🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Sayı Basamakları Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Sayı Basamakları Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir iki basamaklı sayının rakamları toplamı 12'dir. Bu sayının rakamları yer değiştirildiğinde sayı 36 artmaktadır. 💡 Buna göre, bu sayı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Öncelikle, iki basamaklı sayımızı \(ab\) olarak gösterelim. Burada \(a\) onlar basamağını, \(b\) ise birler basamağını temsil eder.
- Çözümleme yaptığımızda, \(ab\) sayısı aslında \(10a + b\) demektir.
- 📌 Soruda verilen ilk bilgi: "Rakamları toplamı 12'dir." Yani, \(a + b = 12\).
- 📌 Soruda verilen ikinci bilgi: "Rakamları yer değiştirildiğinde sayı 36 artmaktadır."
Rakamları yer değiştirdiğimizde oluşan yeni sayı \(ba\) olur. Bu da \(10b + a\) demektir. - Yeni sayı, eski sayıdan 36 fazla olduğuna göre, denklemi kuralım: \[ 10b + a = (10a + b) + 36 \]
- Şimdi bu denklemi düzenleyelim: \[ 10b + a - 10a - b = 36 \] \[ 9b - 9a = 36 \]
- Her iki tarafı 9'a bölelim: \[ b - a = 4 \]
- Elimizde iki tane denklem var:
1) \(a + b = 12\)
2) \(b - a = 4\) - Bu iki denklemi alt alta toplayalım: \[ (a + b) + (b - a) = 12 + 4 \] \[ 2b = 16 \] \[ b = 8 \]
- Şimdi \(b = 8\) değerini ilk denklemde yerine koyalım: \[ a + 8 = 12 \] \[ a = 4 \]
- ✅ Buna göre, sayımız \(ab = 48\)'dir.
Örnek 2:
Üç basamaklı ABC sayısı, iki basamaklı AB sayısından 232 fazladır. Buna göre, C rakamı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Üç basamaklı ABC sayısını çözümleyelim: \(100A + 10B + C\).
- 👉 İki basamaklı AB sayısını çözümleyelim: \(10A + B\).
- 📌 Soruda verilen bilgi: "ABC sayısı, AB sayısından 232 fazladır." Denklemi kuralım: \[ 100A + 10B + C = (10A + B) + 232 \]
- Şimdi bu denklemi düzenleyelim. Sağdaki terimleri sola atalım: \[ 100A + 10B + C - 10A - B = 232 \]
- Benzer terimleri birleştirelim: \[ (100A - 10A) + (10B - B) + C = 232 \] \[ 90A + 9B + C = 232 \]
- Burada fark etmemiz gereken önemli bir nokta var: \(90A + 9B\) ifadesi \(9 \times (10A + B)\) olarak yazılabilir. Yani, \(9 \times AB\) sayısıdır. \[ 9 \times (10A + B) + C = 232 \] \[ 9 \times (AB) + C = 232 \]
- Şimdi, \(AB\) iki basamaklı bir sayı ve \(C\) bir rakam (0'dan 9'a kadar).
\(232\) sayısını 9'a bölerek \(AB\) ve \(C\)'yi bulabiliriz. - \(232 \div 9\) işlemini yapalım: \[ 232 = 9 \times 25 + 7 \] Yani, 232'yi 9'a böldüğümüzde bölüm 25, kalan ise 7 olur.
- Bu durumda, \(AB\) sayımız 25, \(C\) rakamımız ise 7 olmalıdır.
- ✅ Bize C rakamı sorulduğu için cevap 7'dir.
Örnek 3:
Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13 katına eşittir. Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Üç basamaklı 4AB sayısını çözümleyelim: \(400 + 10A + B\).
- 👉 İki basamaklı BA sayısını çözümleyelim: \(10B + A\).
- 📌 Soruda verilen bilgi: "4AB sayısı, BA sayısının 13 katına eşittir." Denklemi kuralım: \[ 400 + 10A + B = 13 \times (10B + A) \]
- Denklemin sağ tarafını dağıtalım: \[ 400 + 10A + B = 130B + 13A \]
- Şimdi bilinenleri bir tarafa, bilinmeyenleri diğer tarafa toplayalım. \(A\) ve \(B\) terimlerini sağ tarafa atalım: \[ 400 = 130B - B + 13A - 10A \] \[ 400 = 129B + 3A \]
- Şimdi \(A\) ve \(B\) rakam olduğu için (0-9 arası, \(B \ne 0\) çünkü BA iki basamaklı bir sayı), bu denklemi sağlayan değerleri bulmalıyız.
- Öncelikle \(B\) için değerler deneyelim.
- Eğer \(B = 1\) ise: \[ 400 = 129 \times 1 + 3A \] \[ 400 = 129 + 3A \] \[ 271 = 3A \] \(271\) sayısı 3'e bölünmez (rakamları toplamı \(2+7+1=10\), 3'ün katı değil). Dolayısıyla \(A\) bir tam sayı olmaz.
- Eğer \(B = 2\) ise: \[ 400 = 129 \times 2 + 3A \] \[ 400 = 258 + 3A \] \[ 142 = 3A \] \(142\) sayısı 3'e bölünmez (rakamları toplamı \(1+4+2=7\), 3'ün katı değil). Dolayısıyla \(A\) bir tam sayı olmaz.
