💡 11. Sınıf Matematik: Sinüs teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Sinüs Teoremi'ne göre, bir üçgende kenar uzunlukları ile bu kenarların karşısındaki açıların sinüslerinin oranı sabittir:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]

Verilenleri yerine koyalım:

• \[ \frac{6}{\sin 30^\circ} = \frac{8}{\sin B} \]

\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz. Bu değeri denklemde yerine yazalım:

• \[ \frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{\sin B} \]
• \[ 12 = \frac{8}{\sin B} \]

Şimdi \( \sin B \)'yi bulmak için denklemi yeniden düzenleyelim:

• \[ \sin B = \frac{8}{12} \]
• \[ \sin B = \frac{2}{3} \]

Buna göre, \( B \) açısının sinüsü \( \frac{2}{3} \) olur. Açının kendisini bulmak için ters sinüs fonksiyonunu kullanabiliriz, ancak soruda genellikle sinüs değeri veya açının kendisi sorulur. Bu durumda \( B \) açısı \( \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) \) olarak ifade edilir. Eğer \( B \) açısının dar açı olduğu varsayılırsa, bu değer yaklaşık olarak \( 41.8^\circ \) olur. Ancak soruda tam değer istendiği için \( \sin B = \frac{2}{3} \) cevabı yeterlidir. 💡

Bu problemde de Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. 📌
Öncelikle, üçgenin iç açılarının toplamının \( 180^\circ \) olduğunu hatırlayalım. Bu sayede \( C \) açısını bulabiliriz:

• \( C = 180^\circ - (A + B) \)
• \( C = 180^\circ - (45^\circ + 60^\circ) \)
• \( C = 180^\circ - 105^\circ \)
• \( C = 75^\circ \)

Şimdi Sinüs Teoremi'ni \( a \) ve \( c \) kenarları için uygulayalım:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]

Verilen değerleri yerine yazalım:

• \[ \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sin 75^\circ} \]

\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğunu biliyoruz. \( \sin 75^\circ \) değerini ise toplam formülünden bulabiliriz: \( \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \).

• \( \sin 75^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) \)
• \( \sin 75^\circ = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \)

Şimdi bu değerleri ana denklemimizde yerine koyalım:

• \[ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]

\( a \)'yı yalnız bırakalım:

• \[ a = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{10}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]
• \[ a = \frac{5\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]
• \[ a = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Paydayı rasyonel hale getirmek için eşleniği ile çarpalım (\( \sqrt{6} - \sqrt{2} \)):

• \[ a = \frac{20\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \]
• \[ a = \frac{20(\sqrt{12} - 2)}{6 - 2} \]
• \[ a = \frac{20(2\sqrt{3} - 2)}{4} \]
• \[ a = 5(2\sqrt{3} - 2) \]
• \( a = 10\sqrt{3} - 10 \)

Sonuç olarak, \( a \) kenarının uzunluğu \( 10\sqrt{3} - 10 \) birimdir. ✅

Bu problemi bir \( ABP \) üçgeni olarak düşünebiliriz. Soruda verilen yön bilgileri, üçgenin açıları hakkında bize bilgi vermektedir. 🗺️
Ali'nin konumu A, Ayşe'nin konumu B ve parkın konumu P olsun.
Ali'nin Ayşe'ye göre \( 60^\circ \) kuzeydoğu yönünde olması, \( \angle PAB \) açısı hakkında doğrudan bilgi vermez, ancak \( \angle APB \) veya \( \angle ABP \) gibi açılar için bir başlangıç noktası olabilir. Ancak soruda verilenler daha çok \( \angle PAB \) ve \( \angle PBA \) ile ilgilidir. Soruyu daha net anlamak için, A noktasından çıkan bir kuzey çizgisi çizdiğimizi ve B noktasından çıkan bir kuzey çizgisi çizdiğimizi düşünelim.
Ali'nin Ayşe'ye göre \( 60^\circ \) kuzeydoğu yönünde olması, A noktasından B'ye doğru olan açının (örneğin, A'dan çıkan doğuya doğru olan çizgi ile AB arasındaki açı) \( 30^\circ \) olduğunu düşündürebilir. Ancak bu yorum yanıltıcı olabilir. Daha kesin bir yaklaşım, doğrudan üçgenin açılarını belirlemektir.
Soruda verilenler:

