💡 11. Sınıf Matematik: Sin Ve Cos Teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Kosinüs Teoremi'nin formülü şöyledir: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 5 \), \( b = 7 \), \( C = 60^\circ \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos(60^\circ) \)
• \( c^2 = 25 + 49 - 2 \cdot 35 \cdot \frac{1}{2} \)
• \( c^2 = 74 - 35 \)
• \( c^2 = 39 \)
• \( c = \sqrt{39} \) cm

Sonuç olarak, \( c \) kenarının uzunluğu \( \sqrt{39} \) cm'dir. ✅

Bu soruda da Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız, ancak bu sefer bir kenarı değil, bir açının kosinüsünü bulacağız.
Kosinüs Teoremi'nin \( A \) açısı için düzenlenmiş hali şöyledir: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
Buradan \( \cos(A) \) yalnız bırakırsak: \( \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \)
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 8 \), \( b = 10 \), \( c = 12 \)
• \( \cos(A) = \frac{10^2 + 12^2 - 8^2}{2 \cdot 10 \cdot 12} \)
• \( \cos(A) = \frac{100 + 144 - 64}{240} \)
• \( \cos(A) = \frac{244 - 64}{240} \)
• \( \cos(A) = \frac{180}{240} \)
• \( \cos(A) = \frac{3}{4} \)

Dolayısıyla, \( A \) açısının kosinüsü \( \frac{3}{4} \)'tür. 💡

Bu soruda Sinüs Teoremi'ni kullanmamız gerekiyor.
Sinüs Teoremi'nin formülü şöyledir: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \)
Bize verilen \( a, b \) kenarları ve \( A \) açısı ile \( \sin(B) \) değerini bulabiliriz.
Formülün ilgili kısmını kullanalım: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
Değerleri yerine koyalım:

• \( a = 6 \), \( b = 8 \), \( A = 30^\circ \)
• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( \frac{6}{\frac{1}{2}} = \frac{8}{\sin(B)} \)
• \( 12 = \frac{8}{\sin(B)} \)
• \( \sin(B) = \frac{8}{12} \)
• \( \sin(B) = \frac{2}{3} \)

Bu durumda, \( B \) açısının sinüsü \( \frac{2}{3} \)'tür. 👍

Yine Sinüs Teoremi'ni kullanacağız.
Formülümüz: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
Bu formülde \( \sin(A) \) değerini bulmak için gerekli tüm bilgilere sahibiz.
Verilen değerleri formüle yerleştirelim:

• \( a = 4\sqrt{2} \), \( b = 6 \), \( B = 45^\circ \)
• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( \frac{4\sqrt{2}}{\sin(A)} = \frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \)
• \( \frac{4\sqrt{2}}{\sin(A)} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \)
• \( \frac{4\sqrt{2}}{\sin(A)} = \frac{12}{\sqrt{2}} \)
• \( \sin(A) = \frac{4\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{12} \)
• \( \sin(A) = \frac{4 \cdot 2}{12} \)
• \( \sin(A) = \frac{8}{12} \)
• \( \sin(A) = \frac{2}{3} \)

Bu durumda, \( A \) açısının sinüsü \( \frac{2}{3} \)'tür. 💯

Bu bir Kosinüs Teoremi uygulamasıdır. Bir üçgenin iki kenarı ve arasındaki açının verildiği durumda üçüncü kenarı bulmak için kullanılır.
Soruda verilenler:

• \( c = 8 \) km (A'dan B'ye uzaklık)
• \( a = 10 \) km (B'den C'ye uzaklık)
• \( B = 50^\circ \) (A noktasındaki açı, yani \( B \) açısı)
• Bulmamız gereken: \( b \) (A'dan C'ye uzaklık)

Kosinüs Teoremi'nin \( b \) kenarı için formülü: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \)
Değerleri yerine koyarak hesaplayalım:

• \( b^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(50^\circ) \)
• \( b^2 = 100 + 64 - 160 \cdot \cos(50^\circ) \)
• \( b^2 = 164 - 160 \cdot 0.64 \)
• \( b^2 = 164 - 102.4 \)
• \( b^2 = 61.6 \)
• \( b = \sqrt{61.6} \)
• \( b \approx 7.85 \) km

Bu durumda, A ve C noktaları arasındaki uzaklık yaklaşık olarak 7.85 km'dir. 📏

Bu problem, Kosinüs Teoremi'nin pratik bir uygulamasıdır. Göl gibi engeller olduğunda mesafeleri bu şekilde hesaplayabiliriz.
Soruda verilenler:

• \( b = 150 \) m (C'den A'ya uzaklık)
• \( a = 200 \) m (C'den B'ye uzaklık)
• \( C = 70^\circ \) (C noktasındaki açı)
• Bulmamız gereken: \( c \) (A'dan B'ye uzaklık)

Kosinüs Teoremi'nin \( c \) kenarı için formülü: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
Verilen değerleri yerine koyarak hesaplayalım:

• \( c^2 = 200^2 + 150^2 - 2 \cdot 200 \cdot 150 \cdot \cos(70^\circ) \)
• \( c^2 = 40000 + 22500 - 60000 \cdot \cos(70^\circ) \)
• \( c^2 = 62500 - 60000 \cdot 0.34 \)
• \( c^2 = 62500 - 20400 \)
• \( c^2 = 42100 \)
• \( c = \sqrt{42100} \)
• \( c \approx 205.18 \) m

Bu durumda, A ve B noktaları arasındaki mesafe yaklaşık olarak 205.18 metredir. 🌊

Bu problemde, topun konumu ve kalenin boyutları ile ilgili bir Sinüs Teoremi uygulaması söz konusudur.
Soruyu basitleştirelim: Topun bulunduğu noktayı T, kalenin sol direğini L ve kalenin sağ direğini R ile gösterelim. Kalenin ortası O olsun.
Verilenler:

• \( TO = 15 \) m (Topun kalenin ortasına uzaklığı)
• \( TL = TR \) (Topun kalenin direklerine olan uzaklığı eşit değil, bu bilgi yanıltıcı olabilir. Asıl önemli olan topun kaleye olan açısı ve mesafesidir.)
• Topun bulunduğu açı \( 30^\circ \) (Bu açı, topun bulunduğu yerden kaleye doğru çizilen doğru ile yan çizgi arasındaki açıdır. Soruda bu açının kalenin ortasına göre mi yoksa kalenin bir kenarına göre mi olduğu net değil. Ancak genellikle bu tür sorularda, topun bulunduğu yerden kalenin ortasına olan doğru ile yan kenar arasındaki açı kastedilir. Soruda "top kaleye 12 metre uzaklıkta ve 30 derece açıyla durmaktadır" ifadesi, topun bulunduğu noktanın kaleye olan uzaklığının 12m olduğunu ve bu noktanın kaleye göre konumunu belirtiyor. Ancak daha sonra "topun kalenin ortasına olan uzaklığı 15 metre" denmesi kafa karıştırıcı. En makul yorum, topun bulunduğu noktadan kaleye doğru çizilen bir çizginin, yan çizgiyle \( 30^\circ \) açı yaptığını ve topun bu çizgi üzerindeki bir noktada olduğunu varsaymaktır. Ancak "12 metre uzaklıkta" ifadesiyle "kalenin ortasına olan uzaklığı 15 metre" çelişiyor. Soruyu daha anlaşılır hale getirmek için, topun bulunduğu noktadan kalenin ortasına olan uzaklığın 15 metre olduğunu ve topun bulunduğu yerden kaleye doğru çizilen çizginin, kalenin yan kenarı ile \( 30^\circ \) açı yaptığını varsayalım. Bu durumda, kalenin genişliği \( 7.32 \) m ise, kalenin ortasından her bir direğe olan uzaklık \( \frac{7.32}{2} = 3.66 \) metredir. Bizden istenen, topun sol direğe olan uzaklığıdır.

Bu soruda verilen bilgilerde bir tutarsızlık bulunmaktadır. "Top kaleye \( 12 \) metre uzaklıkta" ve "kalenin ortasına olan uzaklığı \( 15 \) metre" ifadeleri aynı anda doğru olamaz. Eğer kalenin ortasına olan uzaklık \( 15 \) metre ise, topun kaleye olan uzaklığı \( 15 \) metredir. Eğer \( 12 \) metre ise, \( 15 \) metre olamaz. Soruyu daha mantıklı bir hale getirmek için şu şekilde yeniden yorumlayalım: Top, kalenin önünde bir T noktasındadır. Kalenin sol direği L, sağ direği R ve ortası O'dur. Verilenler:

• \( TO = 15 \) m (Topun kalenin ortasına uzaklığı)
• \( \angle(TOL) = 30^\circ \) (Topun bulunduğu noktadan kalenin ortasına ve sol direğine çizilen doğrular arasındaki açı)
• Kalenin genişliği \( LR = 7.32 \) m, dolayısıyla \( OL = OR = \frac{7.32}{2} = 3.66 \) m.

Bizden istenen \( TL \) uzaklığıdır. Bu durumda, T, O, L noktaları bir üçgen oluşturur. Bu üçgende iki kenar (\( TO \) ve \( OL \)) ve bu kenarlar arasındaki açı (\( \angle(TOL) \)) verilmiştir. Bu da Kosinüs Teoremi ile çözülebilir.

• \( TL^2 = TO^2 + OL^2 - 2 \cdot TO \cdot OL \cdot \cos(\angle(TOL)) \)
• \( TL^2 = 15^2 + 3.66^2 - 2 \cdot 15 \cdot 3.66 \cdot \cos(30^\circ) \)
• \( TL^2 = 225 + 13.3956 - 2 \cdot 15 \cdot 3.66 \cdot 0.866 \)
• \( TL^2 = 238.3956 - 109.716 \)
• \( TL^2 = 128.6796 \)
• \( TL = \sqrt{128.6796} \approx 11.34 \) m

Eğer soruda verilen "top kaleye 12 metre uzaklıkta" ifadesi, topun kalenin en yakın noktasına olan uzaklığı ise ve açı \( 30^\circ \) kalenin ortasına göre ise, o zaman yukarıdaki gibi bir çözüm elde ederiz. Ancak sorunun orijinal ifadesiyle çelişkiler bulunmaktadır. Bu yorum, en olası matematiksel çözümü sunmaktadır. ⚽