- Eğer \(B = 3\) ise: \[ 400 = 129 \times 3 + 3A \] \[ 400 = 387 + 3A \] \[ 13 = 3A \] \(13\) sayısı 3'e bölünmez. Dolayısıyla \(A\) bir tam sayı olmaz.
- Eğer \(B = 4\) ise: \[ 400 = 129 \times 4 + 3A \] \[ 400 = 516 + 3A \] Bu durumda \(3A\) negatif olur, ki \(A\) bir rakam olduğu için bu mümkün değildir. Demek ki \(B\) değeri 3'ten büyük olamaz.
- Tekrar kontrol edelim. \(B\) değeri 1, 2, 3 için \(A\) tam sayı çıkmadı. Bir hata mı var? Ah, \(A\) ve \(B\) rakam olmak zorunda. \(400 = 129B + 3A\) denkleminde \(B\) en fazla kaç olabilir? Eğer \(B=3\) olsaydı, \(129 \times 3 = 387\). Kalan \(400 - 387 = 13\). \(3A = 13\). \(A = 13/3\), bu bir rakam değil. Demek ki \(B\) değeri 3'ten küçük olmalı.
- Gözden kaçan bir şey var mı? "BA" iki basamaklı sayı olduğu için \(B \neq 0\). Denklemi tekrar kontrol edelim: \(400 + 10A + B = 130B + 13A \implies 400 = 129B + 3A\). Bu denklemi sağlayan \(A\) ve \(B\) rakamları olmalı.
- Aslında, \(400 = 129B + 3A\) ifadesinde, \(3A\) sayısı 3'ün bir katıdır. Demek ki \(400 - 129B\) de 3'ün katı olmalıdır. \(400 \equiv 1 \pmod 3\) (Çünkü \(4+0+0=4\), 3'e bölümünden kalan 1). \(129 \equiv 0 \pmod 3\) (Çünkü \(1+2+9=12\), 3'e tam bölünür). Bu durumda, \(400 = 129B + 3A \implies 1 \equiv 0 \times B + 0 \pmod 3 \implies 1 \equiv 0 \pmod 3\). Bu bir çelişki! Bu denklemin rakamlarla bir çözümü olamaz.
- Sorunun metninde bir hata mı var? "4AB sayısı" derken 4, A, B rakamları mı kastediliyor, yoksa 4 x A x B mi? Hayır, sayı basamakları konusunda bu "4 yüzler basamağında, A onlar basamağında, B birler basamağında" anlamına gelir.
- Tekrar kontrol edelim: \(400 + 10A + B = 13(10B + A)\)
\(400 + 10A + B = 130B + 13A\)
\(400 = 129B + 3A\). Bu denklemde bir hata yok. - Peki, bu denklemi sağlayan rakamlar neden bulunamıyor? \(129B\) ifadesi daima 3'e tam bölünür. \(3A\) ifadesi de daima 3'e tam bölünür. Dolayısıyla, \(129B + 3A\) ifadesi daima 3'e tam bölünür. Ancak \(400\) sayısı 3'e tam bölünmez (rakamları toplamı 4). Bu durumda, \(3\) ile tam bölünen bir sayının toplamı, \(3\) ile tam bölünmeyen bir sayıya eşit olamaz. Yani, \(129B + 3A = 400\) denklemini sağlayan \(A\) ve \(B\) rakamları yoktur.
- Bu tarz sorularda bazen "soruda hata" durumu olabilir. Eğer bu bir test sorusu olsaydı, "soru hatalı" derdik. Ancak bir örnek olduğu için, bu durumun kendisi bir öğrenme noktası olabilir: her denklemin bir çözümü olmak zorunda değildir. Fakat müfredat ve pedagogical kurallar gereği, öğrencilerin çözülemeyen sorularla karşılaşması yerine, her zaman çözümü olan sorular sunulması beklenir.
- Bu soruyu, çözümü olan bir hale getirmek için değiştirmeliyim. "Üç basamaklı A4B sayısı..." veya "iki basamaklı AB sayısının 11 katı" gibi bir değişiklik yapmalıyım. Mesela, 4AB yerine A4B yapalım. A4B = \(100A + 40 + B\). \(100A + 40 + B = 13(10B + A)\) \(100A + 40 + B = 130B + 13A\) \(40 = 129B - 87A\) Bu da karmaşık.
- En iyisi soruyu daha basit ve kesin çözümü olan bir hale getirmek. Önceki soruda \(90A + 9B + C = 232\) denkleminde \(C\) rakamını bulmuştuk. Benzer bir yapı. Şu şekilde değiştirelim: "Üç basamaklı A0B sayısı, iki basamaklı AB sayısının 6 katına eşittir. Buna göre, A + B toplamı kaçtır?" A0B = \(100A + B\) AB = \(10A + B\) \(100A + B = 6(10A + B)\) \(100A + B = 60A + 6B\) \(40A = 5B\) Her iki tarafı 5'e bölersek: \(8A = B\). \(A\) ve \(B\) rakam olmalı, \(A \neq 0\) (\(A0B\) üç basamaklı), \(B \neq 0\) (\(AB\) iki basamaklı). Eğer \(A=1\) ise \(B=8\). Bu durumda \(A+B = 1+8 = 9\). Bu uygun bir çözüm. Bu soruyu kullanacağım.
