📄 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Verilen fonksiyon \( y = 2 \sin(x - \frac{\pi}{4}) + 1 \) şeklindedir. Bu fonksiyon, genel formu \( y = a \sin(bx + c) + d \) olan bir sinüs fonksiyonudur.



1. Periyot: \( b = 1 \) olduğundan, fonksiyonun periyodu \( \frac{2\pi}{|b|} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \)'dir.

2. Maksimum Değer: Sinüs fonksiyonunun alabileceği en büyük değer 1'dir. Bu durumda, \( 2 \times 1 + 1 = 3 \) olur. Yani maksimum değer 3'tür.

3. Minimum Değer: Sinüs fonksiyonunun alabileceği en küçük değer -1'dir. Bu durumda, \( 2 \times (-1) + 1 = -1 \) olur. Yani minimum değer -1'dir.



Fonksiyonun grafiği, \( y = \sin(x) \) grafiğinin \( \frac{\pi}{4} \) birim sağa ötelenmesi, genliğinin 2 katına çıkarılması ve 1 birim yukarı ötelenmesiyle elde edilir.

💡 Çözüm Adımları:

Kosinüs fonksiyonu \( y = \cos(x) \) için:



1. Tanım Kümesi: Fonksiyon tüm reel sayılarda tanımlıdır. \( T.K. = \mathbb{R} \).

2. Değer Kümesi: Fonksiyonun alabileceği en büyük değer 1, en küçük değer ise -1'dir. \( D.K. = [-1, 1] \).

3. Periyot: Fonksiyonun periyodu \( 2\pi \)'dir. Yani \( \cos(x + 2\pi) = \cos(x) \)'dir.

4. Çift/Tek Fonksiyon Olma Durumu: \( \cos(-x) = \cos(x) \) eşitliği sağlandığı için kosinüs fonksiyonu bir çift fonksiyondur. Grafiği y eksenine göre simetriktir.



Grafik: Grafik, \( x=0 \) noktasında maksimum (1) değerini alır, \( x=\frac{\pi}{2} \) noktasında 0 olur, \( x=\pi \) noktasında minimum (-1) değerini alır, \( x=\frac{3\pi}{2} \) noktasında 0 olur ve \( x=2\pi \) noktasında tekrar maksimum değerini alır. Grafik, dalgalı bir yapıdadır ve y eksenine göre simetriktir.

💡 Çözüm Adımları:

Tanjant \( (y = \tan(x)) \) ve Kotanjant \( (y = \cot(x)) \) fonksiyonları, periyotları ve tek fonksiyon olmaları açısından benzerlik gösterirler, ancak grafiklerinin şekli ve tanımsız oldukları noktalar açısından farklılıklar gösterirler.



Benzerlikler:

* Her iki fonksiyonun da periyodu \( \pi \)'dir.

* Her iki fonksiyon da tek fonksiyondur, yani orijine göre simetriktirler (yani \( f(-x) = -f(x) \) özelliğini sağlarlar).



Farklılıklar:

* Tanımsızlık Noktaları:

* Tanjant fonksiyonu \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (k bir tam sayıdır) noktalarında tanımsızdır. Bu noktalarda düşey asimptotları vardır.

* Kotanjant fonksiyonu \( x = k\pi \) (k bir tam sayıdır) noktalarında tanımsızdır. Bu noktalarda da düşey asimptotları vardır.

* Grafik Şekli:

* Tanjant fonksiyonunun grafiği, asimptotları arasında sürekli artan bir eğri şeklindedir.

* Kotanjant fonksiyonunun grafiği ise asimptotları arasında sürekli azalan bir eğri şeklindedir. Grafik, tanjant grafiğinin \( \frac{\pi}{2} \) kadar sağa ötelenmiş halinin y eksenine göre simetriği gibidir.