Bu problemde, pilotun konumu, köy evinin konumu ve aralarındaki açı kullanılarak bir Sinüs Teoremi veya trigonometrik ilişki kurulabilir.
Soruyu görselleştirelim:

• Pilotun yüksekliği = \( 500 \) m
• Köy evinin yüksekliği = \( 50 \) m
• Pilotun göz hizasından köye olan bakış açısı (aşağı doğru) = \( 40^\circ \)

Pilotun bulunduğu noktadan yatay bir çizgi çizelim. Bu çizgi ile köy evine giden görüş çizgisi arasındaki açı \( 40^\circ \)'dir. Pilotun göz hizasından köy evine olan dikey mesafe \( 500 - 50 = 450 \) metredir.
Şimdi bir dik üçgen oluşturalım: Pilotun göz hizasından, köy evinin bulunduğu dikey hizaya inen bir dikme ve bu dikme ile görüş çizgisi arasındaki ilişki.
Bu dik üçgende, \( 40^\circ \) açısının karşısındaki kenar \( 450 \) metredir (dikey mesafe). Bizim bulmak istediğimiz, bu dik üçgenin hipotenüsü olan pilot ile köy evi arasındaki kuş uçuşu mesafedir.
Bu durumda, sinüs fonksiyonunu kullanabiliriz:

• \( \sin(\text{açı}) = \frac{\text{karşı dik kenar}}{\text{hipotenüs}} \)
• \( \sin(40^\circ) = \frac{450}{\text{mesafe}} \)
• Mesafe \( = \frac{450}{\sin(40^\circ)} \)
• Mesafe \( = \frac{450}{0.64} \)
• Mesafe \( \approx 703.125 \) metre

Bu durumda, pilot ile köy evi arasındaki kuş uçuşu mesafe yaklaşık olarak \( 703.125 \) metredir. ☁️

Bu soruda Kosinüs Teoremi'ni kullanarak \( a \) kenarının uzunluğunu bulacağız.
Kosinüs Teoremi'nin ilgili formülü şöyledir: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( b = 10 \), \( c = 12 \), \( A = 45^\circ \)
• \( \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \) olduğunu biliyoruz.
• \( a^2 = 10^2 + 12^2 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot \cos(45^\circ) \)
• \( a^2 = 100 + 144 - 240 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( a^2 = 244 - 120\sqrt{2} \)
• \( a = \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \) cm

Sonuç olarak, \( a \) kenarının uzunluğu \( \sqrt{244 - 120\sqrt{2}} \) cm'dir. Bu değer yaklaşık olarak \( \sqrt{244 - 120 \cdot 1.414} \approx \sqrt{244 - 169.68} \approx \sqrt{74.32} \approx 8.62 \) cm'dir. ✅

Bu soruda Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Ancak bu tür durumlarda birden fazla olası açı değeri olabileceğini unutmamalıyız.
Sinüs Teoremi'nin formülü: \( \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \)
Verilen değerleri yerine koyalım:

• \( a = 7 \), \( b = 5 \), \( B = 30^\circ \)
• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)
• \( \frac{7}{\sin(A)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} \)
• \( \frac{7}{\sin(A)} = 10 \)
• \( \sin(A) = \frac{7}{10} \)

Burada \( \sin(A) = \frac{7}{10} \) değerini elde ettik. Sinüs fonksiyonu \( 0^\circ \) ile \( 180^\circ \) arasında pozitif değerler alabilir ve aynı sinüs değerine sahip iki farklı açı vardır (biri dar açı, diğeri geniş açı), eğer bu açıların toplamı \( 180^\circ \) oluyorsa.
Bu durumda, \( A \) açısı için iki olası değer vardır:

• Birinci Olasılık (Dar Açı): \( A_1 = \arcsin\left(\frac{7}{10}\right) \). Bu yaklaşık olarak \( 44.4^\circ \)'dir.
• İkinci Olasılık (Geniş Açı): \( A_2 = 180^\circ - A_1 \). Bu durumda \( A_2 = 180^\circ - \arcsin\left(\frac{7}{10}\right) \). Bu yaklaşık olarak \( 180^\circ - 44.4^\circ = 135.6^\circ \)'dir.

Her iki durumda da \( A \) açısının sinüsü \( \frac{7}{10} \)'dur. Bu iki durumun geçerli olup olmadığını kontrol etmek için \( A+B < 180^\circ \) koşuluna bakmalıyız.

• Durum 1: \( A_1 \approx 44.4^\circ \), \( B = 30^\circ \). Toplam \( 74.4^\circ < 180^\circ \). Bu durum geçerlidir.
• Durum 2: \( A_2 \approx 135.6^\circ \), \( B = 30^\circ \). Toplam \( 165.6^\circ < 180^\circ \). Bu durum da geçerlidir.

Dolayısıyla, \( \sin(A) \) değeri \( \frac{7}{10} \)'dur ve \( A \) açısı için iki farklı olası değer bulunmaktadır. 👍