💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik özdeşlikler Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için temel trigonometrik özdeşliklerden yararlanacağız:

• Adım 1: Temel özdeşliğimiz olan \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) formülünü hatırlayalım.
• Adım 2: Bu formülde \( \sin^2 x \) ifadesini eşitliğin diğer tarafına atarsak, \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) elde ederiz.
• Adım 3: Soruda verilen pay kısmındaki \( 1 - \sin^2 x \) yerine \( \cos^2 x \) yazalım:

• Adım 4: Paydaki \( \cos^2 x \) ifadesini \( \cos x \cdot \cos x \) olarak düşünürsek, paydadaki \( \cos x \) ile bir tanesi sadeleşir.
• Sonuç: İşlemin en sade hali \( \cos x \) olarak bulunur. ✅

Trigonometrik fonksiyonların birbirleri cinsinden yazılışlarını kullanarak sadeleştirme yapalım:

• Adım 1: \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \) ve \( \cot x \cdot \tan x = 1 \) olduğunu biliyoruz.
• Adım 2: İlk terimi düzenleyelim: \( \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \cos x = \sin x \) olur (cos x'ler sadeleşir).
• Adım 3: İkinci terimi düzenleyelim: \( \sin x \cdot (\cot x \cdot \tan x) = \sin x \cdot 1 = \sin x \) olur.
• Adım 4: Şimdi bulduğumuz sonuçları toplayalım:

Cevap: \( 2 \sin x \) 💡

Tam kare açılımı ve temel özdeşlikleri kullanarak çözüme ulaşalım:

• Adım 1: \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \) özdeşliğini kullanarak parantezi açalım:

• Adım 2: Şimdi soruda verilen ifadenin tamamını yazalım:

• Adım 3: İfadede yer alan \( + 2 \sin x \cdot \cos x \) ve \( - 2 \sin x \cdot \cos x \) birbirini yok eder (sıfırlar).
• Adım 4: Geriye kalan ifade: \( \sin^2 x + \cos^2 x \) olur.
• Adım 5: Temel özdeşliğimiz gereği bu toplamın sonucu \( 1 \) değerine eşittir.

Cevap: \( 1 \) 📌

Bu tarz sorularda her iki tarafın karesini almak en hızlı çözümdür:

• Adım 1: Verilen \( \tan x + \cot x = 3 \) eşitliğinde her iki tarafın karesini alalım:

• Adım 2: Sol tarafın karesini açalım:

• Adım 3: Özdeşliklerden bildiğimiz üzere \( \tan x \cdot \cot x = 1 \) dir. Bunu yerine yazalım:

• Adım 4: Eşitlikteki \( 2 \) sayısını karşı tarafa atalım:

Cevap: \( 7 \) ✅

Payda eşitleme veya özdeşlik dönüşümü yaparak ilerleyebiliriz. Özdeşlik dönüşümü daha pratiktir:

• Adım 1: Pay kısmındaki \( \cos^2 x \) yerine \( 1 - \sin^2 x \) yazalım.
• Adım 2: \( 1 - \sin^2 x \) ifadesi iki kare farkıdır ve \( (1 - \sin x) \cdot (1 + \sin x) \) şeklinde çarpanlarına ayrılır.
• Adım 3: İfadeyi tekrar yazalım:

• Adım 4: Pay ve paydadaki \( (1 - \sin x) \) terimleri birbirini sadeleştirir.
• Adım 5: Geriye kalan ifade: \( 1 + \sin x - \sin x \) olur.
• Adım 6: \( \sin x \) terimleri birbirini yok eder ve sonuç \( 1 \) kalır.

Cevap: \( 1 \) 🎯

Tüm ifadeleri sinüs ve kosinüs cinsinden yazarak sadeleştirelim:

• Adım 1: Fonksiyonları açalım:

• Adım 2: Paydadaki toplamı yapalım (payda eşitleyerek):

• Adım 3: Şimdi ana bölme işlemini yapalım (birinciyi aynen yaz, ikinciyi ters çevir çarp):

• Adım 4: Pay ve paydadaki \( \cos x \) terimleri sadeleşir.
• Sonuç: Geriye sadece \( \sin x \) kalır.

Cevap: \( \sin x \) 🚀

Birim çember üzerindeki her \( (x, y) \) noktası için \( x^2 + y^2 = 1 \) kuralı geçerlidir.

• Adım 1: Apsis \( x = - \frac{3}{5} \) ise denklemde yerine koyalım:

• Adım 2: \( y^2 = \frac{16}{25} \) ise \( y = \frac{4}{5} \) veya \( y = - \frac{4}{5} \) olur.
• Adım 3: Nokta ikinci bölgede olduğu için ordinat (y) pozitif olmalıdır. Bu yüzden \( y = \frac{4}{5} \) seçilir.
• Adım 4: Tanjant değeri \( \tan \alpha = \frac{y}{x} \) formülü ile bulunur:

Cevap: Ordinat \( \frac{4}{5} \), tanjant değeri \( - \frac{4}{3} \) dür. 📍

Dik üçgen yardımıyla veya özdeşlik kullanarak tanjant değerine geçiş yapabiliriz:

• Adım 1: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) özdeşliğini kullanalım.
• Adım 2: \( \left( \frac{5}{13} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \)
• Adım 3: \( \frac{25}{169} + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \)
• Adım 4: Buradan \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \) bulunur (açı dar açı kabul edilir).
• Adım 5: Eğim yani tanjant değerini hesaplayalım:

Cevap: Rampanın eğimi \( \frac{5}{12} \) olarak bulunur. 📐