💡 11. Sınıf Matematik: Yönlü Açılar Çözümlü Örnekler

Başlangıç noktası O olan bir ışının pozitif x-ekseni ile yaptığı açılara yönlü açılar denir. 1. Işının pozitif x-ekseni ile yaptığı açıya bakılır. 2. Saat yönünün tersine dönme pozitif yön olarak kabul edilir. 3. Bu durumda, ışın pozitif x-ekseninden saat yönünün tersine \( 120^\circ \) döndürülmüştür. 4. Dolayısıyla, oluşan yönlü açının ölçüsü \( +120^\circ \) olur. ✅ Sonuç: Yönlü açının ölçüsü \( 120^\circ \) dir.

Bir yönlü açının ölçüsü, tam tur olan \( 360^\circ \) eklenerek veya çıkarılarak farklı gösterilebilir. 1. Verilen açı \( -45^\circ \) dir. Bu, saat yönünde bir dönmeyi ifade eder. 2. Aynı açıyı pozitif yönde ifade etmek için \( 360^\circ \) ekleriz. 3. Hesaplama: \( -45^\circ + 360^\circ = 315^\circ \) 4. Bu, ışının pozitif x-ekseninden saat yönünün tersine \( 315^\circ \) döndüğünü gösterir. ✅ Sonuç: Açının pozitif yöndeki eşiti \( 315^\circ \) dir.

Standart konumdaki bir açının bitim kolunun birim çemberi kestiği noktanın koordinatları \( (\cos \theta, \sin \theta) \) dir. 1. Verilen nokta \( (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}) \) dir. 2. Burada \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) ve \( \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) olmalıdır. 3. Kosinüsün pozitif ve sinüsün negatif olduğu bölge IV. bölgedir. 4. \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) ve \( \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olan açı \( 60^\circ \) dir (veya \( \frac{\pi}{3} \) radyan). 5. IV. bölgede ve bu değerlere sahip açı, \( 360^\circ - 60^\circ = 300^\circ \) dir. 6. Alternatif olarak, \( \sin \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğundan \( \theta = -60^\circ \) veya \( \theta = 300^\circ \) olabilir. 7. \( \cos \theta = \frac{1}{2} \) değeri de bu durumu destekler. 8. Bu nedenle, açının esas ölçüsü \( 300^\circ \) dir. ✅ Sonuç: Açının esas ölçüsü \( 300^\circ \) dir.

Bir açının esas ölçüsü, \( [0^\circ, 360^\circ) \) aralığındaki eş değeridir. Radyan cinsinden ise \( [0, 2\pi) \) aralığıdır. 1. Verilen açı \( 750^\circ \) dir. 2. Esas ölçüyü bulmak için \( 360^\circ \) nin katlarını çıkarırız. 3. \( 750^\circ - 360^\circ = 390^\circ \) 4. Hala \( 360^\circ \) den büyük olduğu için tekrar çıkarırız: \( 390^\circ - 360^\circ = 30^\circ \) 5. Şimdi bu açıyı radyana çevirmeliyiz. Radyana çevirme formülü: \( \text{radyan} = \text{derece} \times \frac{\pi}{180} \) 6. Hesaplama: \( 30^\circ \times \frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6} \) radyan. ✅ Sonuç: Açının esas ölçüsü \( \frac{\pi}{6} \) radyandır.

Bu problem, tekerleğin dönüşünü bir yönlü açı olarak modellemeyi gerektirir. 1. Tekerleğin bir tam turu \( 360^\circ \) lik bir dönmeye karşılık gelir. 2. Soruda verilen nokta, tekerleğin \( \frac{1}{4} \) turunu tamamlamıştır. 3. Bu dönmenin derecesini hesaplayalım: \( \frac{1}{4} \times 360^\circ = 90^\circ \) 4. Tekerleğin dönüş yönü saat yönünün tersine olarak verilmiştir. Bu yön, yönlü açılarda pozitif yön olarak kabul edilir. 5. Dolayısıyla, oluşan yönlü açının ölçüsü \( +90^\circ \) dir. 💡 Bu, noktanın başlangıç konumuna göre dikey olarak yukarıda olacağı anlamına gelir. ✅ Sonuç: Yönlü açının ölçüsü \( 90^\circ \) dir.