- 👉 Üç basamaklı A0B sayısını çözümleyelim: \(100A + 0 \times 10 + B = 100A + B\).
- 👉 İki basamaklı AB sayısını çözümleyelim: \(10A + B\).
- 📌 Soruda verilen bilgi: "A0B sayısı, AB sayısının 6 katına eşittir." Denklemi kuralım: \[ 100A + B = 6 \times (10A + B) \]
- Denklemin sağ tarafını dağıtalım: \[ 100A + B = 60A + 6B \]
- Şimdi \(A\) terimlerini bir tarafa, \(B\) terimlerini diğer tarafa toplayalım: \[ 100A - 60A = 6B - B \] \[ 40A = 5B \]
- Her iki tarafı 5'e bölelim: \[ 8A = B \]
- Şimdi \(A\) ve \(B\) rakam olduğu için (0-9 arası), bu denklemi sağlayan değerleri bulmalıyız. Unutmayalım ki A0B üç basamaklı bir sayı olduğundan \(A \neq 0\). Ayrıca AB de iki basamaklı olduğundan \(A \neq 0\).
- Denklemimiz \(8A = B\).
- Eğer \(A = 1\) ise, \(B = 8 \times 1 = 8\). Bu durumda \(A=1\) ve \(B=8\) rakam koşullarını sağlar.
- Eğer \(A = 2\) ise, \(B = 8 \times 2 = 16\). Ancak \(B\) bir rakam olmalıdır (0-9 arası), bu yüzden \(B=16\) olamaz.
- Demek ki, tek uygun çözüm \(A = 1\) ve \(B = 8\)'dir.
- ✅ Bize A + B toplamı sorulduğu için: \(A + B = 1 + 8 = 9\).
Örnek 4:
İki basamaklı AB sayısı ile BA sayısının toplamı 132'dir. Rakamları farklı olan bu sayılar için, yazılabilecek en büyük AB sayısının rakamları çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 İki basamaklı AB sayısını çözümleyelim: \(10A + B\).
- 👉 İki basamaklı BA sayısını çözümleyelim: \(10B + A\).
- 📌 Soruda verilen bilgi: "AB sayısı ile BA sayısının toplamı 132'dir." Denklemi kuralım: \[ (10A + B) + (10B + A) = 132 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 11A + 11B = 132 \]
- Her iki tarafı 11'e bölelim: \[ A + B = 12 \]
- Şimdi, "rakamları farklı olan bu sayılar için" koşulunu göz önünde bulundurmalıyız. Yani \(A \neq B\).
- Ayrıca, AB ve BA iki basamaklı sayılar olduğu için \(A \neq 0\) ve \(B \neq 0\) olmalıdır.
- \(A + B = 12\) denklemini sağlayan ve \(A \neq B\), \(A \neq 0\), \(B \neq 0\) koşullarını sağlayan \(A\) ve \(B\) değerlerini bulalım.
- \(A=3 \implies B=9\). Sayı \(39\). Rakamları farklı, \(A \neq 0, B \neq 0\).
- \(A=4 \implies B=8\). Sayı \(48\). Rakamları farklı, \(A \neq 0, B \neq 0\).
- \(A=5 \implies B=7\). Sayı \(57\). Rakamları farklı, \(A \neq 0, B \neq 0\).
- \(A=6 \implies B=6\). Sayı \(66\). Ancak rakamları farklı olmalı (\(A \neq B\)), bu yüzden bu olamaz.
- \(A=7 \implies B=5\). Sayı \(75\). Rakamları farklı, \(A \neq 0, B \neq 0\).
- \(A=8 \implies B=4\). Sayı \(84\). Rakamları farklı, \(A \neq 0, B \neq 0\).
- \(A=9 \implies B=3\). Sayı \(93\). Rakamları farklı, \(A \neq 0, B \neq 0\).
- Bizden "yazılabilecek en büyük AB sayısı" isteniyor. Yukarıdaki listeden en büyük AB sayısı 93'tür.
- ✅ Son olarak, bu AB sayısının (yani 93'ün) rakamları çarpımı isteniyor: \(9 \times 3 = 27\).
Örnek 5:
Rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı en büyük tek doğal sayı ile rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı en küçük çift doğal sayının farkı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Öncelikle, "Rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı en büyük tek doğal sayı"yı bulalım.
- Üç basamaklı en büyük sayı 9 ile başlamalıdır. Yüzler basamağı 9.
- Rakamları farklı olacağı için, onlar basamağı için bir sonraki en büyük rakam olan 8'i kullanırız. Onlar basamağı 8.
- Şimdi birler basamağına geldik. Rakamları farklı ve tek olması gerekiyor. Kullanılan rakamlar 9 ve 8. Kalan tek rakamlar: 1, 3, 5, 7. Bunlardan en büyüğü 7'dir.
- Dolayısıyla, rakamları birbirinden farklı, üç basamaklı en büyük tek doğal sayı 987'dir.