• \( AB = c = 5 \) km
• Parkın konumu, Ali'nin bulunduğu noktaya göre \( 45^\circ \) güneybatı yönünde. Bu, \( \angle PAB \) açısının \( 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ \) veya \( 45^\circ \) olabileceği anlamına gelir (açının hangi yönde ölçüldüğüne bağlı olarak). Genellikle bu tür sorularda, A noktasından çıkan bir referans çizgisine göre açı verilir. Eğer A'dan çıkan doğu çizgisi referans alınırsa ve Ali kuzeydoğuda ise, bu \( 45^\circ \) olur. Ancak burada parkın konumu verilmiş.
• Parkın konumu, Ayşe'nin bulunduğu noktaya göre \( 30^\circ \) kuzeybatı yönünde. Bu, \( \angle PBA \) açısının \( 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \) veya \( 30^\circ \) olabileceği anlamına gelir.

Sorunun ifadesi biraz daha netleştirilmeli. Ancak, eğer bu açılar \( \angle PAB \) ve \( \angle PBA \) olarak yorumlanırsa, bu durumda \( \angle APB = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 105^\circ \) olurdu. Bu durumda \( P \) noktasının \( A \) ve \( B \) noktalarına göre konumu verilmiş olur. Bu yorumla devam edelim:

• \( AB = c = 5 \) km
• \( \angle PAB = 45^\circ \) (Ali'nin bulunduğu noktadan çıkan referans çizgisi ile AP arasındaki açı)
• \( \angle PBA = 30^\circ \) (Ayşe'nin bulunduğu noktadan çıkan referans çizgisi ile BP arasındaki açı)

Bu durumda \( \angle APB = 180^\circ - (45^\circ + 30^\circ) = 105^\circ \). Bizden \( AP \) kenarının uzunluğu (yani \( b \)) isteniyor. Sinüs Teoremi'ni uygulayalım:

• \[ \frac{AP}{\sin(\angle PBA)} = \frac{AB}{\sin(\angle APB)} \]
• \[ \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{5}{\sin 105^\circ} \]

\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) ve \( \sin 105^\circ = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \) olduğunu biliyoruz.

• \[ \frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{5}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} \]
• \[ 2b = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]
• \[ b = \frac{10}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \]

Paydayı rasyonel yapalım:

• \[ b = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} \]
• \[ b = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} \]
• \[ b = \frac{10(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} \]
• \[ b = \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \]

Parkın Ali'ye uzaklığı \( \frac{5(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \) km'dir. Not: Sorunun yön ifadeleri, açıların üçgenin iç açıları olarak nasıl yorumlanacağı konusunda belirsizlik yaratabilir. Yukarıdaki çözüm, bu ifadelerin doğrudan üçgenin iç açılarını belirttiği varsayımıyla yapılmıştır. 🤔

Bu tür bir problemde doğrudan Sinüs Teoremi'ni kullanmak yerine, trigonometrinin temel oranları (sinüs, kosinüs, tanjant) daha pratik olacaktır. Ancak, soruyu Sinüs Teoremi ile çözmek için bir dik üçgen oluşturup, teoremi uygulayabileceğimiz bir senaryo kurgulayabiliriz. 🪂
Senaryoyu şu şekilde kurgulayalım: Pilotun bulunduğu noktayı \( A \), pilotun ilerlediği \( 30^\circ \) eğimle ulaşacağı yeri \( B \) ve bu \( B \) noktasının tam dikey hizasında, yerdeki başlangıç noktasını \( C \) olarak alalım. Bu durumda \( ABC \) bir dik üçgen olur ve \( \angle ACB = 90^\circ \) olur.
Pilotun yerden yüksekliği \( AC = 1500 \) metredir. Pilotun ilerlediği \( 30^\circ \) eğim, \( \angle BAC = 30^\circ \) olarak alınabilir (eğer yatay çizgi referans alınırsa). Ancak soruda "yerden \( 30^\circ \) eğimle bir noktaya doğru ilerlediğini fark ediyor" ifadesi, \( \angle ABC = 30^\circ \) veya \( \angle BAC = 30^\circ \) olabileceği anlamına gelir. Genellikle bu tür durumlarda, yer düzlemi ile yapılan açı kastedilir. Bu durumda \( \angle ABC = 30^\circ \) olur. Biz \( BC \) yani yatay mesafeyi bulmak istiyoruz.
Dik üçgende \( \angle ABC = 30^\circ \) ve \( AC = 1500 \) m ise, \( BC \) kenarını bulmak için tanjant fonksiyonu kullanılır: \( \tan(30^\circ) = \frac{AC}{BC} \).

