📄 11. Sınıf Matematik: Trigonometrik Fonksiyonlar Ve Grafik Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Bu tür bir sinüs fonksiyonunun grafiğini çizmek için aşağıdaki adımlar ve özellikler belirlenir:

1. Periyot (T): Fonksiyon \(f(x) = a\sin(bx+c)+d\) formunda olduğu için periyot \(T = \frac{2\pi}{|b|}\) formülü ile bulunur. Burada \(b = \frac{1}{2}\) olduğundan, \(T = \frac{2\pi}{|1/2|} = 4\pi\) olur.

2. Maksimum Değer: Fonksiyonun maksimum değeri \(d + |a|\) ile bulunur. Burada \(d=2\) ve \(a=3\) olduğundan, maksimum değer \(2 + |3| = 5\)'tir.

3. Minimum Değer: Fonksiyonun minimum değeri \(d - |a|\) ile bulunur. Burada \(d=2\) ve \(a=3\) olduğundan, minimum değer \(2 - |3| = -1\)'dir.

4. Denge Çizgisi (Orta Nokta): Fonksiyonun denge çizgisi \(y=d\) ile belirlenir. Burada \(d=2\) olduğundan, denge çizgisi \(y=2\)'dir.

5. Faz Kayması (Başlangıç Noktası): \(bx+c=0\) denklemi çözülerek bulunur. \(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2}\). Grafik \(x = -\frac{\pi}{2}\) noktasından başlar.

6. Grafik Çizim Adımları:

* Öncelikle \(y=2\) denge çizgisi çizilir.

* Ardından maksimum \(y=5\) ve minimum \(y=-1\) yatay çizgileri işaretlenir.

* Periyot \(4\pi\) kullanılarak \(x = -\frac{\pi}{2}\) başlangıç noktasından \(x = -\frac{\pi}{2} + 4\pi = \frac{7\pi}{2}\) bitiş noktasına kadar temel aralık belirlenir.

* Bu aralık 4 eşit parçaya bölünerek sinüs fonksiyonunun karakteristik noktaları (denge çizgisi, maksimum, denge çizgisi, minimum, denge çizgisi) işaretlenir ve eğri çizilir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen trigonometrik değerleri indirgeme formüllerini kullanarak bulalım:

* A = \(\sin(210^\circ)\): \(210^\circ\) açısı 3. bölgededir ve sinüs bu bölgede negatiftir. \(\sin(210^\circ) = \sin(180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}\).

* B = \(\cos(300^\circ)\): \(300^\circ\) açısı 4. bölgededir ve kosinüs bu bölgede pozitiftir. \(\cos(300^\circ) = \cos(360^\circ - 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}\).

* C = \(\tan(135^\circ)\): \(135^\circ\) açısı 2. bölgededir ve tanjant bu bölgede negatiftir. \(\tan(135^\circ) = \tan(180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1\).



Bulduğumuz değerler: \(A = -\frac{1}{2}\), \(B = \frac{1}{2}\), \(C = -1\).

Bu değerleri büyükten küçüğe sıralarsak:

\(\frac{1}{2} > -\frac{1}{2} > -1\)

Dolayısıyla sıralama \(B > A > C\) şeklindedir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen ifadeyi sadeleştirmek için paydaları eşitleyelim:

\(\frac{\sin x}{1 + \cos x} + \frac{1 + \cos x}{\sin x} = \frac{\sin x \cdot \sin x}{(1 + \cos x) \cdot \sin x} + \frac{(1 + \cos x) \cdot (1 + \cos x)}{\sin x \cdot (1 + \cos x)}\)

\(= \frac{\sin^2 x + (1 + \cos x)^2}{\sin x (1 + \cos x)}\)

Şimdi paydaki ifadeyi açalım:

\(\sin^2 x + (1 + 2\cos x + \cos^2 x)\)

Trigonometrik özdeşlik olan \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\) bağıntısını kullanalım:

\(1 + 1 + 2\cos x = 2 + 2\cos x = 2(1 + \cos x)\)

Bu ifadeyi pay yerine yazarsak:

\(\frac{2(1 + \cos x)}{\sin x (1 + \cos x)}\)

\(x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)\) aralığında \(\cos x
eq -1\) olduğu için \((1 + \cos x)\) terimlerini sadeleştirebiliriz:

\(= \frac{2}{\sin x}\)

İfadenin en sade hali \(\frac{2}{\sin x}\)'tir.