💡 12. Sınıf Çağdaş Tarih: Rasyonel sayılar Çözümlü Örnekler

Rasyonel sayılarda toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için paydaların eşit olması gerekir. 💡

• Adım 1: Paydalar olan 3, 4 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulalım. Bu sayı 12'dir.
• Adım 2: Kesirleri genişletelim:
• \( \frac{2}{3} \) kesrini 4 ile genişletirsek: \( \frac{8}{12} \)
• \( \frac{1}{4} \) kesrini 3 ile genişletirsek: \( \frac{3}{12} \)
• \( \frac{1}{6} \) kesrini 2 ile genişletirsek: \( \frac{2}{12} \)
• Adım 3: Şimdi işlemi gerçekleştirelim:
• \[ \frac{8}{12} + \frac{3}{12} - \frac{2}{12} = \frac{8 + 3 - 2}{12} = \frac{9}{12} \]
• Adım 4: Sonucu sadeleştirelim. Her iki tarafı da 3'e bölersek:
• Sonuç: \( \frac{3}{4} \) olur. ✅

İşlem önceliğine dikkat ederek parantez içlerini halledelim: 📌

• Birinci Parantez: \( 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} \)
• İkinci Parantez: \( \frac{5}{6} + 1 = \frac{5}{6} + \frac{6}{6} = \frac{11}{6} \)
• Bölme İşlemi: Birinci kesir aynen yazılır, ikinci kesir ters çevrilip çarpılır.
• \[ \frac{5}{3} \div \frac{11}{6} = \frac{5}{3} \times \frac{6}{11} \]
• Sadeleştirme: 6 ile 3 sadeleşirse pay kısmında 2 kalır.
• \[ 5 \times \frac{2}{11} = \frac{10}{11} \]

Cevap: \( \frac{10}{11} \) olarak bulunur. 🚀

Ondalık sayılarda toplama yaparken virgüllerin alt alta gelmesine dikkat etmeliyiz: ✍️

• Basamakları Hizalayalım:
• 0,400
• 0,040
• 0,004
• Toplayalım:
• 0,400 + 0,040 + 0,004 = 0,444
• Rasyonel Gösterim: Bu sayı rasyonel olarak ifade edilirse:
• \[ \frac{444}{1000} \]
• Sadeleştirme yapılırsa (4 ile): \( \frac{111}{250} \) elde edilir. ✅

Devirli sayıları rasyonel sayıya çevirme kuralını hatırlayalım: 💡

• Kural: Sayının tamamı - Devretmeyen kısım / Virgülden sonra devreden kadar 9, devretmeyen kadar 0.
• a Sayısı: \( a = 0,333... = 0,\bar{3} = \frac{3 - 0}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} \)
• b Sayısı: \( b = 0,666... = 0,\bar{6} = \frac{6 - 0}{9} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \)
• Toplam:
• \[ a + b = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1 \]

Sonuç tam sayı olarak 1 çıkar. ✨

Bu tür sorularda pay ve payda arasındaki farka bakmak işimizi kolaylaştırır: 🔍

• Gözlem: Her üç kesirde de pay ile payda arasındaki fark 1'dir (\( 11-10=1, 101-100=1, 1001-1000=1 \)).
• Kural: Payı paydasından küçük olan (basit kesir) ve pay-payda farkı eşit olan kesirlerde, sayısal değerler büyüdükçe kesrin değeri artar.
• Karşılaştırma:
• 1000, 100'den; 100 ise 10'dan büyüktür.
• Bu durumda: \( x < y < z \) sıralaması doğrudur. ✅

Adım adım ilerleyerek kalan miktarı bulalım:

• Adım 1: Pastanın tamamına 1 diyelim.
• Adım 2: İlk yenilen miktar \( \frac{1}{4} \).
• Adım 3: Kalan miktarı bulalım: \( 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4} \).
• Adım 4: Kalan kısmın (\( \frac{3}{4} \))'ün \( \frac{1}{3} \)'ü yeniliyor:
• \[ \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} \] (Bu ikinci kez yenilen miktardır).
• Adım 5: Son kalan miktarı bulalım:
• \[ \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} \]
• Sadeleştirme: \( \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \).

Geriye pastanın yarısı yani \( \frac{1}{2} \)'si kalmıştır. 😊

Toplam bölme sayısını bularak rasyonel ifadeyi oluşturalım: 📊

• Toplam Küçük Bölme Sayısı: 4 ana parça \( \times \) 5 küçük bölme = 20 küçük bölme.
• Dolu Olan Bölme Sayısı:
• 1 tam ana parça geçilmiş = 5 küçük bölme.
• 2. ana parçanın içinde 3 küçük bölme daha gidilmiş.
• Toplam dolu bölme = \( 5 + 3 = 8 \).
• Rasyonel İfade:
• \[ \frac{Dolu}{Toplam} = \frac{8}{20} \]
• Sadeleştirme: Her iki tarafı 4'e bölersek:
• \[ \frac{2}{5} \]

Deponun %40'ı yani \( \frac{2}{5} \)'i doludur. ✅

Bu tür sonsuz tekrarlayan işlemlerde ifadenin tamamına bir değişken atarız: 🧠

• Adım 1: İfadenin tamamına x diyelim.
• \[ x = 2 + \frac{1}{2 + \frac{1}{2 + ...}} \]
• Adım 2: Dikkat edilirse, paydadaki sonsuz kısım da aslında x'in kendisine eşittir.
• \[ x = 2 + \frac{1}{x} \]
• Adım 3: Denklemi çözelim. Her tarafı x ile çarparsak:
• \[ x^{2} = 2x + 1 \]
• \[ x^{2} - 2x - 1 = 0 \]
• Adım 4: Diskriminant (\( \Delta \)) yöntemiyle kökleri bulalım:
• \( \Delta = (-2)^{2} - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8 \)
• \( x = \frac{2 + \sqrt{8}}{2} = \frac{2 + 2\sqrt{2}}{2} = 1 + \sqrt{2} \)

İfade pozitif olduğu için sonuç \( 1 + \sqrt{2} \) olur. 🎯