💡 11. Sınıf Matematik: Trigonometri Yönlü Açılar Çözümlü Örnekler

• 👉 Başlangıç Kenarı ve Bitim Kenarı: Bir açıyı oluşturan iki ışından birine başlangıç kenarı, diğerine ise bitim kenarı denir.
• 👉 Yön: Açının oluşum yönü, açının pozitif veya negatif olduğunu belirler.
  • 💡 Pozitif Yön: Saatin dönme yönünün tersi yöndeki açılara pozitif yönlü açı denir. Genellikle matematiksel hesaplamalarda bu yön esas alınır.
  • 💡 Negatif Yön: Saatin dönme yönüyle aynı yöndeki açılara negatif yönlü açı denir.

Yukarıdaki örneklere göre:

• a) Saatin tersi yönde döndürüldüğü için bu bir pozitif yönlü açıdır.
• b) Saat yönünde döndürüldüğü için bu bir negatif yönlü açıdır.

• 📌 Formül: \( \frac{D}{180} = \frac{R}{\pi} \)
  Burada \( D \) derece cinsinden açıyı, \( R \) ise radyan cinsinden açıyı temsil eder.
• 👉 Verilen açımız \( D = 150^\circ \). Formülde yerine yazalım: \[ \frac{150}{180} = \frac{R}{\pi} \]
• 👉 Denklemi \( R \) için çözelim. Her iki tarafı \( \pi \) ile çarpalım: \[ R = \frac{150}{180} \times \pi \]
• 👉 Kesri sadeleştirelim. \( 150 \) ve \( 180 \) sayıları \( 30 \) ile bölünebilir: \[ R = \frac{150 \div 30}{180 \div 30} \times \pi \] \[ R = \frac{5}{6} \times \pi \] \[ R = \frac{5\pi}{6} \]

Sonuç olarak, \( 150^\circ \) lik açı \( \frac{5\pi}{6} \) radyan olarak ifade edilir.

• 👉 Verilen açımız \( R = \frac{7\pi}{4} \).
• 👉 \( \pi \) yerine \( 180^\circ \) yazalım: \[ \frac{7 \times 180^\circ}{4} \]
• 👉 İşlemi yapalım: \[ \frac{1260^\circ}{4} \]
• 👉 Bölme işlemini tamamlayalım: \[ 315^\circ \]

Sonuç olarak, \( \frac{7\pi}{4} \) radyanlık açı \( 315^\circ \) olarak ifade edilir.

• 👉 Verilen açı \( 1230^\circ \). Bu açı \( 360^\circ \) den büyük olduğu için esas ölçüsünü bulmak için \( 360^\circ \) ye bölerek kalanı bulmalıyız.
• 👉 \( 1230^\circ \) yi \( 360^\circ \) ye bölelim: \[ 1230 \div 360 \]
• 👉 Bölme işlemini yaparsak:
  \( 1230 = 3 \times 360 + 150 \)
  (Çünkü \( 3 \times 360 = 1080 \), ve \( 1230 - 1080 = 150 \))
• 👉 Kalan \( 150^\circ \) dir.

Bu durumda, \( 1230^\circ \) lik açının esas ölçüsü \( 150^\circ \) dir.

• 👉 Verilen açı \( -870^\circ \).
• 👉 \( -870^\circ \) yi \( 360^\circ \) ye bölelim. Negatif bir sayıyı bölerken, bölümü, sonucun pozitif olmasını sağlayacak şekilde seçeriz (yani mutlak değerce daha büyük bir tam sayıya yuvarlarız).
  \( -870 \div 360 \approx -2.41 \)
• 👉 Bu durumda, \( -870 \) sayısını \( 360 \) ın \( -3 \) katı ile düşünelim:
  \( -3 \times 360 = -1080 \)
• 👉 Şimdi \( -870 \) den \( -1080 \) i çıkaralım (yani \( -870 + 1080 \)):
  \( -870 - (-1080) = -870 + 1080 = 210 \)
• 👉 Kalan \( 210^\circ \) dir. Bu değer \( [0^\circ, 360^\circ) \) aralığında olduğu için esas ölçüdür.

Alternatif bir yöntem olarak:

• 👉 \( 870^\circ \) nin esas ölçüsünü bulalım: \( 870 = 2 \times 360 + 150 \). Yani \( 150^\circ \).
• 👉 Negatif açı olduğu için \( -150^\circ \) olur.
• 👉 Negatif bir esas ölçü istemediğimiz için \( -150^\circ \) ye \( 360^\circ \) ekleriz: \( -150^\circ + 360^\circ = 210^\circ \).

