🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Sayma Stratejileri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Sayma Stratejileri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir sınıfta 15 erkek ve 12 kız öğrenci bulunmaktadır. Bu sınıftan bir başkan ve bir başkan yardımcısı kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm:
Bu tür sorularda sıralama önemli olduğu için permütasyon kullanırız.
- Toplam öğrenci sayısı: \( 15 + 12 = 27 \)
- Seçilecek pozisyon sayısı: 2 (Başkan ve Başkan Yardımcısı)
- Seçimler farklı kişiler arasından yapılacağı için, ilk pozisyon için 27 seçenek, ikinci pozisyon için ise kalan 26 seçenek vardır.
- Toplam farklı seçim sayısı: \( P(27, 2) = 27 \times 26 \)
- Hesaplama: \( 27 \times 26 = 702 \)
Örnek 2:
5 farklı renkte bilye arasından 3 tanesi kaç farklı şekilde seçilebilir?
Çözüm:
Burada bilyelerin seçilme sırası önemli olmadığı için kombinasyon kullanırız.
- Toplam farklı bilye sayısı: 5
- Seçilecek bilye sayısı: 3
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Uygulama: \( C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} \)
- Hesaplama: \( \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10 \)
Örnek 3:
"MATEMATİK" kelimesindeki harflerin yerleri değiştirilerek kaç farklı anlamlı veya anlamsız kelime yazılabilir?
Çözüm:
Bu soruda tekrar eden harfler olduğu için tekrarlı permütasyon formülünü kullanmalıyız.
- Kelime: MATEMATİK
- Toplam harf sayısı: 9
- Tekrar eden harfler:
- M harfi: 2 kez
- A harfi: 2 kez
- T harfi: 2 kez
- Tekrarlı permütasyon formülü: \( \frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!} \)
- Uygulama: \( \frac{9!}{2!2!2!} \)
- Hesaplama: \( \frac{362880}{2 \times 2 \times 2} = \frac{362880}{8} = 45360 \)
Örnek 4:
Bir davete katılan 8 kişi birbirleriyle tokalaşıyor. Toplam kaç tokalaşma gerçekleşir?
Çözüm:
Her tokalaşma iki kişi arasında gerçekleşir ve tokalaşmanın sırası önemli değildir (Ali'nin Veli'ye tokalaşması ile Veli'nin Ali'ye tokalaşması aynıdır). Bu nedenle kombinasyon kullanırız.
- Toplam kişi sayısı: 8
- Tokalaşma için seçilecek kişi sayısı: 2
- Kombinasyon formülü: \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \)
- Uygulama: \( C(8, 2) = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2!6!} \)
- Hesaplama: \( \frac{8 \times 7 \times 6!}{2 \times 1 \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = \frac{56}{2} = 28 \)
Örnek 5:
Bir mağaza, 3 farklı renkte tişört ve 4 farklı modelde pantolon satmaktadır. Bir tişört ve bir pantolon alan bir müşteri kaç farklı kombinasyon oluşturabilir?
Çözüm:
Bu soruda, her bir tişört seçimi, her bir pantolon modeli ile eşleştirilebilir. Bu durum çarpma prensibi ile çözülür.
- Seçenek 1 (Tişört): 3 farklı renk
- Seçenek 2 (Pantolon): 4 farklı model
- Toplam farklı kombinasyon sayısı: (Tişört sayısı) \( \times \) (Pantolon sayısı)
- Hesaplama: \( 3 \times 4 = 12 \)
Örnek 6:
Bir mobil uygulama, kullanıcılarına şifre oluştururken aşağıdaki kuralları belirlemiştir: Şifre en az 8 karakter olmalı, en az bir büyük harf, en az bir küçük harf ve en az bir rakam içermelidir. Sadece büyük harfler, küçük harfler ve rakamlar kullanılabilmektedir. Bu kurallara uyan kaç farklı şifre oluşturulabilir? (Bu sorunun tam çözümü ileri düzey olasılık ve sayma teknikleri gerektirdiğinden, burada sadece prensibi açıklayacağız ve basit bir alt küme üzerinden örnek vereceğiz.)
Çözüm:
Bu tür bir sorunun tam çözümü, tüm olası karakter setlerini ve kombinasyonları detaylı bir şekilde hesaplamayı gerektirir ve 11. sınıf müfredatının ötesine geçebilir. Ancak temel prensibi şu şekilde açıklayabiliriz:
- Kullanılabilecek karakterler: Büyük harfler (26), küçük harfler (26), rakamlar (10) olmak üzere toplam \( 26 + 26 + 10 = 62 \) karakter.
- Şifre uzunluğu en az 8 karakter.
- En az bir büyük harf, en az bir küçük harf ve en az bir rakam içermeli kuralı, tüm olası şifrelerden, bu koşulları sağlamayanları çıkarmak (tüme varım yerine tümden gelim) şeklinde çözülür.
- Karakterler: A, a, 1
- Olası şifreler: A a 1, A 1 a, a A 1, a 1 A, 1 A a, 1 a A
- Bu durumda 3! = 6 farklı şifre oluşur.
Örnek 7:
Bir yemek menüsünde 4 çeşit ana yemek, 3 çeşit ara sıcak ve 5 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir öğün için bir ana yemek, bir ara sıcak ve bir tatlı seçmek isteyen bir kişi kaç farklı menü oluşturabilir?
Çözüm:
Bu problem, farklı kategorilerdeki seçeneklerin bir araya getirilmesiyle ilgilidir ve çarpma prensibi ile kolayca çözülür.
- Ana Yemek Seçenekleri: 4
- Ara Sıcak Seçenekleri: 3
- Tatlı Seçenekleri: 5
- Oluşturulabilecek Toplam Menü Sayısı: (Ana Yemek Sayısı) \( \times \) (Ara Sıcak Sayısı) \( \times \) (Tatlı Sayısı)
- Hesaplama: \( 4 \times 3 \times 5 = 60 \)
Örnek 8:
Bir otoparkta 10 boş park yeri bulunmaktadır. 3 farklı renkte (kırmızı, mavi, yeşil) ve 2 farklı modelde (sedan, SUV) toplam 6 farklı araç otoparka giriş yapacaktır. Bu 6 araç, boş park yerlerine kaç farklı şekilde park edebilir?
Çözüm:
Bu soruda hem araçların kendi aralarındaki farklılıkları hem de park yerlerinin farklılıkları dikkate alınmalıdır. Bu bir permütasyon problemidir.
- Toplam boş park yeri sayısı: 10
- Giriş yapacak araç sayısı: 6
- Araçlar hem renk hem de model olarak farklı olduğundan, her araç birbirinden farklıdır.
- İlk araç için 10 park yeri seçeneği vardır.
- İkinci araç için kalan 9 park yeri seçeneği vardır.
- Bu şekilde devam ederek 6. araç için 5 park yeri seçeneği kalır.
- Toplam farklı park etme sayısı: \( P(10, 6) = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \)
- Hesaplama: \( 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 = 151.200 \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-sayma-stratejileri/sorular