📄 11. Sınıf Matematik: Sayma Stratejileri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

a) Öğrenci 5 dersten 3 tanesini seçeceği için bu bir kombinasyon problemidir. Sıralama önemli değildir.

\(C(5,3) = \frac{5!}{3! \cdot (5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1) \times (2 \times 1)} = \frac{120}{6 \times 2} = \frac{120}{12} = 10\) farklı şekilde seçim yapabilir.

b) Seçtiği 3 dersi programına sıralayacağı için bu bir permütasyon problemidir. Sıralama önemlidir.

\(P(5,3) = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{2 \times 1} = 5 \times 4 \times 3 = 60\) farklı şekilde sıralayabilir.

Alternatif olarak, seçilen 3 ders kendi içinde \(3!\) farklı şekilde sıralanabilir. Bu durumda \(C(5,3) \times 3! = 10 \times 6 = 60\) olur.

💡 Çözüm Adımları:

Bir binom açılımında \((a+b)^n\) ifadesinin baştan \((k+1)\). terimi \(C(n,k) \cdot a^{n-k} \cdot b^k\) formülü ile bulunur.

Burada \(n=5\), \(a=x\), \(b=2y\) ve baştan 3. terim istendiği için \(k+1=3 \implies k=2\) olur.

Formülü uygulayalım:

\(C(5,2) \cdot x^{5-2} \cdot (2y)^2\)

Önce \(C(5,2)\) değerini hesaplayalım:

\(C(5,2) = \frac{5!}{2! \cdot (5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)

Şimdi terimi yerine yazalım:

\(10 \cdot x^3 \cdot (2y)^2 = 10 \cdot x^3 \cdot (2^2 \cdot y^2) = 10 \cdot x^3 \cdot 4y^2 = 40x^3y^2\)

Baştan 3. terim \(40x^3y^2\) dir.

💡 Çözüm Adımları:

a) Toplamda \(4+3=7\) farklı kitap vardır. Bu 7 farklı kitap bir rafa \(7!\) farklı şekilde dizilebilir.

\(7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040\) farklı şekilde dizilebilir.

b) Aynı branştan kitapların yan yana olması şartı varsa, matematik kitaplarını bir blok (M), fizik kitaplarını bir blok (F) olarak düşünebiliriz.

Bu iki blok (M ve F) kendi aralarında \(2!\) farklı şekilde sıralanabilir.

Matematik kitapları kendi içinde \(4!\) farklı şekilde sıralanabilir.

Fizik kitapları kendi içinde \(3!\) farklı şekilde sıralanabilir.

Toplam diziliş sayısı bu durumların çarpımı olacaktır:

\(2! \times 4! \times 3! = (2 \times 1) \times (4 \times 3 \times 2 \times 1) \times (3 \times 2 \times 1)\)

\( = 2 \times 24 \times 6 = 288\) farklı şekilde dizilebilir.