🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Üçgenlerle İlgili Test Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Üçgenlerle İlgili Test Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, A açısının ölçüsü \( 30^\circ \), B açısının ölçüsü \( 45^\circ \) ve BC kenarının uzunluğu \( 6 \) birimdir. 📏
Buna göre, AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Buna göre, AC kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Bu tür bir üçgen probleminde, iki açı ve bir kenar bilindiğinde diğer kenarı bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanırız. 💡
Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
Burada \( a = |BC| \), \( b = |AC| \).
Sinüs Teoremi: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \)
Burada \( a = |BC| \), \( b = |AC| \).
- 👉 Verilenler: \( m(\widehat{A}) = 30^\circ \), \( m(\widehat{B}) = 45^\circ \), \( |BC| = a = 6 \) birim.
- 👉 Aranan: \( |AC| = b \).
- ✅ Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{|BC|}{\sin A} = \frac{|AC|}{\sin B} \] \[ \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{|AC|}{\sin 45^\circ} \]
- ✅ Bilinen sinüs değerlerini yerine yazalım: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) ve \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{|AC|}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ 12 = \frac{2 \cdot |AC|}{\sqrt{2}} \]
- ✅ \( |AC| \) uzunluğunu bulmak için denklemi çözelim: \[ |AC| = \frac{12 \cdot \sqrt{2}}{2} \] \[ |AC| = 6\sqrt{2} \]
Örnek 2:
Bir KLM üçgeninde KL kenarının uzunluğu \( 7 \) birim, LM kenarının uzunluğu \( 8 \) birim ve L açısının ölçüsü \( 60^\circ \) olarak verilmiştir. 📐
Buna göre, KM kenarının uzunluğunu bulunuz. 🧐
Buna göre, KM kenarının uzunluğunu bulunuz. 🧐
Çözüm:
İki kenar ve bu iki kenar arasındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır. 💡
Kosinüs Teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
Kosinüs Teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C \)
- 👉 Verilenler: \( |KL| = 7 \) birim, \( |LM| = 8 \) birim, \( m(\widehat{L}) = 60^\circ \).
- 👉 Aranan: \( |KM| \).
- ✅ Kosinüs Teoremi'ni uygulayalım. L açısının karşısındaki kenar \( |KM| \) olduğu için formülü ona göre düzenleyelim: \[ |KM|^2 = |KL|^2 + |LM|^2 - 2 \cdot |KL| \cdot |LM| \cdot \cos(\widehat{L}) \] \[ |KM|^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ \]
- ✅ Bilinen değerleri yerine yazalım: \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \). \[ |KM|^2 = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \frac{1}{2} \] \[ |KM|^2 = 113 - 56 \] \[ |KM|^2 = 57 \]
- ✅ \( |KM| \) uzunluğunu bulmak için karekök alalım: \[ |KM| = \sqrt{57} \]
Örnek 3:
Bir PRS üçgeninde PR kenarının uzunluğu \( 10 \) birim, RS kenarının uzunluğu \( 12 \) birim ve R açısının ölçüsü \( 150^\circ \) olarak verilmiştir. 🌟
Buna göre, bu üçgenin alanını bulunuz. 🌳
Buna göre, bu üçgenin alanını bulunuz. 🌳
Çözüm:
İki kenar ve bu iki kenar arasındaki açı bilindiğinde üçgenin alanını bulmak için Sinüslü Alan Formülü kullanılır. 💡
Sinüslü Alan Formülü: \( Alan = \frac{1}{2} ab \sin C \)
Sinüslü Alan Formülü: \( Alan = \frac{1}{2} ab \sin C \)
- 👉 Verilenler: \( |PR| = 10 \) birim, \( |RS| = 12 \) birim, \( m(\widehat{R}) = 150^\circ \).
- 👉 Aranan: PRS üçgeninin alanı.
