💡 11. Sınıf Matematik: Ters fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

Ters fonksiyonu bulmak için şu adımları izleyebiliriz:

• Adım 1: Fonksiyonun eşitliğini \(y = f(x)\) şeklinde yazın.
  \(y = 2x + 1\)
• Adım 2: Eşitlikte \(x\)'i \(y\) cinsinden yalnız bırakın.
  \(y - 1 = 2x\)
  \(x = \frac{y - 1}{2}\)
• Adım 3: \(x\) yerine \(f^{-1}(x)\) ve \(y\) yerine \(x\) yazarak ters fonksiyonu elde edin.
  \(f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}\)

✅ Sonuç olarak, \(f^{-1}(x) = \frac{x - 1}{2}\) bulunur.

Ters fonksiyonu bulma adımları:

• 1. Adım: Fonksiyonu \(y\) cinsinden yazalım: \(y = 3x - 5\).
• 2. Adım: \(x\)'i \(y\) cinsinden ifade edelim:
  \(y + 5 = 3x\)
  \(x = \frac{y + 5}{3}\)
• 3. Adım: Değişkenleri değiştirelim: \(g^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}\).

📌 Bu fonksiyonun tersi \(g^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3}\)'tür.

Ters fonksiyon hesaplaması:

• Fonksiyonu \(y\) ile ifade edelim: \(y = \frac{x+2}{4}\).
• Denklemde \(x\)'i yalnız bırakalım:
  \(4y = x + 2\)
  \(x = 4y - 2\)
• Değişkenleri \(x\) ve \(h^{-1}(x)\) ile değiştirelim: \(h^{-1}(x) = 4x - 2\).

Sonuç: \(h^{-1}(x) = 4x - 2\). ✅

Ters fonksiyonu bulmak için:

• 1. \(y = 5 - 2x\) yazılır.
• 2. \(x\) yalnız bırakılır:
  \(y - 5 = -2x\)
  \(x = \frac{y - 5}{-2}\)
  \(x = \frac{5 - y}{2}\)
• 3. Değişkenler değiştirilir: \(k^{-1}(x) = \frac{5 - x}{2}\).

Ters fonksiyon \(k^{-1}(x) = \frac{5 - x}{2}\)'dir. 👍

Karmaşık ters fonksiyon hesaplaması:

• Adım 1: \(y = \frac{3x-1}{x+2}\) denklemini kurun.
• Adım 2: \(x\)'i \(y\) cinsinden çözmek için denklemi düzenleyin:
  \(y(x+2) = 3x - 1\)
  \(xy + 2y = 3x - 1\)
  \(2y + 1 = 3x - xy\)
  \(2y + 1 = x(3 - y)\)
  \(x = \frac{2y + 1}{3 - y}\)
• Adım 3: Değişkenleri değiştirerek \(f^{-1}(x)\)'i bulun:
  \(f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3 - x}\)

Bu fonksiyonun tersi \(f^{-1}(x) = \frac{2x + 1}{3 - x}\) olarak bulunur. (x ≠ 3) ✅

Bu problemi ters fonksiyon kullanarak çözeceğiz:

• 1. Adım: Verilen satış fiyatı fonksiyonu \(S(x) = 1.5x + 50\)'dir.
• 2. Adım: Ters fonksiyonu \(S^{-1}(y)\)'yi bulalım.
  \(y = 1.5x + 50\)
  \(y - 50 = 1.5x\)
  \(x = \frac{y - 50}{1.5}\)
  Yani, \(S^{-1}(y) = \frac{y - 50}{1.5}\).
• 3. Adım: Satış fiyatı \(y = 200\) TL olduğunda maliyeti bulmak için \(S^{-1}(200)\)'i hesaplayalım.
  \(S^{-1}(200) = \frac{200 - 50}{1.5} = \frac{150}{1.5}\)
  \(S^{-1}(200) = 100\)

Satış fiyatı 200 TL olan ürünün maliyeti 100 TL'dir. 💰

Bu soruyu ters fonksiyon mantığıyla çözebiliriz:

• 1. Adım: Toplam ücret fonksiyonunu yazalım: \(T(k) = f \cdot k + 10\).
• 2. Adım: Verilen bilgileri yerine koyalım: 10 km için 60 TL.
  \(60 = f \cdot 10 + 10\)
• 3. Adım: \(f\)'yi yalnız bırakarak kilometre başına ücreti bulalım.
  \(60 - 10 = 10f\)
  \(50 = 10f\)
  \(f = \frac{50}{10}\)
  \(f = 5\)

Kilometre başına ücret 5 TL'dir. Bu, aslında toplam ücret fonksiyonunun tersini kullanarak da bulunabilir. Ters fonksiyon, toplam ücretten mesafeyi bulmayı sağlar. 📍

Bu soruda fonksiyonun tanım kümesine dikkat etmeliyiz:

• 1. Adım: Fonksiyonu \(y\) ile ifade edelim: \(y = x^2 + 1\).
• 2. Adım: \(x\)'i \(y\) cinsinden yalnız bırakalım:
  \(y - 1 = x^2\)
  \(x = \pm \sqrt{y - 1}\)
• 3. Adım: Fonksiyonun tanım kümesi \(x \ge 0\) olduğundan, sadece pozitif kökü alırız:
  \(x = \sqrt{y - 1}\)
• 4. Adım: Değişkenleri değiştirerek ters fonksiyonu bulalım:
  \(f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}\)

Neden Tek Bir Fonksiyon?
Orijinal fonksiyon \(f(x) = x^2 + 1\), tanım kümesi tüm reel sayılar olduğunda birebir ve örten değildir (örneğin, \(f(2) = 5\) ve \(f(-2) = 5\)). Bu nedenle tersi tek bir fonksiyon olmazdı. Ancak tanım kümesini \(x \ge 0\) ile sınırlandırdığımızda, fonksiyon birebir ve örten hale gelir ve tersi de tek bir fonksiyon olarak tanımlanabilir. Bu durumda \(f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}\)'dir ve tanım kümesi \(x \ge 1\)'dir. ✅