🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
\( y = \sin(x) \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Grafiği çizmek için şu adımları izleyelim:
- Temel Değerler: Sinüs fonksiyonunun periyodu \( 2\pi \)'dir. Başlıca noktaları belirleyelim:
- \( x = 0 \) iken \( y = \sin(0) = 0 \)
- \( x = \frac{\pi}{2} \) iken \( y = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 \)
- \( x = \pi \) iken \( y = \sin(\pi) = 0 \)
- \( x = \frac{3\pi}{2} \) iken \( y = \sin(\frac{3\pi}{2}) = -1 \)
- \( x = 2\pi \) iken \( y = \sin(2\pi) = 0 \)
- Grafik Şekli: Bu noktaları birleştirdiğimizde, sinüs grafiğinin yumuşak, dalgalı bir eğri olduğunu görürüz.
- Periyot: Grafik \( 2\pi \) birimlik periyotlarla kendini tekrar eder.
Örnek 2:
\( y = \cos(x) \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Kosinüs fonksiyonunun grafiğini çizmek için şu adımları takip edelim:
- Temel Değerler: Kosinüs fonksiyonunun periyodu da \( 2\pi \)'dir. Başlıca noktaları inceleyelim:
- \( x = 0 \) iken \( y = \cos(0) = 1 \)
- \( x = \frac{\pi}{2} \) iken \( y = \cos(\frac{\pi}{2}) = 0 \)
- \( x = \pi \) iken \( y = \cos(\pi) = -1 \)
- \( x = \frac{3\pi}{2} \) iken \( y = \cos(\frac{3\pi}{2}) = 0 \)
- \( x = 2\pi \) iken \( y = \cos(2\pi) = 1 \)
- Grafik Şekli: Bu noktalar, kosinüs grafiğinin sinüs grafiğine benzer ancak başlangıç noktası farklı olan dalgalı bir eğri olduğunu gösterir.
- Periyot: Kosinüs grafiği de \( 2\pi \) birimlik periyotlarla tekrar eder.
Örnek 3:
\( y = \tan(x) \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Tanjant fonksiyonunun grafiğini anlamak için şu noktalara dikkat edelim:
- Periyot: Tanjant fonksiyonunun periyodu \( \pi \)'dir.
- Asimptotlar: Tanjant fonksiyonu, \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (burada \( k \) bir tam sayıdır) noktalarında tanımsızdır. Bu noktalar dikey asimptotlardır.
- Başlıca Noktalar:
- \( x = 0 \) iken \( y = \tan(0) = 0 \)
- \( x = \frac{\pi}{4} \) iken \( y = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1 \)
- \( x = -\frac{\pi}{4} \) iken \( y = \tan(-\frac{\pi}{4}) = -1 \)
- Grafik Şekli: Grafik, asimptotlara yaklaşan ve bu asimptotlar arasında artan (veya azalan) parçalardan oluşur.
Örnek 4:
\( y = \cot(x) \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Kotanjant fonksiyonunun grafiğini çizmek için şu özellikleri göz önünde bulunduralım:
- Periyot: Kotanjant fonksiyonunun periyodu da \( \pi \)'dir.
- Asimptotlar: Kotanjant fonksiyonu, \( x = k\pi \) (burada \( k \) bir tam sayıdır) noktalarında tanımsızdır. Bu noktalar dikey asimptotlardır.
- Başlıca Noktalar:
- \( x = \frac{\pi}{2} \) iken \( y = \cot(\frac{\pi}{2}) = 0 \)
- \( x = \frac{\pi}{4} \) iken \( y = \cot(\frac{\pi}{4}) = 1 \)
- \( x = \frac{3\pi}{4} \) iken \( y = \cot(\frac{3\pi}{4}) = -1 \)
- Grafik Şekli: Grafik, asimptotlara yaklaşan ve bu asimptotlar arasında azalan parçalardan oluşur.
Örnek 5:
\( y = 2\sin(x) \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için \( y = \sin(x) \) grafiğini dönüştüreceğiz:
- Amplitüd: \( y = a\sin(bx+c) + d \) formülündeki \( a \) değeri genliği (amplitüdü) belirler. Burada \( a = 2 \)'dir. Bu, sinüs dalgasının maksimum değerinin 2 ve minimum değerinin -2 olacağı anlamına gelir.
- Periyot: \( x \) değişkeninin katsayısı 1 olduğu için periyot \( \frac{2\pi}{1} = 2\pi \)'dir.
- Değer Aralığı: Amplitüdün değişmesiyle değer aralığı \([-2, 2]\) olur.
- Grafik: \( y = \sin(x) \) grafiğinin düşey olarak 2 katına çıkarılmış halidir.
Örnek 6:
\( y = \cos(x - \frac{\pi}{2}) \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Bu fonksiyonun grafiğini çizmek için kosinüs grafiğindeki yatay kaymaya odaklanalım:
- Yatay Kayma: \( y = \cos(x - c) \) formülündeki \( c \) değeri, grafiğin \( c \) birim sağa kaydırıldığını gösterir. Burada \( c = \frac{\pi}{2} \)'dir.
- Grafik: Kosinüs grafiği, \( \frac{\pi}{2} \) birim sağa kaydırılmıştır. Bu, \( y = \cos(x) \) grafiğinin \( x = \frac{\pi}{2} \) kadar ötelenmiş halidir.
- Özdeşlik: Aslında \( \cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin(x) \) özdeşliği gereği bu grafik \( y = \sin(x) \) grafiği ile aynıdır.
Örnek 7:
\( y = 3\tan(2x) \) fonksiyonunun periyodunu ve grafiğini yorumlayınız.
Çözüm:
Bu fonksiyonun özelliklerini analiz edelim:
- Periyot: \( y = a\tan(bx) \) formülünde periyot \( \frac{\pi}{|b|} \)'dir. Burada \( b = 2 \)'dir. Dolayısıyla periyot \( \frac{\pi}{2} \)'dir.
- Amplitüd: Tanjant fonksiyonunda genlik (amplitüd) kavramı genellikle kullanılmaz çünkü fonksiyon sonsuza gider.
- Asimptotlar: \( \tan(2x) \) fonksiyonunda asimptotlar \( 2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) olduğundan, \( x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \) olur.
- Grafik: Orijinal \( y = \tan(x) \) grafiğine göre daha sık tekrarlanan (periyodu \( \frac{\pi}{2} \)) ve dikey olarak sıkışmış bir grafik elde edilir.
Örnek 8:
Bir ses dalgasının genliği 5 birim ve periyodu \( \frac{1}{100} \) saniye ise, bu ses dalgasını temsil eden sinüs fonksiyonunun denklemini yazınız.
Çözüm:
Bu ses dalgasını sinüs fonksiyonu ile modelleyebiliriz:
- Genlik (Amplitüd): Ses dalgasının genliği 5 birimdir. Sinüs fonksiyonunda bu, \( a = 5 \) olarak alınır.
- Periyot: Ses dalgasının periyodu \( T = \frac{1}{100} \) saniyedir. Sinüs fonksiyonunda \( y = a\sin(bx) \) formülünde periyot \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) ile bulunur.
- \( b \) Değerini Bulma: \( \frac{1}{100} = \frac{2\pi}{|b|} \) denklemini çözersek, \( |b| = 2\pi \times 100 = 200\pi \) buluruz.
- Fonksiyon Denklemi: Bu değerleri yerine koyarak ses dalgasını temsil eden denklem \( y = 5\sin(200\pi t) \) olarak yazılabilir (burada \( t \) zamanı temsil eder).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-trigonometrik-fonksiyonlarin-grafikleri/sorular