- 👉 Şimdi de "Rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı en küçük çift doğal sayı"yı bulalım.
- İki basamaklı en küçük sayı 1 ile başlamalıdır (çünkü 0 ile başlarsa iki basamaklı olmaz). Onlar basamağı 1.
- Rakamları farklı olacağı için, birler basamağı için 1'den farklı bir rakam kullanmalıyız. En küçük çift rakam 0'dır. (0, 2, 4, 6, 8 arasından).
- Dolayısıyla, rakamları birbirinden farklı, iki basamaklı en küçük çift doğal sayı 10'dur.
- 📌 Son olarak, bu iki sayının farkını bulalım: \[ 987 - 10 = 977 \]
- ✅ Cevap 977'dir.
Örnek 6:
Bir dijital kasa için üç basamaklı bir şifre oluşturulacaktır. Bu şifrenin rakamları aşağıdaki kurallara göre belirleniyor:
Bu kurallara uygun olarak oluşturulan kasa şifresinin rakamları çarpımı kaçtır? 🔐
- 1. kural: Yüzler basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 2 katıdır.
- 2. kural: Onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 3 eksiktir.
- 3. kural: Şifrenin rakamları toplamı 15'tir.
Bu kurallara uygun olarak oluşturulan kasa şifresinin rakamları çarpımı kaçtır? 🔐
Çözüm:
Bu "Yeni Nesil" problemi, verilen kuralları adım adım uygulayarak çözelim:
Bu kurallara uygun olarak oluşturulan kasa şifresinin rakamları çarpımı kaçtır? 🔐 [SOLUTION_REVISED] Bu "Yeni Nesil" problemi, verilen kuralları adım adım uygulayarak çözelim:
- 👉 Şifremizi ABC üç basamaklı sayısı olarak temsil edelim. Burada \(A\) yüzler, \(B\) onlar, \(C\) birler basamağındaki rakamları ifade eder.
- 📌 1. kural: "Yüzler basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 2 katıdır." Bu kurala göre: \(A = 2C\).
- 📌 2. kural: "Onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 3 eksiktir." Bu kurala göre: \(B = A - 3\).
- 📌 3. kural: "Şifrenin rakamları toplamı 15'tir." Bu kurala göre: \(A + B + C = 15\).
- Şimdi bu üç denklemi birleştirerek \(A, B, C\) rakamlarını bulalım. İlk iki kuralı kullanarak \(B\)'yi \(C\) cinsinden ifade edebiliriz: \(A = 2C\) olduğu için, \(B = (2C) - 3\).
- Şimdi \(A\) ve \(B\)'nin \(C\) cinsinden değerlerini 3. kural denkleminde yerine koyalım: \[ (2C) + (2C - 3) + C = 15 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 5C - 3 = 15 \] \[ 5C = 18 \] \[ C = \frac{18}{5} \]
- 💡 Dur bir saniye! \(C\) bir rakam olmalı ve tam sayı olmalı. \(18/5\) bir tam sayı değil. Bu, soruda bir uyumsuzluk olduğunu gösterir. Soruyu, çözümü olan bir hale getirmek için 3. kuralı değiştirmeliyim. "Rakamları toplamı 15" yerine, "Rakamları toplamı 18" veya "Rakamları toplamı 12" gibi bir şey olmalı. Eğer \(5C - 3 = 15\) yerine \(5C - 3 = 17\) olsaydı, \(5C = 20 \implies C = 4\). Bu durumda \(A=2C=8\), \(B=A-3=8-3=5\). Rakamlar 8, 5, 4. Toplamları \(8+5+4 = 17\). Bu daha uygun.
- 1. kural: Yüzler basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 2 katıdır.
- 2. kural: Onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 3 eksiktir.
- 3. kural: Şifrenin rakamları toplamı 17'dir.
Bu kurallara uygun olarak oluşturulan kasa şifresinin rakamları çarpımı kaçtır? 🔐 [SOLUTION_REVISED] Bu "Yeni Nesil" problemi, verilen kuralları adım adım uygulayarak çözelim:
- 👉 Şifremizi ABC üç basamaklı sayısı olarak temsil edelim. Burada \(A\) yüzler, \(B\) onlar, \(C\) birler basamağındaki rakamları ifade eder.
- 📌 1. kural: "Yüzler basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamın 2 katıdır." Bu kurala göre: \(A = 2C\).
- 📌 2. kural: "Onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 3 eksiktir." Bu kurala göre: \(B = A - 3\).
- 📌 3. kural: "Şifrenin rakamları toplamı 17'dir." Bu kurala göre: \(A + B + C = 17\).
- Şimdi bu üç denklemi birleştirerek \(A, B, C\) rakamlarını bulalım. İlk iki kuralı kullanarak \(B\)'yi \(C\) cinsinden ifade edebiliriz: \(A = 2C\) olduğu için, \(B = (2C) - 3\).
- Şimdi \(A\) ve \(B\)'nin \(C\) cinsinden değerlerini 3. kural denkleminde yerine koyalım: \[ (2C) + (2C - 3) + C = 17 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 5C - 3 = 17 \] \[ 5C = 20 \] \[ C = 4 \]
- Şimdi \(C\) değerini bulduğumuza göre, \(A\) ve \(B\)'yi de bulabiliriz:
- \(A = 2C = 2 \times 4 = 8\).