Şimdi soruyu Sinüs Teoremi ile çözmek için durumu biraz değiştirelim:
Bir \( ABD \) üçgeni oluşturalım. \( A \) pilotun başlangıç noktası, \( B \) pilotun ulaşacağı yer olsun. \( D \) noktası ise \( B \) noktasının tam dikey hizasında, \( A \) noktasının yatay seviyesinde bir nokta olsun. Bu durumda \( ABD \) bir dik üçgen olur ve \( \angle ADB = 90^\circ \) olur.
Pilotun yerden yüksekliği \( AB = 1500 \) m (bu, pilotun yüksekliği değil, başlangıç noktasına olan dik mesafesi olmalı. Sorudaki ifadeyi biraz esnetelim: Pilotun bulunduğu noktadan yere dik inen çizgi 1500 m olsun. Pilotun ilerlediği yer \( B \) noktası olsun. \( A \) pilotun başlangıç noktası, \( C \) ise \( A \) noktasının yerdeki izdüşümü olsun. \( AC = 1500 \) m. Pilotun ilerlediği \( 30^\circ \) eğim, \( \angle ABC = 30^\circ \) olsun. Bu durumda \( AB \) hipotenüs olur.)
Bu durumda \( ABC \) üçgeninde \( \angle ACB = 90^\circ \), \( AC = 1500 \) m ve \( \angle ABC = 30^\circ \) olur. Biz \( BC \) yatay mesafesini bulmak istiyoruz.
Sinüs Teoremi'ni kullanmak için üçgenin tüm açılarını bilmemiz gerekir. \( \angle BAC = 180^\circ - 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ \) olur.
Şimdi Sinüs Teoremi'ni uygulayalım:

• \[ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BAC)} \]
• \[ \frac{1500}{\sin 30^\circ} = \frac{BC}{\sin 60^\circ} \]

\( \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \) ve \( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.

• \[ \frac{1500}{\frac{1}{2}} = \frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]
• \[ 3000 = \frac{2 \times BC}{\sqrt{3}} \]
• \[ 3000\sqrt{3} = 2 \times BC \]
• \[ BC = 1500\sqrt{3} \]

Yatay mesafe \( 1500\sqrt{3} \) metredir. Bu, trigonometrinin temel oranları ile bulunan \( BC = \frac{AC}{\tan 30^\circ} = \frac{1500}{1/\sqrt{3}} = 1500\sqrt{3} \) sonucu ile aynıdır. ✅

Bu soruda hem Sinüs Teoremi hem de Kosinüs Teoremi'nin bilgisi gerekebilir. Ancak, \( a \) kenarını bulmak için öncelikle Kosinüs Teoremi'ni kullanmak daha uygundur, çünkü iki kenar ve aralarındaki açı verilmiş. Daha sonra \( B \) açısını bulmak için Sinüs Teoremi'ni kullanabiliriz. 📐
1. \( a \) kenarının uzunluğunu bulma (Kosinüs Teoremi):
Kosinüs Teoremi'ne göre:

• \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

Verilen değerleri yerine koyalım:

• \[ a^2 = 12^2 + 18^2 - 2(12)(18) \cos 60^\circ \]

\( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.

• \[ a^2 = 144 + 324 - 2(12)(18) \left(\frac{1}{2}\right) \]
• \[ a^2 = 468 - (12)(18) \]
• \[ a^2 = 468 - 216 \]
• \[ a^2 = 252 \]

Şimdi \( a \)'yı bulmak için karekök alalım:

• \[ a = \sqrt{252} \]
• \( 252 = 36 \times 7 \) olduğundan, \( a = \sqrt{36 \times 7} = 6\sqrt{7} \) cm.

