💡 12. Sınıf Matematik: Analitik geometri Çözümlü Örnekler

Analitik düzlemde iki nokta arasındaki uzaklığı hesaplamak için uzaklık formülünü kullanırız.
İki nokta \( (x_1, y_1) \) ve \( (x_2, y_2) \) ise, aralarındaki uzaklık (d) şu formülle bulunur:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Verilen noktalarımız A(3, 5) ve B(7, 1).
Burada \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \), \( x_2 = 7 \) ve \( y_2 = 1 \) olur.
Formülde yerine koyalım:

• \( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (1 - 5)^2} \)
• \( d = \sqrt{(4)^2 + (-4)^2} \)
• \( d = \sqrt{16 + 16} \)
• \( d = \sqrt{32} \)
• \( d = \sqrt{16 \times 2} \)
• \( d = 4\sqrt{2} \)

Sonuç olarak, A ve B noktaları arasındaki uzaklık \( 4\sqrt{2} \) birimdir. ✅

Bir noktanın x-eksenine olan uzaklığı, noktanın y-koordinatının mutlak değerine eşittir.
Noktamız C(2, -4).
Noktanın y-koordinatı -4'tür.
Bu nedenle, C noktasının x-eksenine olan uzaklığı \( |-4| \) birimdir.
\[ |-4| = 4 \]
C noktasının x-eksenine olan uzaklığı 4 birimdir. 👉

Doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulmak için sırasıyla x ve y'ye 0 veririz.

• x-eksenini kestiği nokta: y = 0 iken
  \( \frac{x}{4} + \frac{0}{3} = 1 \)
  \( \frac{x}{4} = 1 \)
  \( x = 4 \)
  Nokta: (4, 0)
• y-eksenini kestiği nokta: x = 0 iken
  \( \frac{0}{4} + \frac{y}{3} = 1 \)
  \( \frac{y}{3} = 1 \)
  \( y = 3 \)
  Nokta: (0, 3)

Bu noktalar, orijin (0,0) ile birlikte bir dik üçgen oluşturur.
Üçgenin dik kenarları, eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarıdır.
Dik kenarların uzunlukları 4 birim ve 3 birimdir.
Dik üçgenin alanı şu formülle bulunur:
\[ Alan = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \]
\[ Alan = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \]
\[ Alan = \frac{1}{2} \times 12 \]
\[ Alan = 6 \]
Oluşan üçgenin alanı 6 birimkaredir. 💯

Paralel doğruların eğimleri eşittir.
Verilen doğrunun denklemi \( y = 2x + 1 \). Bu denklem \( y = mx + n \) formundadır, bu yüzden eğimi \( m = 2 \) olur.
A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemini bulmak için nokta-eğim formülünü kullanabiliriz:
\[ y - y_1 = m(x - x_1) \]
Burada \( m = 2 \), \( x_1 = 1 \) ve \( y_1 = 3 \)'tür.
Formülde yerine koyalım:

• \( y - 3 = 2(x - 1) \)
• \( y - 3 = 2x - 2 \)
• \( y = 2x - 2 + 3 \)
• \( y = 2x + 1 \)

Ancak bir hata yaptık! Eğim 2 ise, yeni doğrunun denklemi de aynı eğime sahip olmalı. Tekrar kontrol edelim.
A(1, 3) noktasından geçen ve eğimi 2 olan doğrunun denklemi:

• \( y - 3 = 2(x - 1) \)
• \( y - 3 = 2x - 2 \)
• \( y = 2x - 2 + 3 \)
• \( y = 2x + 1 \)

Ah, anlaşıldı! Bu durumda bulunan doğru, başlangıçtaki doğru ile aynı doğru oluyor. Bu, A noktasının zaten \( y = 2x + 1 \) doğrusu üzerinde olduğu anlamına gelir. Eğer soru "farklı bir doğru" deseydi, A noktasının üzerinde olmaması gerekirdi.
Soruda A(1, 3) noktasının verilen \( y = 2x + 1 \) doğrusu üzerinde olup olmadığını kontrol edelim:
\( 3 = 2(1) + 1 \)
\( 3 = 2 + 1 \)
\( 3 = 3 \)
Evet, nokta doğrunun üzerinde.
Bu durumda, A(1, 3) noktasından geçen ve \( y = 2x + 1 \) doğrusuna paralel olan doğru yine \( y = 2x + 1 \) doğrusudur. Eğer soru farklı bir nokta verseydi, sonuç farklı olurdu. 💡

Öncelikle doğrunun eksenleri kestiği noktaları bulalım.

• x-eksenini kestiği nokta (y=0):
  \( 3x - 4(0) + 12 = 0 \)
  \( 3x + 12 = 0 \)
  \( 3x = -12 \)
  \( x = -4 \)
  Nokta: (-4, 0)
• y-eksenini kestiği nokta (x=0):
  \( 3(0) - 4y + 12 = 0 \)
  \( -4y + 12 = 0 \)
  \( -4y = -12 \)
  \( y = 3 \)
  Nokta: (0, 3)

Bu doğru, x-eksenini (-4, 0) noktasında ve y-eksenini (0, 3) noktasında kesmektedir.
Bu üç nokta (orijin (0,0), (-4,0) ve (0,3)) bir dik üçgen oluşturur.
Bu dik üçgenin dik kenarları, eksenleri kestiği noktaların orijine olan uzaklıklarıdır.
Dik kenarların uzunlukları:

