💡 11. Sınıf Matematik: Uzay geometri Çözümlü Örnekler

Silindirin hacmini bulmak için taban alanı ile yüksekliği çarpmamız gerekir. Adımları takip edelim:

• Adım 1: Silindirin hacim formülü: \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \]
• Adım 2: Verilen değerleri formülde yerine yazalım: \( r = 4 \) ve \( h = 10 \).
• Adım 3: Hesaplamayı yapalım: \[ V = \pi \cdot 4^2 \cdot 10 \] \[ V = \pi \cdot 16 \cdot 10 \] \[ V = 160\pi \]

✅ Silindirin hacmi \( 160\pi \) santimetreküptür.

Tüm yüzey alanını bulmak için önce taban yarıçapını bulmalıyız:

• Adım 1: Yanal alan formülü şöyledir: \[ Yanal Alan = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \]
• Adım 2: Verilenleri yerine koyarak yarıçapı (\( r \)) bulalım: \[ 60\pi = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot 6 \] \[ 60 = 12 \cdot r \] \[ r = 5 \] birim.
• Adım 3: Tüm yüzey alanı, yanal alan ile iki taban alanının toplamıdır: \[ Alan = Yanal Alan + 2 \cdot Taban Alanı \] \[ Alan = 60\pi + 2 \cdot (\pi \cdot r^2) \] \[ Alan = 60\pi + 2 \cdot (\pi \cdot 5^2) \] \[ Alan = 60\pi + 50\pi = 110\pi \]

✅ Silindirin tüm yüzey alanı \( 110\pi \) birimkaredir.

Koninin hacmini hesaplamak için önce yüksekliğini (\( h \)) bulmamız gerekir:

• Adım 1: Konide yarıçap (\( r \)), yükseklik (\( h \)) ve ana doğru (\( l \)) arasında bir dik üçgen ilişkisi vardır: \[ r^2 + h^2 = l^2 \]
• Adım 2: Değerleri yerine yazalım: \( 3^2 + h^2 = 5^2 \). Buradan \( 9 + h^2 = 25 \) ve \( h^2 = 16 \) bulunur. Yani \( h = 4 \) cm'dir.
• Adım 3: Koni hacim formülünü uygulayalım: \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 3^2 \cdot 4 \] \[ V = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot 9 \cdot 4 \] \[ V = 12\pi \]

✅ Koninin hacmi \( 12\pi \) santimetreküptür.

Kürenin hacmini bulmak için önce yarıçapını bulmalıyız:

• Adım 1: Kürenin yüzey alanı formülü: \[ Alan = 4 \cdot \pi \cdot r^2 \]
• Adım 2: Verilen alanı formüle eşitleyelim: \[ 144\pi = 4 \cdot \pi \cdot r^2 \] \[ 144 = 4 \cdot r^2 \] \[ r^2 = 36 \] \[ r = 6 \] birim.
• Adım 3: Şimdi hacim formülünü kullanalım: \[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \] \[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 6^3 \] \[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 216 \] \[ V = 4 \cdot \pi \cdot 72 = 288\pi \]

✅ Kürenin hacmi \( 288\pi \) birimküptür.

Günlük hayattan bu örnekte kürenin hacim formülünü kullanacağız:

• Adım 1: Küre hacim formülü: \[ V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3 \]
• Adım 2: Verilen değerleri yerleştirelim: \( r = 3 \) ve \( \pi = 3 \). \[ V = \frac{4}{3} \cdot 3 \cdot 3^3 \]
• Adım 3: Sadeleştirme ve çarpma işlemlerini yapalım: \[ V = 4 \cdot 27 \] \[ V = 108 \]

✅ Bir top dondurmanın hacmi \( 108 \) santimetreküptür.

İki cismin içindeki su hacimlerini birbirine eşitlememiz gerekiyor:

• Adım 1: Silindirdeki suyun hacmi (yarısı dolu olduğu için): \[ V_{su} = \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h \]
• Adım 2: Koninin toplam hacmi: \[ V_{koni} = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot H \]
• Adım 3: Su koniyi tam doldurduğu için hacimleri eşitleyelim: \[ \frac{1}{2} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot H \]
• Adım 4: \( \pi \) ve \( r^2 \) ifadelerini sadeleştirelim: \[ \frac{h}{2} = \frac{H}{3} \]
• Adım 5: Oranı bulalım: \[ \frac{H}{h} = \frac{3}{2} \]

✅ Koninin yüksekliğinin silindirin yüksekliğine oranı \( 1,5 \) yani \( \frac{3}{2} \)'dir.

Bu soruda koninin ana kesitini (ikizkenar üçgen) düşünerek iç teğet çemberin yarıçapını bulmalıyız:

• Adım 1: Koninin ana doğrusu (\( l \)): \[ l = \sqrt{5^2 + 12^2} = 13 \] cm.
• Adım 2: Koninin ana kesiti, tabanı \( 10 \) cm, yan kenarları \( 13 \) cm ve yüksekliği \( 12 \) cm olan bir ikizkenar üçgendir.
• Adım 3: Kürenin yarıçapına \( R \) diyelim. Üçgenin alanı ile yarıçap arasındaki ilişkiyi kullanalım: \[ Alan = u \cdot R \] (Burada \( u \) yarı çevredir). \[ Alan = \frac{10 \cdot 12}{2} = 60 \] \[ u = \frac{13 + 13 + 10}{2} = 18 \]
• Adım 4: Değerleri yerine koyalım: \[ 60 = 18 \cdot R \] \[ R = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \]

✅ Koninin içine sığabilecek en büyük kürenin yarıçapı \( \frac{10}{3} \) cm'dir.

Tankerin hacmini hesaplayarak kapasitesini bulalım:

• Adım 1: Çap \( 4 \) metre ise yarıçap \( r = 2 \) metredir.
• Adım 2: Yükseklik \( h = 6 \) metredir.
• Adım 3: Silindir hacim formülünü uygulayalım: \[ V = \pi \cdot r^2 \cdot h \] \[ V = 3 \cdot 2^2 \cdot 6 \] \[ V = 3 \cdot 4 \cdot 6 \] \[ V = 72 \]

✅ Tanker tam dolu olduğunda \( 72 \) metreküp su taşır.