[ S_7 = 7 \cdot 16 \]
• \[ S_7 = 112 \]

✅ Ayşe'nin 7 günün sonunda kumbarasında toplam 112 TL birikmiştir.

Bu problemde, ardışık sayıları cebirsel olarak ifade edip, verilen ilişkiyi bir denklemle kurmamız gerekmektedir.

• 👉 Adım 1: Ardışık dört tam sayıyı cebirsel olarak ifade edelim.
• En küçük sayı \( x \) olsun.
• Sayılar: \( x, x+1, x+2, x+3 \)
• En büyük sayı: \( x+3 \)


• 👉 Adım 2: Sayıların toplamını hesaplayalım.
• Toplam = \( x + (x+1) + (x+2) + (x+3) \)
• Toplam = \( 4x + 6 \)


• 👉 Adım 3: Verilen ilişkiyi denkleme dökelim.
• "Toplam, en büyük sayının 3 katından 5 eksiktir."
• \[ 4x + 6 = 3(x+3) - 5 \]


• 👉 Adım 4: Denklemi çözerek \( x \) değerini bulalım.
• Önce sağ tarafı düzenleyelim:
• \[ 4x + 6 = 3x + 9 - 5 \]
• \[ 4x + 6 = 3x + 4 \]
• \( 3x \)'i sol tarafa, \( 6 \)'yı sağ tarafa atalım:
• \[ 4x - 3x = 4 - 6 \]
• \[ x = -2 \]

✅ Bu sayıların en küçüğü -2'dir. (Sayılar -2, -1, 0, 1'dir.)