- \(B = A - 3 = 8 - 3 = 5\).
- Buna göre, kasa şifresi 854'tür. Rakamlar 8, 5 ve 4'tür. Kontrol edelim: Rakamlar toplamı \(8+5+4 = 17\). Kurallara uygun.
- ✅ Son olarak, bizden şifrenin rakamları çarpımı isteniyor: \[ 8 \times 5 \times 4 = 40 \times 4 = 160 \]
Örnek 7:
Ayşe Hanım, marketten aldığı ürünlerin fiyatlarını hesaplarken bir hata yapıyor. Aldığı ürünlerin fişinde, bir ürünün fiyatının TL 1A,B5 şeklinde yazıldığını görüyor. Ancak kasa görevlisi, bu fiyatı yanlışlıkla TL 1B,A5 olarak okuyup toplama ekliyor. Bu yanlış okuma yüzünden Ayşe Hanım'ın ödemesi gereken tutar TL 0,90 artıyor. Buna göre, A - B farkı kaçtır? (Burada A ve B birer rakamı temsil etmektedir.)
Çözüm:
Bu günlük hayat problemini sayı basamakları çözümlemesi ile çözelim:
- 👉 Ürünün doğru fiyatı TL 1A,B5. Bunu kuruş cinsinden düşünürsek: \(1000 + 100A + 10B + 5\) kuruş. Veya ondalık olarak çözümleyelim: \(1 \times 10^1 + A \times 10^0 + B \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2}\) TL. Yani, \(10 + A + \frac{B}{10} + \frac{5}{100}\) TL.
- 👉 Yanlış okunan fiyat TL 1B,A5. Bunu da ondalık olarak çözümleyelim: \(1 \times 10^1 + B \times 10^0 + A \times 10^{-1} + 5 \times 10^{-2}\) TL. Yani, \(10 + B + \frac{A}{10} + \frac{5}{100}\) TL.
- 📌 Soruda verilen bilgi: "Yanlış okuma yüzünden Ayşe Hanım'ın ödemesi gereken tutar TL 0,90 artıyor." Bu demektir ki, yanlış okunan fiyat, doğru fiyattan 0,90 TL daha fazladır. \[ (10 + B + \frac{A}{10} + \frac{5}{100}) - (10 + A + \frac{B}{10} + \frac{5}{100}) = 0,90 \]
- Denklemi basitleştirelim. Ortak terimler birbirini götürecektir: \[ B + \frac{A}{10} - A - \frac{B}{10} = 0,90 \]
- Benzer terimleri birleştirelim: \[ (B - \frac{B}{10}) + (\frac{A}{10} - A) = 0,90 \] \[ (\frac{10B - B}{10}) + (\frac{A - 10A}{10}) = 0,90 \] \[ \frac{9B}{10} + \frac{-9A}{10} = 0,90 \] \[ \frac{9B - 9A}{10} = 0,90 \]
- İçler dışlar çarpımı yapalım veya her iki tarafı 10 ile çarpalım: \[ 9B - 9A = 0,90 \times 10 \] \[ 9B - 9A = 9 \]
- Her iki tarafı 9'a bölelim: \[ B - A = 1 \]
- Bize A - B farkı soruluyor. \[ A - B = -1 \]
- ✅ Yani, A - B farkı -1'dir. (Örneğin A=3, B=4 olabilir. O zaman fiyat 13,45 TL yerine 14,35 TL okunmuş, fark 0,90 TL).
Örnek 8:
Üç basamaklı xyz sayısı, iki basamaklı xy sayısının 10 katından 2 eksiktir. Buna göre, z rakamı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Üç basamaklı xyz sayısını çözümleyelim: \(100x + 10y + z\).
- 👉 İki basamaklı xy sayısını çözümleyelim: \(10x + y\).
- 📌 Soruda verilen bilgi: "xyz sayısı, xy sayısının 10 katından 2 eksiktir." Denklemi kuralım: \[ 100x + 10y + z = 10 \times (10x + y) - 2 \]
- Denklemin sağ tarafını düzenleyelim: \[ 100x + 10y + z = 100x + 10y - 2 \]
- Şimdi her iki taraftaki benzer terimleri sadeleştirelim. \(100x\) ve \(10y\) her iki tarafta da aynı olduğu için birbirlerini götürürler: \[ z = -2 \]
- 💡 Ancak \(z\) bir rakam olmalıdır ve rakamlar 0'dan 9'a kadar pozitif değerlerdir. Bu durumda \(z = -2\) olamaz. Bu, sorunun kurgusunda bir hata olduğunu gösterir. Muhtemelen "10 katından 2 eksiktir" yerine "10 katından 2 fazladır" veya "10 katından 20 eksiktir" gibi bir ifade olmalı. Veya "xy" sayısının 10 katından değil, başka bir katından.
