🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Silindir alan ve hacim Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Silindir alan ve hacim Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Yarıçapı 5 cm ve yüksekliği 10 cm olan dik dairesel bir silindirin yanal yüzey alanını hesaplayınız.
💡 Hatırlatma: Silindirin yanal yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen oluşturur.
💡 Hatırlatma: Silindirin yanal yüzeyi açıldığında bir dikdörtgen oluşturur.
Çözüm:
- Silindirin yanal yüzey alanı, taban çevresi ile yüksekliğinin çarpımına eşittir.
- Taban çevresi formülü: \( Çevre = 2 \cdot \pi \cdot r \)
- Verilenler: Yarıçap \( r = 5 \) cm, Yükseklik \( h = 10 \) cm.
- Taban çevresi: \( Çevre = 2 \cdot \pi \cdot 5 = 10\pi \) cm.
- Yanal yüzey alanı: \( Yanal Alan = Çevre \cdot h = 10\pi \cdot 10 = 100\pi \) cm².
Örnek 2:
Taban yarıçapı 3 cm ve yüksekliği 8 cm olan bir dik dairesel silindirin taban alanını hesaplayınız.
📌 Unutmayın: Silindirin tabanı daire şeklindedir.
📌 Unutmayın: Silindirin tabanı daire şeklindedir.
Çözüm:
- Silindirin taban alanı, dairenin alan formülü ile hesaplanır.
- Dairenin alan formülü: \( Alan = \pi \cdot r^2 \)
- Verilenler: Yarıçap \( r = 3 \) cm.
- Taban alanı: \( Taban Alanı = \pi \cdot (3)^2 = 9\pi \) cm².
Örnek 3:
Yarıçapı 4 cm ve yüksekliği 12 cm olan bir dik dairesel silindirin hacmini hesaplayınız.
👉 Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
👉 Hacim, taban alanı ile yüksekliğin çarpımıdır.
Çözüm:
- Silindirin hacim formülü: \( Hacim = Taban Alanı \cdot h = \pi \cdot r^2 \cdot h \)
- Verilenler: Yarıçap \( r = 4 \) cm, Yükseklik \( h = 12 \) cm.
- Hacim: \( Hacim = \pi \cdot (4)^2 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi \) cm³.
Örnek 4:
Taban yarıçapı 6 cm ve yüksekliği 15 cm olan bir dik dairesel silindirin tam yüzey alanını hesaplayınız.
💡 Tam yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal yüzey alanının toplamıdır.
💡 Tam yüzey alanı, iki taban alanı ile yanal yüzey alanının toplamıdır.
Çözüm:
- Önce taban alanını hesaplayalım: \( Taban Alanı = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (6)^2 = 36\pi \) cm².
- İki taban alanı: \( 2 \cdot 36\pi = 72\pi \) cm².
- Şimdi yanal yüzey alanını hesaplayalım: \( Yanal Alan = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot 6 \cdot 15 = 180\pi \) cm².
- Tam yüzey alanı: \( Tam Yüzey Alanı = 2 \cdot Taban Alanı + Yanal Alan = 72\pi + 180\pi = 252\pi \) cm².
Örnek 5:
Hacmi \( 250\pi \) cm³ ve yüksekliği 10 cm olan bir dik dairesel silindirin taban yarıçapını bulunuz.
👉 Hacim formülünü kullanarak bilinmeyeni bulacağız.
👉 Hacim formülünü kullanarak bilinmeyeni bulacağız.
Çözüm:
- Silindirin hacim formülü: \( Hacim = \pi \cdot r^2 \cdot h \)
- Verilenler: Hacim \( 250\pi \) cm³, Yükseklik \( h = 10 \) cm.
- Formülde verilen değerleri yerine koyalım: \( 250\pi = \pi \cdot r^2 \cdot 10 \)
- \( \pi \) ve 10'a bölelim: \( 25 = r^2 \)
- Karekök alalım: \( r = \sqrt{25} = 5 \) cm.
Örnek 6:
Bir konserve kutusunun (dik dairesel silindir) yüksekliği 12 cm ve taban çapı 8 cm'dir. Bu konserve kutusunun içine sığabilecek en fazla miktarda konserve mısırın hacmini hesaplayınız.
💡 Kutunun hacmi, içine sığabilecek maksimum hacmi verir.
