🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Tümler Açılar Ve Trigonometrik Değerleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Tümler Açılar Ve Trigonometrik Değerleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İki açının toplamı \( 90^\circ \) ise bu açılara tümleri denir. Bir \( \alpha \) açısının tümler açısı \( 90^\circ - \alpha \) olarak ifade edilir. Eğer bir \( \alpha \) açısının tümler açısı \( 3\alpha \) ise, \( \alpha \) kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Tümler iki açının toplamı \( 90^\circ \) olmalıdır.
- Soruda verilen \( \alpha \) açısının tümler açısı \( 3\alpha \) olarak belirtilmiş.
- Bu durumda denklemimiz: \( \alpha + 3\alpha = 90^\circ \) olur.
- Denklemi çözersek: \( 4\alpha = 90^\circ \)
- Her iki tarafı 4'e bölersek: \( \alpha = \frac{90^\circ}{4} = 22.5^\circ \)
- Yani, \( \alpha \) açısı 22.5 derecedir. ✅
Örnek 2:
Bir \( \beta \) açısının tümler açısı \( \beta + 10^\circ \) olarak verilmiştir. \( \beta \) açısının ölçüsünü bulunuz. 🤔
Çözüm:
- Tümler iki açının toplamı \( 90^\circ \) olmalıdır.
- Bir açı \( \beta \) ve tümleri \( \beta + 10^\circ \) ise, denklemi kurarız: \( \beta + (\beta + 10^\circ) = 90^\circ \)
- Denklemi basitleştirirsek: \( 2\beta + 10^\circ = 90^\circ \)
- Her iki taraftan \( 10^\circ \) çıkarırsak: \( 2\beta = 80^\circ \)
- Her iki tarafı 2'ye bölersek: \( \beta = 40^\circ \)
- Dolayısıyla, \( \beta \) açısı 40 derecedir. 👉
Örnek 3:
\( \sin(x) = \cos(y) \) eşitliği veriliyor. Bu eşitliğin sağlanabilmesi için \( x \) ve \( y \) açıları arasında nasıl bir ilişki olmalıdır? 🔗
Çözüm:
- Trigonometride önemli bir kurala göre, eğer iki açının toplamı \( 90^\circ \) ise (yani tümler açılar ise), birinin sinüsü diğerinin kosinüsüne eşittir.
- Bu kuralı matematiksel olarak ifade edersek: Eğer \( x + y = 90^\circ \) ise, \( \sin(x) = \cos(y) \) olur.
- Soruda verilen \( \sin(x) = \cos(y) \) eşitliği, bu tümler açı ilişkisini doğrudan gösterir.
- Bu nedenle, \( x \) ve \( y \) açıları tümleri olmalıdır. Yani, \( x + y = 90^\circ \) olmalıdır. 📌
Örnek 4:
Bir \( \theta \) açısı için \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \) olarak verilmiştir. Bu \( \theta \) açısının tümler açısının kosinüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
- Tümler iki açıdan birinin sinüsü, diğerinin kosinüsüne eşittir.
- Yani, eğer \( \alpha \) ve \( \beta \) tümler açılar ise (\( \alpha + \beta = 90^\circ \)), \( \sin(\alpha) = \cos(\beta) \) ve \( \cos(\alpha) = \sin(\beta) \) olur.
- Soruda bize \( \theta \) açısının sinüsü verilmiş: \( \sin(\theta) = \frac{3}{5} \).
- Bizden istenen, \( \theta \) açısının tümler açısının kosinüsüdür.
- Tümler açı kuralına göre, \( \theta \) açısının tümler açısının kosinüsü, \( \theta \) açısının sinüsüne eşittir.
- Bu durumda, \( \cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta) = \frac{3}{5} \).
- Sonuç olarak, tümler açının kosinüsü \( \frac{3}{5} \)'tir. ✅
Örnek 5:
\( \sin(2\alpha) = \cos(3\alpha) \) denklemini sağlayan en küçük pozitif \( \alpha \) açısını bulunuz. 🚀
Çözüm:
- Bu denklem, tümler açıların trigonometrik özelliklerini kullanmamızı gerektirir.
- \( \sin(A) = \cos(B) \) eşitliği, \( A \) ve \( B \) tümler açılar olduğunda sağlanır. Yani, \( A + B = 90^\circ \).
- Soruda verilen denklemde \( A = 2\alpha \) ve \( B = 3\alpha \)'dır.