- Bu soruyu, çözümü olan bir hale getirmek için değiştireyim. "Üç basamaklı xyz sayısı, iki basamaklı xy sayısının 9 katından 18 fazladır." Bu durumda: \(100x + 10y + z = 9(10x + y) + 18\) \(100x + 10y + z = 90x + 9y + 18\) \(10x + y + z = 18\) Yani, \(xy + z = 18\). Burada \(xy\) iki basamaklı bir sayı ve \(z\) bir rakam. Eğer \(xy=10\) ise \(z=8\). Eğer \(xy=11\) ise \(z=7\). Bu da birden fazla çözüm verir. Soru tek bir \(z\) değeri istemeli.
- En basit çözümleme şekline geri dönelim: xyz sayısını (xy0 + z) olarak yazabiliriz. xy0 sayısı, xy sayısının 10 katıdır. Yani, \(xyz = 10 \times (xy) + z\).
- Soruyu şöyle düzenleyelim: "Üç basamaklı xyz sayısı, iki basamaklı xy sayısının 10 katından 5 fazladır." Bu durumda: \(10 \times (xy) + z = 10 \times (xy) + 5\). Buradan direkt \(z = 5\) çıkar. Bu, tek bir cevap veren, net bir soru olur.
- 👉 Üç basamaklı xyz sayısını çözümleyelim. Bu sayıyı, xy sayısının 10 katı artı z olarak düşünebiliriz: \[ xyz = 10 \times (xy) + z \] Veya tam çözümleme ile: \(100x + 10y + z\).
- 👉 İki basamaklı xy sayısını çözümleyelim: \(10x + y\).
- 📌 Soruda verilen bilgi: "xyz sayısı, xy sayısının 10 katından 5 fazladır." Denklemi kuralım: \[ (100x + 10y + z) = 10 \times (10x + y) + 5 \]
- Denklemin sağ tarafını düzenleyelim: \[ 100x + 10y + z = 100x + 10y + 5 \]
- Şimdi her iki taraftaki benzer terimleri sadeleştirelim. \(100x\) ve \(10y\) her iki tarafta da aynı olduğu için birbirlerini götürürler: \[ z = 5 \]
- ✅ Buna göre, z rakamı 5'tir.
Örnek 9:
Bir sınıfta yapılan bir sınavda, öğrencilerin aldıkları puanlar iki basamaklı doğal sayılardır. Sınav sonucunda, Kemal'in puanının onlar basamağı 3 artırılıp, birler basamağı 2 azaltıldığında, puanı 28 artıyor. Buna göre, Kemal'in ilk puanının rakamları toplamı en az kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Kemal'in ilk puanı iki basamaklı bir sayı olduğu için bunu AB olarak gösterelim. Çözümlenmiş hali: \(10A + B\).
- 📌 Soruda verilen değişiklikler:
- Onlar basamağı (A) 3 artırılıyor: Yeni onlar basamağı \(A+3\).
- Birler basamağı (B) 2 azaltılıyor: Yeni birler basamağı \(B-2\).
- Bu değişikliklerle oluşan yeni puanı yazalım: Yeni puan \( = 10 \times (A+3) + (B-2) \) \[ = 10A + 30 + B - 2 \] \[ = 10A + B + 28 \]
- 📌 Soruda verilen bilgi: "Puanı 28 artıyor." Yeni puan ile eski puan arasındaki fark 28'dir. \[ (10A + B + 28) - (10A + B) = 28 \] Gördüğümüz gibi, bu denklem her zaman doğru çıkıyor. Yani bu bilgi, rakamların değerini bulmak için yeterli değil. Bu, basamak değerlerinin mantığını anlamamızı sağlıyor.
- Ancak, bu bir soru ve bir cevap bekliyor. Demek ki, burada gözden kaçan veya ima edilen başka kısıtlamalar var. "Kemal'in ilk puanının rakamları toplamı en az kaçtır?" sorusu, \(A\) ve \(B\)'nin alabileceği değerler üzerinde kısıtlamalar olduğunu gösterir.
- Rakamların alabileceği değerler:
- \(A\) onlar basamağı olduğu için \(A \in \{1, 2, ..., 9\}\).
- \(B\) birler basamağı olduğu için \(B \in \{0, 1, ..., 9\}\).
- Değişiklik sonrası rakamlar da geçerli olmalı:
- Yeni onlar basamağı \(A+3\) bir rakam olmalıdır. \(A+3 \in \{0, 1, ..., 9\}\). Bu durumda \(A+3 \le 9 \implies A \le 6\).
- Yeni birler basamağı \(B-2\) bir rakam olmalıdır. \(B-2 \in \{0, 1, ..., 9\}\). Bu durumda \(B-2 \ge 0 \implies B \ge 2\).
- Şimdi, \(A\) ve \(B\) için yeni kısıtlamaları birleştirelim:
- \(A \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (Çünkü \(A \ne 0\) ve \(A \le 6\)).
- \(B \in \{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) (Çünkü \(B \ge 2\)).
- Bizden "Kemal'in ilk puanının rakamları toplamı (\(A+B\)) en az kaçtır?" isteniyor. \(A+B\)'nin en küçük olması için hem \(A\)'nın hem de \(B\)'nin kendi aralıklarındaki en küçük değerleri alması gerekir.
- \(A\)'nın alabileceği en küçük değer 1'dir.
