🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Üçgenler Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde, AB kenarı üzerinde D noktası ve AC kenarı üzerinde E noktası alınmıştır.
DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
Eğer \(AD = 4\) cm, \(DB = 6\) cm ve \(AE = 3\) cm ise, \(EC\) uzunluğu kaç cm'dir?
💡 İpucu: Paralel doğrularla kesilen üçgenlerde benzerlik kurmaya çalışın.
DE doğru parçası BC kenarına paraleldir (\(DE \parallel BC\)).
Eğer \(AD = 4\) cm, \(DB = 6\) cm ve \(AE = 3\) cm ise, \(EC\) uzunluğu kaç cm'dir?
💡 İpucu: Paralel doğrularla kesilen üçgenlerde benzerlik kurmaya çalışın.
Çözüm:
- 📌 Adım 1: Teoremi Belirleme
\(DE \parallel BC\) olduğu için, Temel Orantı Teoremi'ni (Thales Teoremi) kullanabiliriz. Bu teorem, üçgenin kenarlarını orantılı böldüğünü belirtir. - 👉 Adım 2: Oranı Kurma
Teoreme göre, \( \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} \) oranı geçerlidir. - ✅ Adım 3: Değerleri Yerine Koyma ve Çözüm
Verilen değerleri yerine yazalım:
\[ \frac{4}{6} = \frac{3}{EC} \] İçler dışlar çarpımı yaparak \(EC\) uzunluğunu bulalım:
\[ 4 \cdot EC = 6 \cdot 3 \] \[ 4 \cdot EC = 18 \] \[ EC = \frac{18}{4} \] \[ EC = 4.5 \] cm.
Buna göre, \(EC\) uzunluğu 4.5 cm'dir.
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde A açısı \( 70^\circ \), B açısı \( 50^\circ \) olarak verilmiştir.
Bir DEF üçgeninde D açısı \( 70^\circ \), F açısı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını bulmak için hangi kenarların oranlanması gerektiğini açıklayınız.
💡 Unutmayın: Üçgenin iç açılar toplamı \( 180^\circ \) dir.
Bir DEF üçgeninde D açısı \( 70^\circ \), F açısı \( 60^\circ \) olarak verilmiştir.
Bu iki üçgenin benzer olup olmadığını belirleyiniz ve benzerlik oranını bulmak için hangi kenarların oranlanması gerektiğini açıklayınız.
💡 Unutmayın: Üçgenin iç açılar toplamı \( 180^\circ \) dir.
Çözüm:
- 📌 Adım 1: ABC Üçgeninin Açılarının Bulunması
ABC üçgeninde A açısı \( 70^\circ \) ve B açısı \( 50^\circ \) ise, C açısı:
\[ C = 180^\circ - (70^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ \] Yani, ABC üçgeninin açıları \( (70^\circ, 50^\circ, 60^\circ) \) dir. - 📌 Adım 2: DEF Üçgeninin Açılarının Bulunması
DEF üçgeninde D açısı \( 70^\circ \) ve F açısı \( 60^\circ \) ise, E açısı:
\[ E = 180^\circ - (70^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 130^\circ = 50^\circ \] Yani, DEF üçgeninin açıları \( (70^\circ, 50^\circ, 60^\circ) \) dir. - 👉 Adım 3: Benzerlik Karşılaştırması
ABC üçgeninin açıları \( (A=70^\circ, B=50^\circ, C=60^\circ) \) ve DEF üçgeninin açıları \( (D=70^\circ, E=50^\circ, F=60^\circ) \) dir.
Açılarının tamamı eşit olduğundan, Açı-Açı-Açı (AAA) Benzerlik Kriteri'ne göre bu iki üçgen benzerdir.
Benzerlik ilişkisi: \( \triangle ABC \sim \triangle DEF \) (A'ya D, B'ye E, C'ye F karşılık gelir). - ✅ Adım 4: Benzerlik Oranı ve Kenarlar
Benzerlik oranını bulmak için karşılıklı kenarlar oranlanmalıdır. Örneğin:
\[ \frac{|AB|}{|DE|} = \frac{|BC|}{|EF|} = \frac{|AC|}{|DF|} = k \] (Buradaki \(k\) benzerlik oranıdır.)