💡 Kutunun hacmi, içine sığabilecek maksimum hacmi verir.
Çözüm:
- Öncelikle taban yarıçapını bulmalıyız. Çap 8 cm ise, yarıçap \( r = 8 / 2 = 4 \) cm'dir.
- Verilenler: Yarıçap \( r = 4 \) cm, Yükseklik \( h = 12 \) cm.
- Silindirin hacim formülü: \( Hacim = \pi \cdot r^2 \cdot h \)
- Hacim: \( Hacim = \pi \cdot (4)^2 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi \) cm³.
Örnek 7:
Bir su borusunun iç kesiti daireseldir. Borunun iç yarıçapı 5 cm ve borunun uzunluğu (yüksekliği) 100 cm'dir. Bu borunun içindeki suyun hacmini hesaplayınız.
💧 Su boruları genellikle silindir şeklindedir.
💧 Su boruları genellikle silindir şeklindedir.
Çözüm:
- Bu durumda borunun içini bir silindir olarak düşünebiliriz.
- Verilenler: Yarıçap \( r = 5 \) cm, Yükseklik \( h = 100 \) cm.
- Silindirin hacim formülü: \( Hacim = \pi \cdot r^2 \cdot h \)
- Hacim: \( Hacim = \pi \cdot (5)^2 \cdot 100 = \pi \cdot 25 \cdot 100 = 2500\pi \) cm³.
- Cevabı litreye çevirmek istersek: 1 litre = 1000 cm³.
- Hacim (litre): \( 2500\pi / 1000 = 2.5\pi \) litre.
Örnek 8:
Taban yarıçapı \( r \) ve yüksekliği \( h \) olan bir dik dairesel silindirin hacmi \( V \), tam yüzey alanı ise \( A \) olarak verilmiştir. Eğer \( h = 2r \) ise, \( V \) ve \( A \) arasındaki ilişkiyi \( \pi \) cinsinden bulunuz.
🧠 İlişkiyi kurmak için verilen \( h = 2r \) bilgisini kullanacağız.
🧠 İlişkiyi kurmak için verilen \( h = 2r \) bilgisini kullanacağız.
Çözüm:
- Silindirin hacim formülü: \( V = \pi \cdot r^2 \cdot h \)
- Silindirin tam yüzey alanı formülü: \( A = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h \)
- Verilen ilişki: \( h = 2r \)
- Bu ilişkiyi hacim formülünde yerine koyalım: \( V = \pi \cdot r^2 \cdot (2r) = 2\pi r^3 \)
- Şimdi bu ilişkiyi tam yüzey alanı formülünde yerine koyalım: \( A = 2 \cdot \pi \cdot r^2 + 2 \cdot \pi \cdot r \cdot (2r) = 2\pi r^2 + 4\pi r^2 = 6\pi r^2 \)
- Buradan \( r^2 \) çekelim: \( r^2 = A / (6\pi) \)
- Ayrıca \( r \) çekelim: \( r = \sqrt{A / (6\pi)} \)
- Hacim formülünde \( r \) yerine \( \sqrt{A / (6\pi)} \) ve \( r^2 \) yerine \( A / (6\pi) \) koyalım.
- Önce \( r \) için bir düzenleme yapalım: \( V = 2\pi r^3 = 2\pi \cdot r \cdot r^2 \)
- \( V = 2\pi \cdot \sqrt{A / (6\pi)} \cdot (A / (6\pi)) \)
- Bu ifadeyi sadeleştirmek karmaşık olabilir. Daha basit bir yol deneyelim:
- \( V = 2\pi r^3 \) => \( r^3 = V / (2\pi) \) => \( r = (V / (2\pi))^{1/3} \)
- \( A = 6\pi r^2 \) => \( r^2 = A / (6\pi) \)
- \( (r^3)^2 = (V / (2\pi))^2 \) => \( r^6 = V^2 / (4\pi^2) \)
- \( (r^2)^3 = (A / (6\pi))^3 \) => \( r^6 = A^3 / (216\pi^3) \)
- Bu iki \( r^6 \) ifadesini eşitleyelim: \( V^2 / (4\pi^2) = A^3 / (216\pi^3) \)
- \( V^2 = (4\pi^2 \cdot A^3) / (216\pi^3) \)
- \( V^2 = A^3 / (54\pi) \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-silindir-alan-ve-hacim/sorular