Buna göre, \( a \) kenarının uzunluğu \( 6\sqrt{7} \) cm'dir. ✅
2. \( B \) açısının ölçüsünü bulma (Sinüs Teoremi):
Şimdi Sinüs Teoremi'ni kullanarak \( B \) açısını bulabiliriz:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

Bulduğumuz \( a \) değerini ve verilen \( b \) ile \( A \) değerlerini yerine koyalım:

• \[ \frac{6\sqrt{7}}{\sin 60^\circ} = \frac{12}{\sin B} \]

\( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \) olduğunu biliyoruz.

• \[ \frac{6\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{12}{\sin B} \]
• \[ \frac{12\sqrt{7}}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sin B} \]

\( \sin B \)'yi yalnız bırakalım:

• \[ \sin B = \frac{12 \times \sqrt{3}}{12\sqrt{7}} \]
• \[ \sin B = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} \]
• \[ \sin B = \frac{\sqrt{21}}{7} \]

Buna göre, \( B \) açısının sinüsü \( \frac{\sqrt{21}}{7} \) olur. Açının kendisini bulmak için ters sinüs fonksiyonunu kullanabiliriz: \( B = \arcsin\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right) \). Bu değer yaklaşık olarak \( 49.1^\circ \) civarındadır. 💡

Bu soruda doğrudan Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. 📌
Sinüs Teoremi'ne göre:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

Verilen değerleri yerine koyalım:

• \[ \frac{10}{0.5} = \frac{b}{0.8} \]

Denklemi \( b \) için çözelim:

• \( 20 = \frac{b}{0.8} \)
• \( b = 20 \times 0.8 \)
• \( b = 16 \)

Buna göre, \( b \) kenarının uzunluğu 16 birimdir. ✅

Bu problemi bir \( GF1F2 \) üçgeni olarak düşünebiliriz. Soruda verilen yön bilgileri, üçgenin açıları hakkında bize bilgi vermektedir. 🗺️
Gemi kaptanının konumu G, birinci fener F1 ve ikinci fener F2 olsun.
Kaptan, F1 fenerinin gemisine göre \( 40^\circ \) kuzeydoğu yönünde olduğunu ölçüyor. Bu, G noktasından çıkan bir kuzey çizgisine göre F1'in bulunduğu yönün \( 40^\circ \) doğuya doğru olduğunu gösterir.
Kaptan, F2 fenerinin gemisine göre \( 70^\circ \) kuzeybatı yönünde olduğunu ölçüyor. Bu, G noktasından çıkan bir kuzey çizgisine göre F2'nin bulunduğu yönün \( 70^\circ \) batıya doğru olduğunu gösterir.
Bu iki yön arasındaki açı, \( \angle F1GF2 \) açısını verir. Kuzey çizgisi \( 0^\circ \) kabul edilirse, kuzeydoğu \( 40^\circ \) ve kuzeybatı \( -70^\circ \) veya \( 360^\circ - 70^\circ = 290^\circ \) olarak düşünülebilir. Ancak, iki yön arasındaki açı, \( 40^\circ \) (doğuya) + \( 70^\circ \) (batıya) = \( 110^\circ \) olur. Yani, \( \angle F1GF2 = 110^\circ \).
İki fener arasındaki mesafe \( F1F2 = 500 \) metredir. Bu, üçgenin \( f2 \) kenarının uzunluğudur (yani \( f2 = 500 \) m).
Bizden istenen, kaptanın F1 fenerine olan uzaklığıdır, yani \( GF1 \) kenarının uzunluğu (bu kenar \( f1 \) olarak adlandırılır).
Üçgenin \( \angle F1GF2 = 110^\circ \) açısını biliyoruz. \( GF1F2 \) üçgeninde \( \angle G = 110^\circ \) ve \( f2 = 500 \) m.
Diğer açıları bulmamız gerekiyor. Soruda verilen \( 40^\circ \) ve \( 70^\circ \) açıları, geminin konumundan çıkan kuzey çizgisine göre ölçüldüğü için, bu açılar doğrudan üçgenin iç açıları değildir. Ancak, bu açılar \( \angle F1GF2 \) açısını bulmamızı sağlar.
Eğer \( \angle GF1F2 \) ve \( \angle GF2F1 \) açılarını bulabilirsek, Sinüs Teoremi'ni uygulayabiliriz. Ancak, bu bilgilerle bu açıları doğrudan bulmak mümkün görünmüyor. Sorunun bu kısmı için ek bilgi gereklidir veya yön ifadeleri farklı yorumlanmalıdır.

