🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Pisagor Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Pisagor Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir dik üçgende dik kenarların uzunlukları 6 birim ve 8 birimdir. Bu üçgenin hipotenüsünün uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu soruyu çözmek için Pisagor Teoremi'ni kullanacağız. Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu belirtir.
- Adım 1: Pisagor Teoremi'nin formülünü hatırlayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \), burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür.
- Adım 2: Verilen dik kenar uzunluklarını formülde yerine koyalım: \( 6^2 + 8^2 = c^2 \).
- Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 36 + 64 = c^2 \).
- Adım 4: Toplama işlemini yapalım: \( 100 = c^2 \).
- Adım 5: Hipotenüs \( c \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{100} \).
- Adım 6: Sonucu bulalım: \( c = 10 \) birim.
Örnek 2:
Bir dik üçgende hipotenüs 13 birim ve bir dik kenar 5 birimdir. Diğer dik kenarın uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Yine Pisagor Teoremi'ni kullanarak bu soruyu çözebiliriz. Formülümüz: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 1: Formülde bilinen değerleri yerine yerleştirelim. Hipotenüs \( c = 13 \) ve bir dik kenar \( a = 5 \) olsun. Diğer dik kenarı \( b \) olarak arıyoruz.
- Adım 2: Denklemimiz şu hale gelir: \( 5^2 + b^2 = 13^2 \).
- Adım 3: Kareleri hesaplayalım: \( 25 + b^2 = 169 \).
- Adım 4: \( b^2 \)'yi yalnız bırakmak için 25'i denklemin diğer tarafına atalım: \( b^2 = 169 - 25 \).
- Adım 5: Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 144 \).
- Adım 6: \( b \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( b = \sqrt{144} \).
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( b = 12 \) birim.
Örnek 3:
Bir merdiven, 12 metre yüksekliğindeki bir duvara dayanmıştır. Merdivenin duvara değen üst ucu ile yerdeki tabanı arasındaki mesafe 5 metredir. Merdivenin uzunluğu kaç metredir? 📏
Çözüm:
Bu durum, bir dik üçgen oluşturur. Merdiven hipotenüs, duvar dik kenar ve yerdeki taban diğer dik kenar olur.
- Adım 1: Problemi bir dik üçgen olarak görselleştirelim. Dik kenarlar 12 metre (duvar yüksekliği) ve 5 metre (yerdeki mesafe) olarak verilmiş.
- Adım 2: Merdivenin uzunluğu hipotenüs olacaktır. Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 3: Değerleri yerine koyalım: \( 12^2 + 5^2 = c^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 144 + 25 = c^2 \).
- Adım 5: Toplama işlemini yapalım: \( 169 = c^2 \).
- Adım 6: \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{169} \).
- Adım 7: Sonucu bulalım: \( c = 13 \) metre.
Örnek 4:
Bir uçurtmanın ipi, yerdeki bir noktadan tutulmaktadır. Uçurtma yer seviyesinden 40 metre yüksekliktedir ve ipin gergin olduğu varsayılırsa, ipin uzunluğu 50 metredir. Uçurtmanın ipin tutulduğu noktaya olan yatay uzaklığı kaç metredir? 🪁
Çözüm:
Bu senaryo da bir dik üçgen oluşturur. Uçurtmanın yüksekliği bir dik kenar, ipin uzunluğu hipotenüs ve yatay uzaklık diğer dik kenardır.
- Adım 1: Problemi bir dik üçgen olarak modelleyelim. Yükseklik \( a = 40 \) metre, hipotenüs \( c = 50 \) metre. Aradığımız yatay uzaklık \( b \).
- Adım 2: Pisagor Teoremi formülünü kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 3: Bilinen değerleri yerine yerleştirelim: \( 40^2 + b^2 = 50^2 \).
- Adım 4: Kareleri hesaplayalım: \( 1600 + b^2 = 2500 \).
- Adım 5: \( b^2 \)'yi yalnız bırakalım: \( b^2 = 2500 - 1600 \).
- Adım 6: Çıkarma işlemini yapalım: \( b^2 = 900 \).
- Adım 7: \( b \)'yi bulmak için karekök alalım: \( b = \sqrt{900} \).
- Adım 8: Sonucu bulalım: \( b = 30 \) metre.
Örnek 5:
Bir parkın içinde, A noktasında bir bank, B noktasında bir çeşme ve C noktasında bir ağaç bulunmaktadır. A noktasından B noktasına giden yol diktir ve uzunluğu 120 metredir. B noktasından C noktasına giden yol da diktir ve uzunluğu 160 metredir. Buna göre, A noktasındaki banktan C noktasındaki ağaca kuş uçuşu (doğrudan) uzaklık kaç metredir? 🌳
Çözüm:
Bu problemde, A, B ve C noktaları bir dik üçgenin köşelerini oluşturur. AB ve BC yolları dik kenarları, AC ise hipotenüsü temsil eder.
- Adım 1: Problemi bir dik üçgen olarak düşünelim. Dik kenarlar AB ve BC'dir. AB = 120 metre ve BC = 160 metredir.