- Bu durumda, tümler açı kuralını uygularsak: \( 2\alpha + 3\alpha = 90^\circ \)
- Denklemi çözersek: \( 5\alpha = 90^\circ \)
- Her iki tarafı 5'e bölersek: \( \alpha = \frac{90^\circ}{5} = 18^\circ \)
- Bu, denklemi sağlayan en küçük pozitif \( \alpha \) değeridir.
- Yani, \( \alpha \) açısı 18 derecedir. 👍
Örnek 6:
Bir saatte akrep ile yelkovanın oluşturduğu açının tümleri, aynı saatte yelkovan ile dakika arasındaki açının trigonometrik değerini bulmak için kullanılabilir mi? 🕰️
Çözüm:
- Bu soru, tümler açı kavramının trigonometri ile nasıl ilişkilendirilebileceğini gösterir.
- Saat problemlerinde açılar genellikle \( 360^\circ \) üzerinden hesaplanır.
- Örneğin, saat 3 olduğunda yelkovan 12'yi, akrep ise 3'ü gösterir. Aralarındaki açı \( 90^\circ \)'dir.
- Eğer bu \( 90^\circ \)'lik açının tümleri sorulsaydı, bu \( 0^\circ \) olurdu ki bu pratik bir kullanım olmazdı.
- Ancak, eğer bir açının trigonometrik değeri biliniyorsa, tümler açısının trigonometrik değeri kolayca bulunabilir.
- Örneğin, bir durumda oluşan \( \theta \) açısı için \( \sin(\theta) \) değeri biliniyorsa, tümler açısının kosinüsü \( \cos(90^\circ - \theta) = \sin(\theta) \) olacaktır.
- Bu tür bir ilişki, dolaylı olarak trigonometrik hesaplamalarda kullanılabilir. 💡
Örnek 7:
Bir mühendis, bir binanın eğimini hesaplarken, zemine dik olan bir çizgi ile binanın cephesi arasındaki açının tümler açısını kullanarak bazı trigonometrik hesaplamalar yapabilir mi? 🏗️
Çözüm:
- Evet, bu tür durumlar günlük hayatta ve mühendislikte sıkça karşımıza çıkar.
- Bir binanın zemine göre eğimi, genellikle binanın cephesi ile zemin arasındaki açı ile ifade edilir.
- Ancak, mühendislikte bazen zemine dik bir çizgi (yani, binanın olması gereken dikey pozisyonu) ile cephe arasındaki açı da önemlidir.
- Eğer zemin ile cephe arasındaki açı \( \alpha \) ise, zemine dik çizgi ile cephe arasındaki açı \( \beta \) olur. Bu iki açı birbirini \( 90^\circ \)'ye tamamlar, yani tümler açılardır (\( \alpha + \beta = 90^\circ \)).
- Mühendisler, \( \alpha \) açısını kullanarak \( \sin(\alpha) \) ve \( \cos(\alpha) \) gibi değerlerle binanın yüksekliği, cephe uzunluğu gibi hesaplamalar yapabilirler.
- Eğer \( \alpha \) yerine tümler açısı \( \beta \) ile çalışmak isterlerse, \( \sin(\beta) = \cos(\alpha) \) ve \( \cos(\beta) = \sin(\alpha) \) ilişkilerini kullanarak aynı sonuca ulaşabilirler.
- Bu, trigonometrinin ve tümler açıların mühendislikteki pratik kullanımına bir örnektir. ✅
Örnek 8:
\( \tan(x) = \frac{1}{2} \) ve \( x \) bir dar açı olmak üzere, \( \cos(90^\circ - x) \) değerini bulunuz. 🧮
Çözüm:
- Soruda verilen \( \tan(x) = \frac{1}{2} \) bilgisini kullanacağız.
- Ayrıca, \( x \) açısının dar bir açı olduğunu biliyoruz.
- Bizden istenen \( \cos(90^\circ - x) \) değeridir.
- Tümler açıların trigonometrik özelliklerinden biliyoruz ki, \( \cos(90^\circ - x) = \sin(x) \).
- Şimdi \( \sin(x) \) değerini bulmamız gerekiyor.
- Bir dik üçgen çizerek veya trigonometrik özdeşlikleri kullanarak \( \sin(x) \) değerini bulabiliriz.
- Dik üçgen çizimi: Karşı dik kenar 1, komşu dik kenar 2 ise, hipotenüs \( \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \) olur.
- Bu durumda \( \sin(x) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \).
- Paydayı rasyonel yaparsak \( \sin(x) = \frac{\sqrt{5}}{5} \).
- Sonuç olarak, \( \cos(90^\circ - x) = \sin(x) = \frac{\sqrt{5}}{5} \). 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-tumler-acilar-ve-trigonometrik-degerleri/sorular