💡 11. Sınıf Matematik: Paralel Kenar Çözümlü Örnekler

• ✅ Paralelkenarda karşılıklı açılar eşittir. Bu nedenle, A açısının karşısındaki C açısının ölçüsü de \( 70^\circ \) olacaktır.
• \[ \angle \text{A} = \angle \text{C} = 70^\circ \]
• ✅ Paralelkenarda ardışık (komşu) açılar bütünlerdir (toplamları \( 180^\circ \) dir). Bu durumda, A açısının komşusu olan B açısının ölçüsü \( 180^\circ - 70^\circ \) olacaktır.
• \[ \angle \text{B} = 180^\circ - \angle \text{A} = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ \]
• ✅ B açısının karşısındaki D açısının ölçüsü de B açısına eşit olacaktır.
• \[ \angle \text{D} = \angle \text{B} = 110^\circ \]

Yani, paralelkenarın açıları sırasıyla \( 70^\circ, 110^\circ, 70^\circ, 110^\circ \) dir. 🥳

• ✅ Paralelkenarda karşılıklı kenarların uzunlukları eşittir.
• Bu durumda, AB kenarının karşısındaki DC kenarının uzunluğu da \( 10 \text{ cm} \) olacaktır: \( \text{DC} = \text{AB} = 10 \text{ cm} \).
• BC kenarının karşısındaki AD kenarının uzunluğu da \( 6 \text{ cm} \) olacaktır: \( \text{AD} = \text{BC} = 6 \text{ cm} \).
• ✅ Paralelkenarın çevre formülü, iki farklı kenar uzunluğunun toplamının 2 katıdır.
• Çevre = \( 2 \times (\text{AB} + \text{BC}) \)
• Çevre = \( 2 \times (10 \text{ cm} + 6 \text{ cm}) \)
• Çevre = \( 2 \times 16 \text{ cm} \)
• Çevre = \( 32 \text{ cm} \)

Paralelkenarın çevresi \( 32 \text{ cm} \) dir. ✨

• ✅ Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Bu, köşegenlerin kesişim noktasının, her bir köşegeni iki eşit parçaya böldüğü anlamına gelir.
• Dolayısıyla, AE ve EC uzunlukları birbirine eşit olmalıdır.
• \[ \text{AE} = \text{EC} \]
• Denklemi kuralım ve \( x \) değerini bulalım:
• \[ 3x + 2 = 5x - 4 \]
• Her iki taraftan \( 3x \) çıkaralım:
• \[ 2 = 2x - 4 \]
• Her iki tarafa \( 4 \) ekleyelim:
• \[ 6 = 2x \]
• Her iki tarafı \( 2 \)ye bölelim:
• \[ x = 3 \]
• Şimdi AC köşegeninin toplam uzunluğunu bulmak için \( x \) değerini kullanarak AE veya EC uzunluğunu hesaplayalım. AE'yi kullanalım:
• \[ \text{AE} = 3x + 2 = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11 \text{ birim} \]
• EC'yi de kontrol edelim: \( \text{EC} = 5x - 4 = 5(3) - 4 = 15 - 4 = 11 \text{ birim} \). Doğru!
• AC köşegeninin toplam uzunluğu, AE ve EC parçalarının toplamıdır:
• \[ \text{AC} = \text{AE} + \text{EC} = 11 + 11 = 22 \text{ birim} \]

AC köşegeninin toplam uzunluğu \( 22 \text{ birim} \)dir. 🤩

• ✅ Paralelkenarın alanı, bir kenar uzunluğu ile o kenara ait yüksekliğin çarpımına eşittir.
• Alan = Taban \( \times \) Yükseklik
• Verilenler:
• Taban (AB kenarı) = \( 15 \text{ cm} \)
• Yükseklik (AB kenarına ait) = \( 8 \text{ cm} \)
• Formülü uygulayalım:
• \[ \text{Alan} = 15 \text{ cm} \times 8 \text{ cm} \]
• \[ \text{Alan} = 120 \text{ cm}^2 \]

Paralelkenarın alanı \( 120 \text{ cm}^2 \) dir. 📏

• ✅ Paralelkenarın alanı, iki kenarının uzunlukları ile bu kenarlar arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
• Alan = \( \text{a} \cdot \text{b} \cdot \sin(\alpha) \)
• Verilenler:
• Kenar a (AB) = \( 12 \text{ cm} \)
• Kenar b (AD) = \( 10 \text{ cm} \)
• Açı \( \alpha \) (A açısı) = \( 45^\circ \)
• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• Formülü uygulayalım:
• \[ \text{Alan} = 12 \text{ cm} \times 10 \text{ cm} \times \sin(45^\circ) \]
• \[ \text{Alan} = 120 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
• \[ \text{Alan} = 60\sqrt{2} \text{ cm}^2 \]