- Adım 2: Aradığımız AC uzaklığı, bu dik üçgenin hipotenüsüdür. Pisagor Teoremi'ni kullanacağız: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 3: Dik kenarları \( a = 120 \) ve \( b = 160 \) olarak alalım. Hipotenüs \( c = AC \) olacaktır.
- Adım 4: Formülde değerleri yerine koyalım: \( 120^2 + 160^2 = c^2 \).
- Adım 5: Kareleri hesaplayalım: \( 14400 + 25600 = c^2 \).
- Adım 6: Toplama işlemini yapalım: \( 40000 = c^2 \).
- Adım 7: \( c \)'yi bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \( c = \sqrt{40000} \).
- Adım 8: Sonucu bulalım: \( c = 200 \) metre.
Örnek 6:
Bir futbol sahasının eni 50 metre ve boyu 100 metredir. Saha üzerindeki bir oyuncu, bir köşeden (A noktası) başlayıp çapraz olarak karşı köşeye (C noktası) koşacaktır. Oyuncunun koştuğu mesafeyi (doğrudan mesafe) hesaplayınız. ⚽
Çözüm:
Bu durum, futbol sahasının köşegenini hesaplamayı gerektirir. Saha bir dikdörtgen olduğu için, köşegen ile kenarlar bir dik üçgen oluşturur.
- Adım 1: Futbol sahasını bir dikdörtgen olarak düşünelim. Eni 50 metre ve boyu 100 metredir.
- Adım 2: Oyuncunun koştuğu mesafe, dikdörtgenin köşegenidir. Bu köşegen, dik kenarları sahanın eni ve boyu olan bir dik üçgenin hipotenüsü olur.
- Adım 3: Dik kenarlarımız \( a = 50 \) metre ve \( b = 100 \) metredir. Hipotenüs \( c \) (koşulan mesafe) olacaktır.
- Adım 4: Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 5: Değerleri yerine koyalım: \( 50^2 + 100^2 = c^2 \).
- Adım 6: Kareleri hesaplayalım: \( 2500 + 10000 = c^2 \).
- Adım 7: Toplama işlemini yapalım: \( 12500 = c^2 \).
- Adım 8: \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{12500} \).
- Adım 9: Karekökü sadeleştirelim: \( c = \sqrt{2500 \times 5} = 50\sqrt{5} \) metre.
Örnek 7:
Bir televizyon ekranının boyutları genellikle köşegen uzunluğu ile belirtilir. Eğer bir televizyonun eni 72 cm ve yüksekliği 54 cm ise, bu televizyonun ekran boyutu (köşegen uzunluğu) kaç cm'dir? 📺
Çözüm:
Televizyon ekranının eni, yüksekliği ve köşegen uzunluğu bir dik üçgen oluşturur. Köşegen, hipotenüs olur.
- Adım 1: Televizyon ekranını bir dikdörtgen olarak düşünelim. Eni \( a = 72 \) cm ve yüksekliği \( b = 54 \) cm'dir.
- Adım 2: Ekran boyutu olarak belirtilen köşegen uzunluğu \( c \) olacaktır.
- Adım 3: Pisagor Teoremi'ni kullanalım: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
- Adım 4: Değerleri yerine koyalım: \( 72^2 + 54^2 = c^2 \).
- Adım 5: Kareleri hesaplayalım: \( 5184 + 2916 = c^2 \).
- Adım 6: Toplama işlemini yapalım: \( 8100 = c^2 \).
- Adım 7: \( c \)'yi bulmak için karekök alalım: \( c = \sqrt{8100} \).
- Adım 8: Sonucu bulalım: \( c = 90 \) cm.
Örnek 8:
Bir harita üzerinde, A şehri ile B şehri arasındaki kuş uçuşu mesafe 15 cm'dir. Haritada 1 cm, gerçekte 20 km'ye karşılık gelmektedir. A şehri ile B şehri arasındaki gerçek kuş uçuşu mesafe kaç kilometredir? 🗺️
Çözüm:
Bu soru, ölçekli bir harita üzerinde mesafe hesaplama örneğidir ve Pisagor Teoremi ile doğrudan ilgili olmasa da, birim dönüşümünü anlamak için iyi bir örnektir. Ancak, eğer harita üzerinde A ve B şehirlerinin konumları bir dik üçgenin kenarları olarak verilseydi, Pisagor Teoremi kullanılabilirdi. Bu örnekte doğrudan birim dönüşümü yapılmıştır.
- Adım 1: Harita üzerindeki mesafeyi ve ölçeği belirleyelim. Harita mesafesi = 15 cm. Ölçek = 1 cm : 20 km.
- Adım 2: Gerçek mesafeyi bulmak için harita üzerindeki mesafeyi ölçekle çarpalım.
- Adım 3: Gerçek Mesafe = Harita Mesafesi \( \times \) Ölçek Faktörü.
- Adım 4: Gerçek Mesafe = 15 cm \( \times \) 20 km/cm.
- Adım 5: Çarpma işlemini yapalım: Gerçek Mesafe = 300 km.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-pisagor/sorular