- \(B\)'nin alabileceği en küçük değer 2'dir.
- Bu durumda, \(A=1\) ve \(B=2\) için rakamlar toplamı \(A+B = 1+2 = 3\) olur.
- İlk puan: 12. Onlar basamağı 3 artır: \(1+3=4\). Birler basamağı 2 azalt: \(2-2=0\). Yeni puan: 40. Puan artışı: \(40 - 12 = 28\). Bu da sorudaki bilgiyle tutarlı.
- ✅ Buna göre, Kemal'in ilk puanının rakamları toplamı en az 3'tür.
Örnek 10:
Bir sayı oyununda, üç basamaklı bir sayının yüzler basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın yerleri değiştiriliyor. Bu işlem sonucunda sayı 297 azalıyor. Sayının onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 1 fazladır. Buna göre, başlangıçtaki sayının rakamları çarpımı kaçtır?
Çözüm:
Bu problemi adım adım çözelim:
- 👉 Başlangıçtaki üç basamaklı sayımız ABC olsun. Çözümlenmiş hali: \(100A + 10B + C\).
- 📌 "Yüzler basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın yerleri değiştiriliyor." Oluşan yeni sayı CBA olur. Çözümlenmiş hali: \(100C + 10B + A\).
- 📌 "Bu işlem sonucunda sayı 297 azalıyor." Yani, orijinal sayıdan yeni sayı çıkarıldığında fark 297'dir: \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 297 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 297 \] \[ (100A - A) + (10B - 10B) + (C - 100C) = 297 \] \[ 99A - 99C = 297 \]
- Her iki tarafı 99'a bölelim: \[ A - C = 3 \]
- 📌 "Sayının onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 1 fazladır." Yani, \(B = A + 1\).
- Şimdi elimizde iki denklem var: 1) \(A - C = 3\) 2) \(B = A + 1\)
- Ayrıca, \(A, B, C\) birer rakamdır. \(A\) yüzler basamağı olduğu için \(A \ne 0\). \(C\) birler basamağı olduğu için \(C \ge 0\).
- \(A - C = 3 \implies A = C + 3\).
\(C\) en az 0 olabilir.
- Eğer \(C = 0\) ise, \(A = 0 + 3 = 3\). Bu durumda \(B = A + 1 = 3 + 1 = 4\). Sayı 340 olur. Rakamları çarpımı: \(3 \times 4 \times 0 = 0\).
- Eğer \(C = 1\) ise, \(A = 1 + 3 = 4\). Bu durumda \(B = A + 1 = 4 + 1 = 5\). Sayı 451 olur. Rakamları çarpımı: \(4 \times 5 \times 1 = 20\).
- Eğer \(C = 2\) ise, \(A = 2 + 3 = 5\). Bu durumda \(B = A + 1 = 5 + 1 = 6\). Sayı 562 olur. Rakamları çarpımı: \(5 \times 6 \times 2 = 60\).
- Eğer \(C = 3\) ise, \(A = 3 + 3 = 6\). Bu durumda \(B = A + 1 = 6 + 1 = 7\). Sayı 673 olur. Rakamları çarpımı: \(6 \times 7 \times 3 = 126\).
- Eğer \(C = 4\) ise, \(A = 4 + 3 = 7\). Bu durumda \(B = A + 1 = 7 + 1 = 8\). Sayı 784 olur. Rakamları çarpımı: \(7 \times 8 \times 4 = 224\).
- Eğer \(C = 5\) ise, \(A = 5 + 3 = 8\). Bu durumda \(B = A + 1 = 8 + 1 = 9\). Sayı 895 olur. Rakamları çarpımı: \(8 \times 9 \times 5 = 360\).
- Eğer \(C = 6\) ise, \(A = 6 + 3 = 9\). Bu durumda \(B = A + 1 = 9 + 1 = 10\). Ancak \(B\) bir rakam olmalı, 10 olamaz. Demek ki \(C\) en fazla 5 olabilir.
- Soruda tek bir "başlangıçtaki sayı" istendiği için, bu kısıtlamalar yeterli değil. "Sayı 297 azalıyor" ifadesi, \(A > C\) olduğunu zaten gösterir. "Başlangıçtaki sayının rakamları çarpımı kaçtır?" sorusu, tek bir cevap bekliyor. Eğer "rakamları farklı" gibi bir kısıtlama olsaydı, örneğin \(C=0, A=3, B=4\) için rakamlar farklı. \(C=1, A=4, B=5\) için rakamlar farklı. Bu durumda soruyu daha spesifik hale getirmeliyim.
- Şu şekilde bir kısıtlama ekleyelim: "Sayının rakamları birbirinden farklıdır." Bu, soruyu tek bir cevaba götürebilir. Veya, "başlangıçtaki sayının rakamları toplamı en büyük olan" gibi bir şey.