• x-eksenindeki kenarın uzunluğu: \( |-4| = 4 \) birim
• y-eksenindeki kenarın uzunluğu: \( |3| = 3 \) birim

Dik üçgenin alanı şu formülle hesaplanır:
\[ Alan = \frac{1}{2} \times \text{taban} \times \text{yükseklik} \]
\[ Alan = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 \]
\[ Alan = \frac{1}{2} \times 12 \]
\[ Alan = 6 \]
Doğru ile eksenlerin sınırladığı kapalı bölgenin alanı 6 birimkaredir. 🌟

Soruda verilen denklem, bariyerin hareket ettiği doğruyu temsil etmektedir: \( y = -\frac{1}{2}x + 4 \).
Bariyerin en yüksek konumu, doğrunun y-eksenini kestiği noktadır. Bunu bulmak için x=0 koyarız:

• x = 0 iken:
  \( y = -\frac{1}{2}(0) + 4 \)
  \( y = 4 \)
  En yüksek konum: (0, 4)

Bariyerin en alçak konumu, doğrunun x-eksenini kestiği noktadır. Bunu bulmak için y=0 koyarız:

• y = 0 iken:
  \( 0 = -\frac{1}{2}x + 4 \)
  \( \frac{1}{2}x = 4 \)
  \( x = 8 \)
  En alçak konum: (8, 0)

Bu iki konum arasındaki düşey mesafeyi bulmak için, y-koordinatları arasındaki farkı alırız. Ancak burada dikkatli olmalıyız, çünkü "düşey mesafe" genellikle y eksenindeki değişimi ifade eder.
En yüksek konumun y-koordinatı 4'tür.
En alçak konumun y-koordinatı 0'dır.
Düşey mesafe = En yüksek y - En alçak y
\[ \text{Düşey Mesafe} = 4 - 0 = 4 \]
Bariyerin en yüksek ve en alçak konumu arasındaki düşey mesafe 4 birimdir. ⬆️⬇️

Bu durumu analitik düzlemde temsil edelim.
Depolama kapasitesi (GB) x-ekseninde, Fiyat (TL) ise y-ekseninde gösterilecektir.
Telefon A'yı bir nokta olarak (128, 15000) ile temsil edebiliriz.
Telefon B'yi ise bir nokta olarak (256, 18000) ile temsil edebiliriz.
Bu iki nokta arasındaki eğim, depolama kapasitesi başına düşen fiyat artışını gösterir.
Eğim formülü: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Burada:

• \( x_1 = 128 \), \( y_1 = 15000 \) (Telefon A)
• \( x_2 = 256 \), \( y_2 = 18000 \) (Telefon B)

Eğimi hesaplayalım:

• \( m = \frac{18000 - 15000}{256 - 128} \)
• \( m = \frac{3000}{128} \)
• \( m \approx 23.44 \)

Bu eğim, her 1 GB ek depolama için fiyatın yaklaşık olarak 23.44 TL arttığını göstermektedir.
Yani, depolama kapasitesi arttıkça fiyat da artmaktadır, ancak bu artış doğrusal bir ilişkiyi tam olarak yansıtmayabilir (çünkü sadece iki nokta verilmiş). Ancak bu analiz, depolama başına maliyetin nasıl değiştiği hakkında bir fikir vermektedir. 📈

İki doğrunun kesim noktasını bulmak için denklemlerini birbirine eşitleyebiliriz, çünkü kesim noktasında her iki doğrunun da y değerleri aynıdır.
Denklemlerimiz:
1) \( y = x + 2 \)
2) \( y = -x + 6 \)
Bu iki denklemi eşitleyelim:
\[ x + 2 = -x + 6 \]
Şimdi x'i yalnız bırakalım:

• \( x + x = 6 - 2 \)
• \( 2x = 4 \)
• \( x = 2 \)

Bulduğumuz x değerini denklemlerden herhangi birine yerine koyarak y değerini bulabiliriz. İlk denklemi kullanalım:

• \( y = x + 2 \)
• \( y = 2 + 2 \)
• \( y = 4 \)

Kesim noktası (2, 4)'tür.
Şimdi bu noktanın eksenlere olan uzaklıklarını bulalım:

• x-eksenine olan uzaklık: Noktanın y-koordinatının mutlak değeri \( |4| = 4 \) birimdir.
• y-eksenine olan uzaklık: Noktanın x-koordinatının mutlak değeri \( |2| = 2 \) birimdir.

Bu uzaklıkların toplamı:
\[ \text{Toplam Uzaklık} = 4 + 2 = 6 \]
Kesim noktasının eksenlere olan uzaklıklarının toplamı 6 birimdir. 👍

Harita üzerindeki A ve B noktaları arasındaki kuş uçuşu mesafeyi bulmak için analitik düzlemdeki iki nokta arasındaki uzaklık formülünü kullanacağız.
Noktalarımız: A(3, 5) ve B(7, 2).
Uzaklık formülü:
\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]
Burada:

• \( x_1 = 3 \), \( y_1 = 5 \)
• \( x_2 = 7 \), \( y_2 = 2 \)

Formülde yerine koyalım:

• \( d = \sqrt{(7 - 3)^2 + (2 - 5)^2} \)
• \( d = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} \)
• \( d = \sqrt{16 + 9} \)
• \( d = \sqrt{25} \)
• \( d = 5 \)

A ve B noktaları arasındaki kuş uçuşu mesafe 5 birimdir. Bu birimler, haritanın ölçeğine göre gerçek mesafeyi temsil eder. 📏