🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik Fonksiyonlar Ve Grafik Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Trigonometrik Fonksiyonlar Ve Grafik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Sinüs fonksiyonunun \( f(x) = \sin(x) \) grafiğinin periyodunu ve değer aralığını bulunuz. 💡
Çözüm:
- Periyot: Sinüs fonksiyonunun temel periyodu \( 2\pi \) radyandır. Bu, fonksiyonun kendini her \( 2\pi \) birimde tekrar ettiği anlamına gelir.
- Değer Aralığı: Sinüs fonksiyonunun alabileceği en küçük değer -1, en büyük değer ise 1'dir. Dolayısıyla, değer aralığı \( [-1, 1] \) şeklindedir.
Örnek 2:
Kosinüs fonksiyonunun \( g(x) = \cos(x) \) grafiğinin periyodunu ve değer aralığını belirleyiniz. 📌
Çözüm:
- Periyot: Kosinüs fonksiyonunun da temel periyodu \( 2\pi \) radyandır.
- Değer Aralığı: Kosinüs fonksiyonu da -1 ile 1 arasında değerler alır. Bu nedenle değer aralığı \( [-1, 1] \) olur.
Örnek 3:
\( h(x) = 3\sin(2x) \) fonksiyonunun periyodunu ve genliğini (amplitüdünü) hesaplayınız. 👉
Çözüm:
- Periyot: Genel olarak \( f(x) = a\sin(bx+c)+d \) fonksiyonunun periyodu \( \frac{2\pi}{|b|} \) formülü ile bulunur. Burada \( b=2 \) olduğundan, periyot \( \frac{2\pi}{2} = \pi \) olur.
- Genlik (Amplitüd): Genlik, fonksiyonun denge konumundan maksimum sapmasını gösterir ve \( |a| \) ile bulunur. Burada \( a=3 \) olduğundan, genlik 3'tür.
Örnek 4:
\( k(x) = \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) \) fonksiyonunun grafiğinin, \( \cos(x) \) grafiğine göre yatay öteleme miktarını ve yönünü açıklayınız. ✅
Çözüm:
- Fonksiyonun genel formu \( \cos(x-c) \) şeklindedir.
- Burada \( c = \frac{\pi}{2} \) olduğundan, grafik \( \cos(x) \) grafiğine göre \( \frac{\pi}{2} \) birim sağa ötelenmiştir.
- Bu öteleme sonucunda \( \cos\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \sin(x) \) fonksiyonunun grafiği elde edilir.
Örnek 5:
\( f(x) = 2\cos(x+\pi) - 1 \) fonksiyonunun periyodunu, genliğini ve düşey öteleme miktarını bulunuz. 📈
Çözüm:
- Periyot: \( b=1 \) olduğundan, periyot \( \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi \) olur.
- Genlik: \( a=2 \) olduğundan, genlik 2'dir.
- Düşey Öteleme: Fonksiyonun sabit terimi -1'dir. Bu, grafiğin 1 birim aşağı ötelenmesi anlamına gelir.
Örnek 6:
Bir bisiklet tekerleğinin yerden yüksekliği, tekerlek döndükçe değişir. Tekerleğin merkezinin yerden yüksekliği 40 cm ve yarıçapı 30 cm ise, tekerleğin en alt noktası yere değdiğinde yerden yüksekliği kaç cm olur? Tekerleğin en üst noktası yere göre maksimum kaç cm yüksekliğe ulaşır? 🚴
Çözüm:
- Merkezin yerden yüksekliği 40 cm ve yarıçap 30 cm'dir.
- En Alt Nokta: Tekerleğin en alt noktası, merkezden yarıçap kadar aşağıdadır. Dolayısıyla, yerden yüksekliği \( 40 - 30 = 10 \) cm olur.
- En Üst Nokta: Tekerleğin en üst noktası, merkezden yarıçap kadar yukarıdadır. Dolayısıyla, yerden maksimum yüksekliği \( 40 + 30 = 70 \) cm olur.
Örnek 7:
Bir dalga havuzundaki su seviyesinin zamana bağlı değişimi sinüs fonksiyonu ile modellenebilir. Eğer su seviyesinin ortalama yüksekliği 1.5 metre, genliği 0.5 metre ve periyodu 4 saniye ise, bu dalganın denklemini yazınız. 🌊
Çözüm:
- Ortalama yükseklik (düşey öteleme), \( d \) olarak alınır. Burada \( d = 1.5 \) metredir.
- Genlik (amplitüd), \( |a| \) olarak alınır. Burada \( |a| = 0.5 \) metredir.
- Periyot \( T = \frac{2\pi}{|b|} \) formülü ile bulunur. Periyot 4 saniye olduğundan, \( 4 = \frac{2\pi}{|b|} \) olur. Buradan \( |b| = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \) bulunur.
- Dalganın denklemi \( h(t) = a\sin(bt+c)+d \) şeklinde yazılabilir. Basitlik açısından \( a=0.5 \) ve \( c=0 \) alırsak, denklem \( h(t) = 0.5\sin\left(\frac{\pi}{2}t\right) + 1.5 \) olur.
Örnek 8:
\( f(x) = \tan(x) \) fonksiyonunun grafiğinin periyodunu ve tanım kümesini bulunuz. 📐
Çözüm:
- Periyot: Tanjant fonksiyonunun temel periyodu \( \pi \) radyandır.
- Tanım Kümesi: Tanjant fonksiyonu, kosinüsün sıfır olduğu noktalarda tanımsızdır. Kosinüs \( x = 0 \) olduğunda \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \) (burada k bir tam sayıdır) olur. Bu nedenle, tanım kümesi \( \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z}\right\} \) şeklindedir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-trigonometrik-fonksiyonlar-ve-grafik/sorular