- ✅ Sinüslü Alan Formülü'nü uygulayalım: \[ Alan(PRS) = \frac{1}{2} \cdot |PR| \cdot |RS| \cdot \sin(\widehat{R}) \] \[ Alan(PRS) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 150^\circ \]
- ✅ Bilinen sinüs değerini yerine yazalım: \( \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \). \[ Alan(PRS) = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} \] \[ Alan(PRS) = 5 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} \] \[ Alan(PRS) = 60 \cdot \frac{1}{2} \] \[ Alan(PRS) = 30 \]
Örnek 4:
Bir DEF üçgeninde DE kenarının uzunluğu \( 5 \) birim, EF kenarının uzunluğu \( 6 \) birim ve DF kenarının uzunluğu \( 7 \) birimdir. 🧐
Bu üçgenin en büyük açısının kosinüs değerini bulunuz. 💡
Bu üçgenin en büyük açısının kosinüs değerini bulunuz. 💡
Çözüm:
Bir üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındaki açıdır. Bu bilgiyi kullanarak ve tüm kenar uzunlukları bilindiğinde açıları bulmak için Kosinüs Teoremi'ni kullanırız. 📌
Kosinüs Teoremi: \( \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
Kosinüs Teoremi: \( \cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \)
- 👉 Verilenler: \( |DE| = 5 \), \( |EF| = 6 \), \( |DF| = 7 \) birim.
- 👉 En uzun kenar \( |DF| = 7 \) birimdir. Bu kenarın karşısındaki açı E açısıdır. Yani en büyük açı \( \widehat{E} \)'dir.
- ✅ Kosinüs Teoremi'ni E açısı için uygulayalım: \[ \cos(\widehat{E}) = \frac{|DE|^2 + |EF|^2 - |DF|^2}{2 \cdot |DE| \cdot |EF|} \] \[ \cos(\widehat{E}) = \frac{5^2 + 6^2 - 7^2}{2 \cdot 5 \cdot 6} \]
- ✅ Değerleri yerine yazıp hesaplayalım: \[ \cos(\widehat{E}) = \frac{25 + 36 - 49}{60} \] \[ \cos(\widehat{E}) = \frac{61 - 49}{60} \] \[ \cos(\widehat{E}) = \frac{12}{60} \] \[ \cos(\widehat{E}) = \frac{1}{5} \]
Örnek 5:
Bir ABC üçgeninde AB kenarının uzunluğu \( 8 \) birim, AC kenarının uzunluğu \( 10 \) birim ve üçgenin alanı \( 20\sqrt{3} \) birimkaredir. 🧐
Buna göre, A açısının ölçüsü \( m(\widehat{A}) \) kaç derecedir? 📏
Buna göre, A açısının ölçüsü \( m(\widehat{A}) \) kaç derecedir? 📏
Çözüm:
İki kenar uzunluğu ve üçgenin alanı bilindiğinde, bu iki kenar arasındaki açının sinüs değerini Sinüslü Alan Formülü ile bulabiliriz. 💡
Sinüslü Alan Formülü: \( Alan = \frac{1}{2} bc \sin A \)
Sinüslü Alan Formülü: \( Alan = \frac{1}{2} bc \sin A \)
- 👉 Verilenler: \( |AB| = c = 8 \) birim, \( |AC| = b = 10 \) birim, \( Alan(ABC) = 20\sqrt{3} \) birimkare.
- 👉 Aranan: \( m(\widehat{A}) \).
- ✅ Sinüslü Alan Formülü'nü uygulayalım: \[ Alan(ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin(\widehat{A}) \] \[ 20\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin(\widehat{A}) \]
- ✅ Denklemi \( \sin(\widehat{A}) \) için çözelim: \[ 20\sqrt{3} = 40 \cdot \sin(\widehat{A}) \] \[ \sin(\widehat{A}) = \frac{20\sqrt{3}}{40} \] \[ \sin(\widehat{A}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
- ✅ Hangi açının sinüs değeri \( \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu düşünelim.
- Bildiğimiz üzere, \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) ve \( \sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) dir.
- Bir üçgenin açısı \( 180^\circ \)'den büyük olamayacağı için her iki değer de mümkündür. Ancak genellikle bu tür sorularda dar açı beklenir, aksi belirtilmedikçe. Eğer soruda "geniş açılı" gibi bir bilgi olsaydı 120 dereceyi seçerdik. Bilgi olmadığı için 60 dereceyi kabul edelim.