Paralelkenarın alanı \( 60\sqrt{2} \text{ cm}^2 \) dir. ✨

• ✅ Öncelikle, paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan, \( \text{DC} = \text{AB} = 12 \text{ cm} \) ve \( \text{BC} = \text{AD} = 8 \text{ cm} \) dir.
• ✅ A köşesinden DC kenarına indirilen yüksekliğin ayağı H ise, ADH üçgeni bir dik üçgendir (\( \angle \text{AHD} = 90^\circ \)).
• Bu dik üçgende, AD hipotenüs (uzunluğu \( 8 \text{ cm} \)) ve DH bir dik kenar (uzunluğu \( 3 \text{ cm} \))dır. AH ise diğer dik kenardır ve aynı zamanda paralelkenarın yüksekliğidir.
• Pisagor Teoremi'ni uygulayarak AH yüksekliğini bulalım: \( (\text{AH})^2 + (\text{DH})^2 = (\text{AD})^2 \)
• \[ \text{AH}^2 + 3^2 = 8^2 \]
• \[ \text{AH}^2 + 9 = 64 \]
• \[ \text{AH}^2 = 64 - 9 \]
• \[ \text{AH}^2 = 55 \]
• \[ \text{AH} = \sqrt{55} \text{ cm} \]
• ✅ Şimdi paralelkenarın alanını hesaplayabiliriz. Alan = Taban \( \times \) Yükseklik. Taban olarak DC kenarını ve yükseklik olarak AH'yi kullanabiliriz.
• \[ \text{Alan} = \text{DC} \times \text{AH} \]
• \[ \text{Alan} = 12 \text{ cm} \times \sqrt{55} \text{ cm} \]
• \[ \text{Alan} = 12\sqrt{55} \text{ cm}^2 \]

Paralelkenarın alanı \( 12\sqrt{55} \text{ cm}^2 \) dir. 💪

• ✅ Öncelikle büyük paralelkenarın (ABCD) alanını bulalım:
• Alan = \( \text{AB} \cdot \text{AD} \cdot \sin(\angle \text{A}) \)
• \[ \text{Alan(ABCD)} = 24 \text{ m} \cdot 15 \text{ m} \cdot \sin(30^\circ) \]
• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \) olduğundan,
• \[ \text{Alan(ABCD)} = 24 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 12 \cdot 15 = 180 \text{ m}^2 \]
• ✅ E noktasından AD kenarına paralel çekilen çizgi, DC kenarı üzerinde bir F noktası oluşturur. Bu durumda AEFD dörtgeni de bir paralelkenar olacaktır.
• Bu küçük paralelkenarın kenar uzunlukları:
• AE kenarı = \( 8 \text{ metre} \) (soruda verilmiş)
• AD kenarı = \( 15 \text{ metre} \) (orijinal paralelkenardan)
• A açısı da aynı kalır, yani \( 30^\circ \).
• ✅ Şimdi bu küçük paralelkenarın (AEFD) alanını hesaplayalım:
• Alan = \( \text{AE} \cdot \text{AD} \cdot \sin(\angle \text{A}) \)
• \[ \text{Alan(AEFD)} = 8 \text{ m} \cdot 15 \text{ m} \cdot \sin(30^\circ) \]
• \[ \text{Alan(AEFD)} = 8 \cdot 15 \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 15 = 60 \text{ m}^2 \]

Yolun ayırdığı küçük paralelkenar bölgenin alanı \( 60 \text{ m}^2 \) dir. 🌾

• ✅ Çevre Uzunluğu Hesaplaması:
• Paralelkenarın karşılıklı kenarları eşit olduğundan, çevre formülü \( 2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar}) \) şeklindedir.
• Çevre = \( 2 \times (14 \text{ m} + 9 \text{ m}) \)
• Çevre = \( 2 \times 23 \text{ m} \)
• \[ \text{Çevre} = 46 \text{ metre} \]
• ✅ Yüzey Alanı Hesaplaması:
• İki kenar uzunluğu ve aralarındaki açının sinüsü bilindiğinde alan formülü kullanılır: Alan = \( \text{a} \cdot \text{b} \cdot \sin(\alpha) \).
• Verilenler:
• Kenar a = \( 14 \text{ metre} \)
• Kenar b = \( 9 \text{ metre} \)
• Açı \( \alpha \) = \( 150^\circ \)
• \( \sin(150^\circ) = \frac{1}{2} \)
• Formülü uygulayalım:
• \[ \text{Alan} = 14 \text{ m} \times 9 \text{ m} \times \sin(150^\circ) \]
• \[ \text{Alan} = 14 \times 9 \times \frac{1}{2} \]
• \[ \text{Alan} = 7 \times 9 = 63 \text{ m}^2 \]

Çatının çevre uzunluğu \( 46 \text{ metre} \), kaplanması gereken yüzey alanı ise \( 63 \text{ m}^2 \) dir. 🏡