Yani, \( 70^\circ \) karşısındaki kenarların oranı, \( 50^\circ \) karşısındaki kenarların oranı ve \( 60^\circ \) karşısındaki kenarların oranı birbirine eşit olacaktır.
Bu üçgenler benzerdir ve benzerlik oranı, karşılıklı kenarların oranlanmasıyla bulunur.
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( |AB| = 8 \) cm, \( |AC| = 10 \) cm ve A açısının ölçüsü \( 30^\circ \) dir.
Bu üçgenin alanını bulunuz.
💡 Hatırlatma: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Bu üçgenin alanını bulunuz.
💡 Hatırlatma: \( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \).
Çözüm:
- 📌 Adım 1: Formülü Belirleme
İki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı bilinen bir üçgenin alanını bulmak için Sinüs Alan Formülü kullanılır.
Formül: \( Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C \) (veya benzer şekilde diğer kenar-açı kombinasyonları). - 👉 Adım 2: Verilenleri Yerine Koyma
Bu örnekte, \( |AB| = c = 8 \) cm, \( |AC| = b = 10 \) cm ve bu kenarlar arasındaki açı A \( = 30^\circ \) dir.
Formülü bu değerlerle yazarsak:
\[ Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AC| \cdot \sin A \] - ✅ Adım 3: Hesaplama
Değerleri yerine koyalım:
\[ Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30^\circ \] \[ Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} \] \[ Alan(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \frac{1}{2} \] \[ Alan(\triangle ABC) = 40 \cdot \frac{1}{2} \] \[ Alan(\triangle ABC) = 20 \] cm\(^2\).
Üçgenin alanı \( 20 \) cm\(^2\) dir.
Örnek 4:
Bir KLM üçgeninde \( |KL| = 7 \) cm, \( |LM| = 8 \) cm ve \( |KM| = 13 \) cm olarak verilmiştir.
K açısının kosinüs değerini (\( \cos K \)) bulunuz.
💡 İpucu: Kosinüs Teoremi, üç kenarı bilinen bir üçgende açıları bulmak için idealdir.
K açısının kosinüs değerini (\( \cos K \)) bulunuz.
💡 İpucu: Kosinüs Teoremi, üç kenarı bilinen bir üçgende açıları bulmak için idealdir.
Çözüm:
- 📌 Adım 1: Kosinüs Teoremi Formülünü Belirleme
Kosinüs Teoremi, bir üçgenin kenarları ve açılar arasındaki ilişkiyi verir. K açısını bulmak için, K açısının karşısındaki kenarın karesini diğer iki kenarın kareleri toplamından çıkarıp, bu iki kenarın çarpımının iki katına böleriz.
Formül: \( k^2 = l^2 + m^2 - 2lm \cos K \)
Burada \( k = |LM| \), \( l = |KM| \), \( m = |KL| \) dir. - 👉 Adım 2: Verilenleri Yerine Koyma
\( |LM| = k = 8 \) cm, \( |KM| = l = 13 \) cm, \( |KL| = m = 7 \) cm.
\[ 8^2 = 13^2 + 7^2 - 2 \cdot 13 \cdot 7 \cdot \cos K \] - ✅ Adım 3: Hesaplama
\[ 64 = 169 + 49 - 182 \cos K \] \[ 64 = 218 - 182 \cos K \] \[ 182 \cos K = 218 - 64 \] \[ 182 \cos K = 154 \] \[ \cos K = \frac{154}{182} \] Sadeleştirme yaparsak (her iki tarafı 14'e bölelim):
\[ \cos K = \frac{11}{13} \]
K açısının kosinüs değeri \( \frac{11}{13} \) dir.
Örnek 5:
Bir PQR üçgeninde, \( |PQ| = 12 \) cm, \( \angle P = 45^\circ \) ve \( \angle R = 60^\circ \) olarak verilmiştir.
\( |QR| \) uzunluğunu bulunuz.
💡 Hatırlatma: \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
\( |QR| \) uzunluğunu bulunuz.
💡 Hatırlatma: \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) ve \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Çözüm:
- 📌 Adım 1: Sinüs Teoremi Formülünü Belirleme
Sinüs Teoremi, bir üçgende kenarların uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüsleri arasındaki oranı ifade eder.
Formül: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \) - 👉 Adım 2: Verilenleri Formülde Yerine Koyma
Bizden \( |QR| \) uzunluğunu bulmamız isteniyor. \( |QR| \) kenarı P açısının karşısındadır.