Örnek 6:
Bir nehrin karşı kıyısındaki bir ağacın (A noktası) uzaklığını ölçmek isteyen mühendisler, nehrin kendi kıyısında 100 metre aralıkla iki nokta (B ve C noktaları) belirliyorlar. 🏞️
B noktasından A ağacına bakıldığında \( m(\widehat{ABC}) = 75^\circ \) ve C noktasından A ağacına bakıldığında \( m(\widehat{BCA}) = 60^\circ \) olarak ölçülüyor. 📏
Buna göre, A ağacının B noktasına olan uzaklığı \( |AB| \) kaç metredir? (Gerekirse \( \sin 75^\circ \approx 0.96 \) alınız). 🌳
B noktasından A ağacına bakıldığında \( m(\widehat{ABC}) = 75^\circ \) ve C noktasından A ağacına bakıldığında \( m(\widehat{BCA}) = 60^\circ \) olarak ölçülüyor. 📏
Buna göre, A ağacının B noktasına olan uzaklığı \( |AB| \) kaç metredir? (Gerekirse \( \sin 75^\circ \approx 0.96 \) alınız). 🌳
Çözüm:
Bu problem bir üçgen oluşturarak Sinüs Teoremi ile çözülebilir. 💡 Öncelikle üçgenin üçüncü açısını bulmamız gerekiyor. 📌
- 👉 Verilenler: \( |BC| = 100 \) m, \( m(\widehat{ABC}) = 75^\circ \), \( m(\widehat{BCA}) = 60^\circ \).
- 👉 Aranan: \( |AB| \).
- ✅ Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, A açısını bulalım: \[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{BCA})) \] \[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) \] \[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 135^\circ \] \[ m(\widehat{BAC}) = 45^\circ \]
- ✅ Şimdi Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{|AB|}{\sin(\widehat{BCA})} = \frac{|BC|}{\sin(\widehat{BAC})} \] \[ \frac{|AB|}{\sin 60^\circ} = \frac{100}{\sin 45^\circ} \]
- ✅ Bilinen sinüs değerlerini yerine yazalım: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) ve \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \). \[ \frac{|AB|}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{100}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \] \[ |AB| \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 100 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \] \[ |AB| = \frac{100 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}} \]
- ✅ Paydayı rasyonel yapalım: \[ |AB| = \frac{100\sqrt{6}}{2} \] \[ |AB| = 50\sqrt{6} \]
Örnek 7:
Bir binanın tepesindeki (A noktası) bayrak direğini gözlemleyen iki kişi, yerden farklı noktalarda (B ve C noktaları) durmaktadır. 🏢
B ve C noktaları arasındaki mesafe \( 50 \) metredir ve A, B, C noktaları bir üçgen oluşturmaktadır. B noktasından A noktasına olan yükseklik açısı \( m(\widehat{ABC}) = 45^\circ \) ve C noktasından A noktasına olan yükseklik açısı \( m(\widehat{ACB}) = 75^\circ \) olarak ölçülüyor. 🔭
Binanın tepesinden B noktasına olan uzaklık \( |AB| \) kaç metredir? (Gerekirse \( \sin 75^\circ \approx 0.96 \) alınız). 🚩
B ve C noktaları arasındaki mesafe \( 50 \) metredir ve A, B, C noktaları bir üçgen oluşturmaktadır. B noktasından A noktasına olan yükseklik açısı \( m(\widehat{ABC}) = 45^\circ \) ve C noktasından A noktasına olan yükseklik açısı \( m(\widehat{ACB}) = 75^\circ \) olarak ölçülüyor. 🔭
Binanın tepesinden B noktasına olan uzaklık \( |AB| \) kaç metredir? (Gerekirse \( \sin 75^\circ \approx 0.96 \) alınız). 🚩
Çözüm:
Bu bir üçgenin kenar uzunluğunu bulma problemidir ve Sinüs Teoremi ile çözülür. 💡 Öncelikle üçgenin üçüncü açısını bulmalıyız. 📌
- 👉 Verilenler: \( |BC| = 50 \) m, \( m(\widehat{ABC}) = 45^\circ \), \( m(\widehat{ACB}) = 75^\circ \).
- 👉 Aranan: \( |AB| \).