Alternatif Yorum ve Çözüm:
Eğer soruda verilen \( 40^\circ \) ve \( 70^\circ \) açıları, gemi konumundan çıkan doğrultular ile fenerlere giden doğrultular arasındaki açılar olarak yorumlanırsa (ve bu doğrultular birbirine paralel değilse), o zaman durum farklılaşır. Ancak en yaygın yorum, kuzey çizgisine göre olan açılardır.

Sorunun bu haliyle, \( \angle GF1F2 \) veya \( \angle GF2F1 \) açılarını bulmak için yeterli bilgi yok. Ancak, eğer soruda "Kaptan, gemisinin bulunduğu konumdan F1 fenerine doğru \( 40^\circ \) açıyla, F2 fenerine doğru ise \( 70^\circ \) açıyla baktığını ölçüyor" gibi bir ifade olsaydı, bu \( \angle F1GF2 = 70^\circ - 40^\circ = 30^\circ \) veya \( 180^\circ - (70^\circ + 40^\circ) \) gibi farklı yorumlara yol açabilirdi.

Varsayımsal Bir Çözüm (Eğer Açı Bilgileri Farklı Olsaydı):
Diyelim ki, \( \angle GF1F2 = 40^\circ \) ve \( \angle GF2F1 = 70^\circ \) olarak verilmiş olsaydı (ki bu soruda böyle değil). O zaman \( \angle G = 180^\circ - (40^\circ + 70^\circ) = 70^\circ \) olurdu. Bu durumda \( F1F2 = 500 \) m kenarı \( g \) olurdu. Biz \( GF1 \) kenarını yani \( f1 \) kenarını arıyoruz. Sinüs Teoremi:

• \[ \frac{f1}{\sin(\angle GF1F2)} = \frac{g}{\sin(\angle G)} \]
• \[ \frac{f1}{\sin 40^\circ} = \frac{500}{\sin 70^\circ} \]
• \[ f1 = \frac{500 \times \sin 40^\circ}{\sin 70^\circ} \]

Ancak, soruda verilen bilgilerle bu şekilde bir çözüm mümkün değildir. Sorunun yön ifadeleri, \( \angle F1GF2 \) açısını bulmaya yeterlidir. \( \angle F1GF2 = 110^\circ \). Ancak \( \angle GF1F2 \) ve \( \angle GF2F1 \) bilinmiyor. Bu nedenle, bu problem Sinüs Teoremi ile çözülemez. 🤔

Bu problemi bir \( ABC \) üçgeni olarak düşünebiliriz. Soruda verilen bilgilerle üçgenin kenar ve açılarını belirleyip, Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. 🏃‍♂️
Verilenler:

• \( AB = c = 1 \) km
• \( \angle ABC = 135^\circ \)

Sporcu, A noktasından B noktasına doğru \( 30^\circ \) bir açıyla saparak C noktasına ulaşıyor. Bu ifade, A noktasından çıkan bir referans çizgisine göre C'nin konumu hakkında bilgi verir. Eğer A noktasından çıkan doğu çizgisi referans alınırsa ve sporcu B'ye doğru \( 30^\circ \) sapıyorsa, bu \( \angle BAC = 30^\circ \) anlamına gelebilir. Ancak, C noktasının B noktasına göre kuzeydoğu yönünde olması ve \( \angle ABC = 135^\circ \) olması, \( \angle BAC \) açısını doğrudan vermez. Sorunun ifadesi, \( \angle BAC \) açısını bulmamıza yardımcı olmalı. Eğer "A noktasından B noktasına doğru \( 30^\circ \) bir açıyla saparak" ifadesi, A noktasından çıkan bir çizgiye göre C'nin yönünü belirtiyorsa (örneğin, A'dan çıkan doğu çizgisi ile AC arasındaki açı \( 30^\circ \) ise), bu durumda \( \angle BAC = 30^\circ \) olur.
Bu varsayımla devam edelim: \( \angle BAC = 30^\circ \).
Şimdi üçgenin iç açılarını bulalım:

• \( \angle ABC = 135^\circ \)
• \( \angle BAC = 30^\circ \)
• \( \angle ACB = 180^\circ - (135^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 165^\circ = 15^\circ \)