Saat mekanizmasındaki ibrelerin hareketleri, yönlü açılarla modellenebilir. Ancak, saatte ibreler genellikle saat yönünde döner. Soruda verilen kural gereği, 12'yi 0 derece kabul edip saat yönünün tersini pozitif yön alacağız. 1. Saat 3'ü gösterdiğinde, yelkovan 12'nin üzerindedir. 2. Akrep ise 3'ün üzerindedir. 3. Soruda yelkovanın başlangıç noktası olan 12'ye göre yönlü açısı soruluyor. Yelkovan 12'nin üzerindeyken açısı \( 0^\circ \) dır. 4. Ancak, sorunun mantığı gereği, eğer "saat 3'ü gösterdiğinde akrebin 12'ye göre yönlü açısı" sorulsaydı: * Bir tam tur \( 360^\circ \) dir ve saatte 12 saat vardır. * Her saat dilimi \( \frac{360^\circ}{12} = 30^\circ \) dir. * Saat 3, 12'den 3 saat ileridedir. * Akrep için açı \( 3 \times 30^\circ = 90^\circ \) olurdu. 5. Soruda belirtilen "yelkovanın başlangıç noktası olan 12'ye göre yönlü açısı" ifadesi, yelkovanın kendi konumuyla ilgilidir. Saat 3'te yelkovan tam olarak 12'nin üzerinde olduğu için, başlangıç noktasına göre açısı \( 0^\circ \) dir. 6. Eğer soru "saat 3'ü gösterdiğinde akrebin 12'ye göre yönlü açısı" olsaydı ve dönüş yönü saat yönünün tersi olsaydı, bu \( 90^\circ \) olurdu. 7. Ancak soruda tam olarak "yelkovanın başlangıç noktası olan 12'ye göre yönlü açısı" sorulduğu için, yelkovan 12'de iken açı \( 0^\circ \) dir. 8. Eğer biz bu \( 0^\circ \) açıyı "saat yönünün tersi" kuralına göre ifade etmek istersek, bu \( 0^\circ \) olarak kalır. ✅ Sonuç: Saat 3'ü gösterdiğinde yelkovanın 12'ye göre yönlü açısı \( 0^\circ \) dir.

Verilen açının esas ölçüsünü kullanarak \( \alpha \) açısını bulacak ve ardından \( 5\alpha \) açısını hesaplayıp esas ölçüsünü derece cinsinden bulacağız. 1. \( \alpha \) açısının esas ölçüsü \( \frac{2\pi}{3} \) radyandır. 2. Esas ölçüsü \( \frac{2\pi}{3} \) olan bir açının genel formu \( \alpha = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \) şeklindedir, burada \( k \) bir tam sayıdır. 3. Şimdi \( 5\alpha \) ifadesini hesaplayalım: \( 5\alpha = 5 \left( \frac{2\pi}{3} + 2k\pi \right) = \frac{10\pi}{3} + 10k\pi \) 4. Bu açıyı dereceye çevirelim: \( \frac{10\pi}{3} \) radyanı dereceye çevirmek için \( \frac{180^\circ}{\pi} \) ile çarparız. \( \frac{10\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{10 \times 180^\circ}{3} = 10 \times 60^\circ = 600^\circ \) 5. Aynı şekilde \( 10k\pi \) ifadesini dereceye çevirelim: \( 10k\pi \times \frac{180^\circ}{\pi} = 10k \times 180^\circ = 1800k^\circ \) 6. Dolayısıyla, \( 5\alpha = 600^\circ + 1800k^\circ \) olur. 7. Şimdi \( 5\alpha \) açısının esas ölçüsünü bulmak için \( 360^\circ \) nin katlarını çıkarırız. \( 600^\circ \) den \( 360^\circ \) çıkarırsak: \( 600^\circ - 360^\circ = 240^\circ \) 8. \( 240^\circ \) esas ölçü aralığı \( [0^\circ, 360^\circ) \) içindedir. \( 1800k^\circ \) zaten \( 360^\circ \) nin katı olduğu için esas ölçüyü etkilemez. ✅ Sonuç: \( 5\alpha \) açısının esas ölçüsü \( 240^\circ \) dir.

Drone'un hareketlerini yönlü açılar olarak birleştirip son konumu bulacağız. 1. İlk hareket: \( +150^\circ \) (saat yönünün tersi pozitif). 2. İkinci hareket: \( -210^\circ \) (saat yönü negatif). 3. Drone'un toplam yer değiştirmesini hesaplayalım: Toplam Açı = İlk Hareket + İkinci Hareket Toplam Açı = \( 150^\circ + (-210^\circ) \) Toplam Açı = \( 150^\circ - 210^\circ \) Toplam Açı = \( -60^\circ \) 4. Bulduğumuz açı \( -60^\circ \) dir. Bu, esas ölçü aralığı \( [0^\circ, 360^\circ) \) dışında olduğu için esas ölçüsünü bulmalıyız. 5. Esas ölçüyü bulmak için \( 360^\circ \) ekleriz: Esas Ölçü = \( -60^\circ + 360^\circ \) Esas Ölçü = \( 300^\circ \) 💡 Bu, drone'un başlangıç noktasına göre bitim konumunun, pozitif x-ekseninden saat yönünün tersine \( 300^\circ \) açıyla olduğunu gösterir. ✅ Sonuç: Drone'un son konumunu gösteren yönlü açının esas ölçüsü \( 300^\circ \) dir.

Dönme dolabın hareketini bir yönlü açı problemi olarak ele alalım. 1. Başlangıç noktası, kabinin en alt konumu olarak kabul ediliyor. Bu noktayı \( 0^\circ \) kabul edebiliriz. 2. Kabin, \( 270^\circ \) saat yönünün tersine dönüyor. Saat yönünün tersi, yönlü açılarda pozitif yön olarak kabul edilir. 3. Bu nedenle, dönme açısı \( +270^\circ \) dir. 4. Kabinin başlangıç noktasına göre yönlü açısı, bu dönme miktarına eşittir. 5. Açı \( 270^\circ \) zaten \( [0^\circ, 360^\circ) \) aralığında olduğu için, bu açının esas ölçüsü kendisidir. 💡 Bu, kabinin dönme dolapta en üst noktaya (veya ona yakın bir konuma) geldiği anlamına gelir. ✅ Sonuç: Kabinin başlangıç noktasına göre yönlü açısı \( 270^\circ \) dir.