- ✅ Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, A açısını (yani \( m(\widehat{BAC}) \)) bulalım: \[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (m(\widehat{ABC}) + m(\widehat{ACB})) \] \[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - (45^\circ + 75^\circ) \] \[ m(\widehat{BAC}) = 180^\circ - 120^\circ \] \[ m(\widehat{BAC}) = 60^\circ \]
- ✅ Şimdi Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{|AB|}{\sin(\widehat{ACB})} = \frac{|BC|}{\sin(\widehat{BAC})} \] \[ \frac{|AB|}{\sin 75^\circ} = \frac{50}{\sin 60^\circ} \]
- ✅ Bilinen sinüs değerlerini ve verilen yaklaşık değeri yerine yazalım: \( \sin 75^\circ \approx 0.96 \) ve \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \). \[ |AB| = \frac{50 \cdot \sin 75^\circ}{\sin 60^\circ} \] \[ |AB| \approx \frac{50 \cdot 0.96}{0.866} \] \[ |AB| \approx \frac{48}{0.866} \] \[ |AB| \approx 55.42 \]
Örnek 8:
Bir gemi (G noktası), iki fener (F1 ve F2 noktaları) arasındaki mesafeyi ve bu fenerlere olan açılarını kullanarak konumunu belirlemek istiyor. 🚢
Fenerler arasındaki uzaklık \( 12 \) km'dir. Gemi F1 fenerine baktığında \( m(\widehat{GF_1F_2}) = 45^\circ \) ve F2 fenerine baktığında \( m(\widehat{GF_2F_1}) = 60^\circ \) açılarını ölçüyor. 🗺️
Buna göre, geminin F1 fenerine olan uzaklığı \( |GF_1| \) kaç kilometredir? ⚓
Fenerler arasındaki uzaklık \( 12 \) km'dir. Gemi F1 fenerine baktığında \( m(\widehat{GF_1F_2}) = 45^\circ \) ve F2 fenerine baktığında \( m(\widehat{GF_2F_1}) = 60^\circ \) açılarını ölçüyor. 🗺️
Buna göre, geminin F1 fenerine olan uzaklığı \( |GF_1| \) kaç kilometredir? ⚓
Çözüm:
Bu, üçgenleme yöntemiyle konum belirleme problemidir ve Sinüs Teoremi kullanılarak çözülür. 💡 Öncelikle G noktasındaki açıyı (yani \( m(\widehat{F_1GF_2}) \)) bulmalıyız. 📌
- 👉 Verilenler: \( |F_1F_2| = 12 \) km, \( m(\widehat{GF_1F_2}) = 45^\circ \), \( m(\widehat{GF_2F_1}) = 60^\circ \).
- 👉 Aranan: \( |GF_1| \).
- ✅ Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, G açısını bulalım: \[ m(\widehat{F_1GF_2}) = 180^\circ - (m(\widehat{GF_1F_2}) + m(\widehat{GF_2F_1})) \] \[ m(\widehat{F_1GF_2}) = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) \] \[ m(\widehat{F_1GF_2}) = 180^\circ - 105^\circ \] \[ m(\widehat{F_1GF_2}) = 75^\circ \]
- ✅ Şimdi Sinüs Teoremi'ni uygulayalım: \[ \frac{|GF_1|}{\sin(\widehat{GF_2F_1})} = \frac{|F_1F_2|}{\sin(\widehat{F_1GF_2})} \] \[ \frac{|GF_1|}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin 75^\circ} \]
- ✅ Bilinen sinüs değerlerini ve (eğer gerekirse) yaklaşık değeri yerine yazalım: \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 \). \( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ+30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \approx 0.966 \). \[ |GF_1| = \frac{12 \cdot \sin 60^\circ}{\sin 75^\circ} \] \[ |GF_1| = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}} \] \[ |GF_1| = \frac{6\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)}{4}} \] \[ |GF_1| = \frac{24\sqrt{3}}{\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)} \] \[ |GF_1| = \frac{24\sqrt{6}}{2(\sqrt{3}+1)} \] \[ |GF_1| = \frac{12\sqrt{6}}{\sqrt{3}+1} \cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-1} \] \[ |GF_1| = \frac{12\sqrt{6}(\sqrt{3}-1)}{3-1} \] \[ |GF_1| = \frac{12(\sqrt{18}-\sqrt{6})}{2} \] \[ |GF_1| = 6(3\sqrt{2}-\sqrt{6}) \] \[ |GF_1| = 18\sqrt{2}-6\sqrt{6} \]
- ✅ Yaklaşık değerlerle hesaplarsak: \[ |GF_1| \approx \frac{12 \cdot 0.866}{0.966} \] \[ |GF_1| \approx \frac{10.392}{0.966} \] \[ |GF_1| \approx 10.76 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ucgenlerle-ilgili-test/sorular