Bizden \( AC \) kenarının uzunluğu (yani \( b \)) isteniyor. Sinüs Teoremi'ni uygulayalım:

• \[ \frac{AC}{\sin(\angle ABC)} = \frac{AB}{\sin(\angle ACB)} \]
• \[ \frac{b}{\sin 135^\circ} = \frac{1}{\sin 15^\circ} \]

\( \sin 135^\circ = \sin(180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \).
\( \sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \)

• \( \sin 15^\circ = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)

Şimdi bu değerleri ana denklemimizde yerine koyalım:

• \[ \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}} \]
• \[ b = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{4}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]
• \[ b = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6} - \sqrt{2}} \]

Paydayı rasyonel hale getirelim:

• \[ b = \frac{2\sqrt{2}(\sqrt{6} + \sqrt{2})}{(\sqrt{6} - \sqrt{2})(\sqrt{6} + \sqrt{2})} \]
• \[ b = \frac{2(\sqrt{12} + 2)}{6 - 2} \]
• \[ b = \frac{2(2\sqrt{3} + 2)}{4} \]
• \[ b = \frac{4(\sqrt{3} + 1)}{4} \]
• \( b = \sqrt{3} + 1 \)

Sporcunun A noktasından C noktasına olan toplam uzaklığı \( \sqrt{3} + 1 \) km'dir. ✅

Bu soruda hem Kosinüs Teoremi hem de Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. 📐
1. \( A \) açısının kosinüsünü bulma (Kosinüs Teoremi):
Kosinüs Teoremi'ne göre:

• \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \]

Denklemi \( \cos A \) için yeniden düzenleyelim:

• \[ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

Verilen değerleri yerine koyalım:

• \[ \cos A = \frac{8^2 + 9^2 - 7^2}{2(8)(9)} \]
• \[ \cos A = \frac{64 + 81 - 49}{144} \]
• \[ \cos A = \frac{145 - 49}{144} \]
• \[ \cos A = \frac{96}{144} \]

Kesri sadeleştirelim (her iki tarafı 48'e bölerek):

• \[ \cos A = \frac{2}{3} \]

Buna göre, \( A \) açısının kosinüsü \( \frac{2}{3} \) tür. ✅
2. \( B \) açısının sinüsünü bulma (Sinüs Teoremi):
Önce \( A \) açısının sinüsünü bulalım. \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) özdeşliğini kullanabiliriz.

• \[ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \]
• \[ \sin^2 A = 1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2 \]
• \[ \sin^2 A = 1 - \frac{4}{9} \]
• \[ \sin^2 A = \frac{5}{9} \]

Açı dar açı olduğundan (kenarların uzunlukları göz önüne alındığında), \( \sin A \) pozitiftir:

• \[ \sin A = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

Şimdi Sinüs Teoremi'ni \( B \) açısı için kullanalım:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

Bulduğumuz \( \sin A \) değerini ve verilen \( a \) ile \( b \) değerlerini yerine koyalım:

• \[ \frac{7}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{8}{\sin B} \]
• \[ \frac{21}{\sqrt{5}} = \frac{8}{\sin B} \]

\( \sin B \)'yi yalnız bırakalım:

• \[ \sin B = \frac{8 \times \sqrt{5}}{21} \]
• \[ \sin B = \frac{8\sqrt{5}}{21} \]

Buna göre, \( B \) açısının sinüsü \( \frac{8\sqrt{5}}{21} \) dir. 💡

Bu soruda doğrudan Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. 📌
Sinüs Teoremi'ne göre:

• \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \]

Verilen değerleri yerine koyalım:

• \[ \frac{5}{\sin 45^\circ} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin B} \]

\( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğunu biliyoruz.

• \[ \frac{5}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin B} \]
• \[ \frac{10}{\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{\sin B} \]

Denklemi \( \sin B \) için çözelim:

• \( \sin B = \frac{5\sqrt{2} \times \sqrt{2}}{10} \)
• \( \sin B = \frac{5 \times 2}{10} \)
• \( \sin B = \frac{10}{10} \)
• \( \sin B = 1 \)

\( \sin B = 1 \) olduğunda, \( B \) açısı \( 90^\circ \) olmalıdır. Bu, üçgenin dik üçgen olduğu anlamına gelir. ✅