💡 11. Sınıf Matematik: Ters Fonksiyon Çözümlü Örnekler

• Ters Fonksiyon Tanımı: Bir \( f: A \to B \) fonksiyonu için, her \( y \in B \) için \( f(x) = y \) olacak şekilde tek bir \( x \in A \) varsa, bu fonksiyona tersi olan bir fonksiyon denir.
• Ters Fonksiyon Gösterimi: \( f \)'in ters fonksiyonu \( f^{-1} \) ile gösterilir.
• İlişki: \( f(x) = y \iff f^{-1}(y) = x \)
• Örnek: \( f(x) = 2x + 1 \) için \( f(3) = 7 \) ise, \( f^{-1}(7) = 3 \) olur.
• Önemli Not: Ters fonksiyonun varlığı için fonksiyonun birebir ve örten olması şarttır.

💡 Bu temel tanım, ters fonksiyon problemlerini çözmenin anahtarıdır.

• Adım 1: Fonksiyonun kuralında \( y = f(x) \) yazılır.
  \( y = 3x - 5 \)
• Adım 2: Eşitlikte \( x \)'i yalnız bırakmak için işlemler yapılır.
  \( y + 5 = 3x \)
  \( x = \frac{y+5}{3} \)
• Adım 3: Bulunan \( x \) ifadesi, ters fonksiyonun kuralını verir. Değişkenler \( x \) ve \( y \) yer değiştirilir.
  \( f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3} \)

✅ Sonuç olarak, \( f(x) = 3x - 5 \) fonksiyonunun ters fonksiyonu \( f^{-1}(x) = \frac{x+5}{3} \)'tür.

• Adım 1: \( y = f(x) \) ile başlayalım.
  \( y = \frac{2x+1}{x-3} \)
• Adım 2: \( x \)'i yalnız bırakmak için paydadaki ifadeyi karşıya çarpım olarak atalım.
  \( y(x-3) = 2x+1 \)
• Adım 3: Parantezi dağıtalım ve \( x \) içeren terimleri bir tarafta toplayalım.
  \( xy - 3y = 2x + 1 \)
  \( xy - 2x = 3y + 1 \)
• Adım 4: \( x \) parantezine alalım.
  \( x(y-2) = 3y + 1 \)
• Adım 5: \( x \)'i yalnız bırakalım.
  \( x = \frac{3y+1}{y-2} \)
• Adım 6: Ters fonksiyon kuralını yazıp değişkenleri değiştirelim.
  \( f^{-1}(x) = \frac{3x+1}{x-2} \)

👉 Dikkat edilmesi gereken nokta, paydanın sıfır olmamasıdır. Bu nedenle \( x \neq 2 \) olmalıdır.

• Yöntem 1: Önce Ters Fonksiyonu Bulma
• Fonksiyonu \( y = 5 - 2x \) olarak yazalım.
• \( x \)'i yalnız bırakalım:
  \( y - 5 = -2x \)
  \( x = \frac{y-5}{-2} = \frac{5-y}{2} \)
• Ters fonksiyon kuralı: \( f^{-1}(x) = \frac{5-x}{2} \)
• Şimdi \( x=3 \) için değeri hesaplayalım:
  \( f^{-1}(3) = \frac{5-3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• Yöntem 2: Doğrudan Değer Bulma
• \( f^{-1}(3) = a \) olsun. Bu durumda \( f(a) = 3 \) olur.
• \( f(a) = 5 - 2a \) olduğundan,
  \( 5 - 2a = 3 \)
• \( 2a = 5 - 3 \)
  \( 2a = 2 \)
  \( a = 1 \)

✅ Her iki yöntemle de \( f^{-1}(3) = 1 \) bulunur.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) olarak yazalım.
  \( y = x^3 + 1 \)
• Adım 2: \( x \)'i yalnız bırakmak için işlemleri yapalım.
  \( y - 1 = x^3 \)
• Adım 3: Her iki tarafın küp kökünü alalım.
  \( \sqrt[3]{y-1} = x \)
• Adım 4: Ters fonksiyon kuralını yazıp değişkenleri değiştirelim.
  \( f^{-1}(x) = \sqrt[3]{x-1} \)

💡 Küpkök alma işlemi, küp alma işleminin tersidir.

• Adım 1: Fonksiyonu \( y = f(x) \) olarak yazalım.
  \( y = \log_2(x-1) \)
• Adım 2: Logaritmayı üslü ifadeye çevirerek \( x \)'i yalnız bırakalım. Logaritmanın tanımına göre:
  \( 2^y = x-1 \)
• Adım 3: \( x \)'i yalnız bırakalım.
  \( x = 2^y + 1 \)
• Adım 4: Ters fonksiyon kuralını yazıp değişkenleri değiştirelim.
  \( f^{-1}(x) = 2^x + 1 \)

📌 Logaritma ve üslü fonksiyonlar birbirinin tersidir.

• Ters Fonksiyonun Anlamı: \( f(d) = u \) ise, \( f^{-1}(u) = d \) olur. Yani, \( f^{-1}(u) \) fonksiyonu, belirli bir ücret (u TL) karşılığında gidilebilecek maksimum mesafeyi (d kilometre) ifade eder.
• Örnek Yorumlama: \( f^{-1}(60) = 12 \) olması demek, 60 TL ücretle taksiyle en fazla 12 kilometre yol gidilebileceği anlamına gelir.
• Günlük Hayatta Kullanımı: Bu tür bir ters fonksiyon mantığı, bütçemize göre ne kadar hizmet alabileceğimizi anlamamızı sağlar. Örneğin, bir ürünün fiyatı ve indirim sonrası ödeyeceğimiz tutar biliniyorsa, ters fonksiyon ile kaç adet ürün alabileceğimizi hesaplayabiliriz.

💡 Ters fonksiyonlar, gerçek hayatta "ne kadar harcarsam ne kadar elde ederim?" veya "ne kadar harcarsam ne kadar alabilirim?" gibi soruların cevabını bulmamıza yardımcı olur.

• Adım 1: Verilen \( f(x) \) fonksiyonunun tersini bulalım.
  \( y = ax + b \)
  \( y - b = ax \)
  \( x = \frac{y-b}{a} \)
  Dolayısıyla, \( f^{-1}(x) = \frac{x-b}{a} \)
• Adım 2: Bulduğumuz ters fonksiyon ile verilen ters fonksiyonu eşitleyelim.
  \( \frac{x-b}{a} = \frac{x-4}{2} \)
• Adım 3: Eşitliğin sağlanması için pay ve paydadaki katsayılar oranlanarak eşitlenir.
  Payda katsayıları: \( a = 2 \)
• Adım 4: Pay katsayıları: \( -b = -4 \Rightarrow b = 4 \)
• Adım 5: Bulduğumuz \( a \) ve \( b \) değerlerini kullanarak \( a + b \) toplamını hesaplayalım.
  \( a + b = 2 + 4 = 6 \)

✅ Sonuç olarak, \( a + b = 6 \) bulunur.