\( |PQ| \) kenarı R açısının karşısındadır.
Bu durumda, kullanacağımız oran:
\[ \frac{|QR|}{\sin P} = \frac{|PQ|}{\sin R} \] - ✅ Adım 3: Değerleri Yerine Koyma ve Hesaplama
Verilen değerleri formüle yerleştirelim:
\[ \frac{|QR|}{\sin 45^\circ} = \frac{12}{\sin 60^\circ} \] Trigonometrik değerleri yazalım:
\[ \frac{|QR|}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ |QR| \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ |QR| \cdot \sqrt{3} = 12 \cdot \sqrt{2} \] \[ |QR| = \frac{12 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \] Paydayı rasyonel yapalım (\( \sqrt{3} \) ile çarpıp bölelim):
\[ |QR| = \frac{12 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} \] \[ |QR| = \frac{12 \sqrt{6}}{3} \] \[ |QR| = 4 \sqrt{6} \] cm.
\( |QR| \) uzunluğu \( 4 \sqrt{6} \) cm'dir.
Örnek 6:
Bir mühendis, bir binanın yüksekliğini doğrudan ölçemediği için benzer üçgenler prensibini kullanmaya karar verir.
Mühendis, binadan 20 metre uzakta duran 1.8 metre boyundaki bir direğin gölgesinin 3 metre olduğunu gözlemler.
Aynı anda binanın gölgesinin ise 40 metre olduğunu ölçer.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir?
(Direk ve bina zemine dik konumdadır.)
💡 Ana Fikir: Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, oluşan gölgelerle cisimler benzer üçgenler oluşturur.
Mühendis, binadan 20 metre uzakta duran 1.8 metre boyundaki bir direğin gölgesinin 3 metre olduğunu gözlemler.
Aynı anda binanın gölgesinin ise 40 metre olduğunu ölçer.
Buna göre, binanın yüksekliği kaç metredir?
(Direk ve bina zemine dik konumdadır.)
💡 Ana Fikir: Güneş ışınları aynı açıyla geldiği için, oluşan gölgelerle cisimler benzer üçgenler oluşturur.
Çözüm:
- 📌 Adım 1: Üçgenleri Tanımlama
Mühendis, direk ve gölgesi ile bir dik üçgen; bina ve gölgesi ile de başka bir dik üçgen oluşturur.
Güneş ışınlarının geliş açısı aynı olduğundan, bu iki dik üçgenin tepe açıları (güneşin açısı) eşit olacaktır. Ayrıca her ikisi de dik açıya sahip olduğu için Açı-Açı (AA) Benzerliği ile benzerdirler. - 👉 Adım 2: Benzerlik Oranını Kurma
Direk için: Yükseklik \( H_{direk} = 1.8 \) m, Gölge \( G_{direk} = 3 \) m.
Bina için: Yükseklik \( H_{bina} = x \) m (aranan), Gölge \( G_{bina} = 40 \) m.
Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları eşittir:
\[ \frac{H_{direk}}{G_{direk}} = \frac{H_{bina}}{G_{bina}} \] - ✅ Adım 3: Değerleri Yerine Koyma ve Hesaplama
\[ \frac{1.8}{3} = \frac{x}{40} \] İçler dışlar çarpımı yapalım:
\[ 3 \cdot x = 1.8 \cdot 40 \] \[ 3x = 72 \] \[ x = \frac{72}{3} \] \[ x = 24 \] metre.
Buna göre, binanın yüksekliği 24 metredir.
Örnek 7:
Bir navigasyon sistemi, iki farklı noktadan (A ve B) bir hedefe (C) olan uzaklıkları hesaplamaktadır.
A noktasından C hedefine olan uzaklık \( |AC| = 10 \) km'dir.
B noktasından C hedefine olan uzaklık \( |BC| = 15 \) km'dir.
A ve B noktaları arasındaki açı (\( \angle C \)) \( 60^\circ \) olarak ölçülmüştür.
A ve B noktaları arasındaki mesafeyi (\( |AB| \)) bulunuz.
💡 İpucu: İki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır.
Hatırlatma: \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
A noktasından C hedefine olan uzaklık \( |AC| = 10 \) km'dir.
B noktasından C hedefine olan uzaklık \( |BC| = 15 \) km'dir.