- En iyisi, rakamların yerini değiştirme kuralına uygun, tek bir çözüm veren bir sayı belirlemek. \(A - C = 3\) ve \(B = A + 1\). Bu durumda \(A\) ve \(C\) arasındaki fark 3, \(A\) ve \(B\) arasındaki fark 1. Örnek: \(A=3, C=0, B=4 \implies 340\). Yer değiştirince 043 = 43. Fark \(340-43 = 297\). Bu çözüm uygun. Rakamları çarpımı 0. Örnek: \(A=4, C=1, B=5 \implies 451\). Yer değiştirince 154. Fark \(451-154 = 297\). Bu da uygun. Rakamları çarpımı 20.
- Eğer soruda "en büyük başlangıçtaki sayının rakamları çarpımı" denseydi, cevap 360 olurdu. Eğer "en küçük başlangıçtaki sayının rakamları çarpımı" denseydi, cevap 0 olurdu. Ancak "başlangıçtaki sayının rakamları çarpımı kaçtır?" diyor. Bu durumda tek bir çözüm olmalı. Bu soruyu da değiştirmem gerekiyor.
- Şu şekilde bir kısıtlama ekleyelim: "Sayının yüzler basamağındaki rakam, birler basamağındaki rakamdan 3 fazladır. Onlar basamağındaki rakam ise birler basamağındaki rakamın 2 katıdır." \(A = C + 3\) \(B = 2C\) Bu durumda \(A \ne 0\). \(A,B,C\) rakam olmalı. \(C=0 \implies A=3, B=0\). Sayı 300. (Rakamlar farklı değil) \(C=1 \implies A=4, B=2\). Sayı 421. Rakamlar farklı. \(C=2 \implies A=5, B=4\). Sayı 542. Rakamlar farklı. \(C=3 \implies A=6, B=6\). Sayı 663. (Rakamlar farklı değil) \(C=4 \implies A=7, B=8\). Sayı 784. Rakamlar farklı. \(C=5 \implies A=8, B=10\). B rakam değil. Yine birden fazla çözüm var.
- Bu tür sorular genelde tek bir çözüm verecek şekilde tasarlanır. Demek ki, ilk denklemi kullanarak bir kısıtlama daha eklemeliyim. \(A-C=3\). \(B=A+1\). Bu iki koşulu ve "sayı 297 azalıyor" koşulunu sağlayan, ekstra bir kısıtlama ile tek bir sayı bulmalıyız. Örneğin: "Rakamları farklıdır ve rakamları toplamı 13'tür." \(A+B+C = 13\). \(A=C+3\), \(B=A+1 = (C+3)+1 = C+4\). Yerine koyalım: \((C+3) + (C+4) + C = 13\) \(3C + 7 = 13\) \(3C = 6 \implies C=2\). O zaman \(A=C+3 = 2+3=5\). \(B=A+1 = 5+1=6\). Sayı 562. Rakamları farklı (5, 6, 2). Toplamları \(5+6+2=13\). Yer değiştirince 265. Fark \(562-265 = 297\). Bu sayı tek ve tüm koşulları sağlıyor.
- 👉 Başlangıçtaki üç basamaklı sayımız ABC olsun. Çözümlenmiş hali: \(100A + 10B + C\).
- 📌 "Yüzler basamağındaki rakam ile birler basamağındaki rakamın yerleri değiştiriliyor." Oluşan yeni sayı CBA olur. Çözümlenmiş hali: \(100C + 10B + A\).
- 📌 "Bu işlem sonucunda sayı 297 azalıyor." Yani, orijinal sayıdan yeni sayı çıkarıldığında fark 297'dir: \[ (100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 297 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 100A + 10B + C - 100C - 10B - A = 297 \] \[ 99A - 99C = 297 \]
- Her iki tarafı 99'a bölelim: \[ A - C = 3 \]
- 📌 "Sayının onlar basamağındaki rakam, yüzler basamağındaki rakamdan 1 fazladır." Yani, \(B = A + 1\).
- 📌 "Bu sayının rakamları birbirinden farklıdır ve rakamları toplamı 13'tür." Yani, \(A \ne B\), \(A \ne C\), \(B \ne C\) ve \(A + B + C = 13\).
- Şimdi bu denklemleri birleştirelim. \(A\) ve \(B\)'yi \(C\) cinsinden yazalım: \(A = C + 3\) \(B = A + 1 \implies B = (C + 3) + 1 \implies B = C + 4\)
- Bu değerleri \(A + B + C = 13\) denkleminde yerine koyalım: \[ (C + 3) + (C + 4) + C = 13 \]
- Denklemi düzenleyelim: \[ 3C + 7 = 13 \] \[ 3C = 6 \] \[ C = 2 \]
- Şimdi \(C\) değerini kullanarak \(A\) ve \(B\)'yi bulalım:
- \(A = C + 3 = 2 + 3 = 5\).
- \(B = C + 4 = 2 + 4 = 6\).
- Buna göre, başlangıçtaki sayımız ABC = 562'dir.
- Kontrol edelim:
- Rakamları birbirinden farklı: 5, 6, 2. Evet.
- Rakamları toplamı 13: \(5+6+2 = 13\). Evet.
- Yer değiştirince 265 oluyor. Fark: \(562 - 265 = 297\). Evet.
- ✅ Son olarak, başlangıçtaki sayının rakamları çarpımı isteniyor: \[ 5 \times 6 \times 2 = 30 \times 2 = 60 \]
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-sayi-basamaklari/sorular