Her iki durumda da, \( -870^\circ \) lik açının esas ölçüsü \( 210^\circ \) dir.

• 👉 Verilen açı \( \frac{29\pi}{3} \).
• 👉 \( 2\pi \) nin katlarını çıkaracağımız için, paydadaki sayıya göre \( 2\pi \) yi \( \frac{6\pi}{3} \) olarak düşünebiliriz.
• 👉 \( 29\pi \) yi \( 6\pi \) ye bölelim (yani \( 29 \) u \( 6 \) ya bölelim):
  \( 29 \div 6 = 4 \) kalan \( 5 \)
  (Çünkü \( 4 \times 6 = 24 \), ve \( 29 - 24 = 5 \))
• 👉 Bu durumda, \( \frac{29\pi}{3} \) açısı \( 4 \) tane \( 2\pi \) (yani \( \frac{24\pi}{3} \)) ve kalan \( \frac{5\pi}{3} \) den oluşur.
• 👉 Esas ölçü, kalan kısımdır: \( \frac{5\pi}{3} \).

Sonuç olarak, \( \frac{29\pi}{3} \) radyanlık açının esas ölçüsü \( \frac{5\pi}{3} \) dir.

• 👉 Verilen açı \( -\frac{17\pi}{5} \).
• 👉 \( 2\pi \) nin katlarını çıkaracağımız için, paydadaki sayıya göre \( 2\pi \) yi \( \frac{10\pi}{5} \) olarak düşünebiliriz.
• 👉 \( -17\pi \) yi \( 10\pi \) ye bölelim (yani \( -17 \) yi \( 10 \) a bölelim). Bölümü, sonucun pozitif olmasını sağlayacak şekilde seçeriz (yani mutlak değerce daha büyük bir tam sayıya yuvarlarız).
  \( -17 \div 10 \approx -1.7 \)
• 👉 Bu durumda, \( -17 \) sayısını \( 10 \) un \( -2 \) katı ile düşünelim:
  \( -2 \times 10 = -20 \)
• 👉 Şimdi \( -17\pi \) den \( -20\pi \) yi çıkaralım (yani \( -17\pi + 20\pi \)):
  \( -17\pi - (-20\pi) = -17\pi + 20\pi = 3\pi \)
• 👉 Kalan \( \frac{3\pi}{5} \) dir. Bu değer \( [0, 2\pi) \) aralığında olduğu için esas ölçüdür.

Alternatif bir yöntem olarak:

• 👉 \( \frac{17\pi}{5} \) in esas ölçüsünü bulalım: \( 17 \div 10 = 1 \) kalan \( 7 \). Yani \( \frac{7\pi}{5} \).
• 👉 Negatif açı olduğu için \( -\frac{7\pi}{5} \) olur.
• 👉 Negatif bir esas ölçü istemediğimiz için \( -\frac{7\pi}{5} \) e \( 2\pi \) (yani \( \frac{10\pi}{5} \)) ekleriz:
  \( -\frac{7\pi}{5} + \frac{10\pi}{5} = \frac{3\pi}{5} \)

Her iki durumda da, \( -\frac{17\pi}{5} \) radyanlık açının esas ölçüsü \( \frac{3\pi}{5} \) dir.

• 1. Esas ölçüyü bulma:
  • 👉 Pervane \( 2700^\circ \) dönmüştür. Esas ölçüyü bulmak için \( 2700^\circ \) yi \( 360^\circ \) ye bölelim: \[ 2700 \div 360 \]
  • 👉 Bölme işlemini yaparsak:
    \( 2700 = 7 \times 360 + 180 \)
    (Çünkü \( 7 \times 360 = 2520 \), ve \( 2700 - 2520 = 180 \))
  • 👉 Kalan \( 180^\circ \) dir. Bu değer \( [0^\circ, 360^\circ) \) aralığında olduğu için esas ölçüdür.
• 2. Tam tur sayısını bulma:
  • 👉 Bölme işleminde elde ettiğimiz bölüm, pervanenin kaç tam tur döndüğünü gösterir.
    \( 2700 = \underline{7} \times 360 + 180 \)
  • 👉 Bölüm \( 7 \) olduğu için pervane \( 7 \) tam tur dönmüştür.

Sonuç olarak, pervanenin son konumunun esas ölçüsü \( 180^\circ \) dir ve pervane \( 7 \) tam tur dönmüştür.