A ve B noktaları arasındaki açı (\( \angle C \)) \( 60^\circ \) olarak ölçülmüştür.
A ve B noktaları arasındaki mesafeyi (\( |AB| \)) bulunuz.
💡 İpucu: İki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için Kosinüs Teoremi kullanılır.
Hatırlatma: \( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \).
Çözüm:
- 📌 Adım 1: Problemi Geometrik Modelleme
A, B ve C noktaları bir üçgen oluşturur.
Bilinenler: \( |AC| = 10 \) km, \( |BC| = 15 \) km ve bu iki kenar arasındaki açı \( \angle C = 60^\circ \).
Aranan: \( |AB| \) kenarının uzunluğu. - 👉 Adım 2: Kosinüs Teoremini Uygulama
Kosinüs Teoremi'ni C açısına göre yazarsak:
\[ |AB|^2 = |AC|^2 + |BC|^2 - 2 \cdot |AC| \cdot |BC| \cdot \cos C \] - ✅ Adım 3: Değerleri Yerine Koyma ve Hesaplama
\[ |AB|^2 = 10^2 + 15^2 - 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ \] \[ |AB|^2 = 100 + 225 - 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} \] \[ |AB|^2 = 325 - (300 \cdot \frac{1}{2}) \] \[ |AB|^2 = 325 - 150 \] \[ |AB|^2 = 175 \] \[ |AB| = \sqrt{175} \] \[ |AB| = \sqrt{25 \cdot 7} \] \[ |AB| = 5 \sqrt{7} \] km.
A ve B noktaları arasındaki mesafe \( 5 \sqrt{7} \) km'dir.
Örnek 8:
Bir gölün karşı kıyısındaki bir ağaca (A noktası) olan uzaklığı ölçmek isteyen bir yürüyüşçü, gölün kenarında iki nokta (B ve C) belirler.
B ve C noktaları arasındaki mesafe \( |BC| = 50 \) metredir.
B noktasından ağaca bakıldığında oluşan açı \( \angle ABC = 75^\circ \) olarak, C noktasından ağaca bakıldığında oluşan açı \( \angle ACB = 60^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Yürüyüşçünün C noktasından ağaca olan uzaklığını (\( |AC| \)) tahmin ediniz.
💡 Ek bilgi: \( \sin 75^\circ \approx 0.966 \), \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \).
B ve C noktaları arasındaki mesafe \( |BC| = 50 \) metredir.
B noktasından ağaca bakıldığında oluşan açı \( \angle ABC = 75^\circ \) olarak, C noktasından ağaca bakıldığında oluşan açı \( \angle ACB = 60^\circ \) olarak ölçülmüştür.
Yürüyüşçünün C noktasından ağaca olan uzaklığını (\( |AC| \)) tahmin ediniz.
💡 Ek bilgi: \( \sin 75^\circ \approx 0.966 \), \( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707 \).
Çözüm:
- 📌 Adım 1: Üçgenin Üçüncü Açısını Bulma
ABC üçgeninde \( \angle B = 75^\circ \) ve \( \angle C = 60^\circ \) ise, A açısı:
\[ \angle A = 180^\circ - (75^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ \] - 👉 Adım 2: Sinüs Teoremini Uygulama
C noktasından ağaca olan uzaklık \( |AC| \) kenarıdır ve karşısındaki açı B açısıdır.
Bilinen kenar \( |BC| \) ve karşısındaki açı A açısıdır.
Sinüs Teoremi'ni yazalım:
\[ \frac{|AC|}{\sin B} = \frac{|BC|}{\sin A} \] - ✅ Adım 3: Değerleri Yerine Koyma ve Hesaplama
\[ \frac{|AC|}{\sin 75^\circ} = \frac{50}{\sin 45^\circ} \] Değerleri yerine koyalım: \( \sin 75^\circ \approx 0.966 \), \( \sin 45^\circ \approx 0.707 \)
\[ \frac{|AC|}{0.966} = \frac{50}{0.707} \] \[ |AC| = \frac{50 \cdot 0.966}{0.707} \] \[ |AC| \approx \frac{48.3}{0.707} \] \[ |AC| \approx 68.31 \] metre.
Yürüyüşçünün C noktasından ağaca olan uzaklığı yaklaşık olarak \( 68.31 \) metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ucgenler/sorular