🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Parabol Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Parabol Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Parabolün Temel Özellikleri
Aşağıdaki ikinci dereceden fonksiyonun parabolünü inceleyelim: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) Bu parabolün kollarının yönünü ve y-eksenini kestiği noktayı bulunuz. 💡
Aşağıdaki ikinci dereceden fonksiyonun parabolünü inceleyelim: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) Bu parabolün kollarının yönünü ve y-eksenini kestiği noktayı bulunuz. 💡
Çözüm:
Bu parabolün temel özelliklerini adım adım inceleyelim:
- Kolların Yönü:
👉 İkinci dereceden bir fonksiyon olan \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindeki bir parabolde, \(a\) katsayısı kolların yönünü belirler.
Bu örnekte, \(a = 1\) (çünkü \(x^2\) teriminin katsayısı 1'dir).
✅ \(a > 0\) olduğundan, parabolün kolları yukarı yönlüdür. - Y-eksenini Kestiği Nokta:
👉 Bir fonksiyonun y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) değerini fonksiyonda yerine koyarız.
\( f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 \)
\( f(0) = 0 - 0 + 3 \)
\( f(0) = 3 \)
✅ Parabol y-eksenini \( (0, 3) \) noktasında keser. Bu nokta aynı zamanda \(c\) sabit terimidir.
Örnek 2:
Tepe Noktası ve Simetri Ekseni
\( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) parabolünün tepe noktası koordinatlarını ve simetri ekseni denklemini bulunuz. 📌
\( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) parabolünün tepe noktası koordinatlarını ve simetri ekseni denklemini bulunuz. 📌
Çözüm:
Parabolün tepe noktası ve simetri eksenini bulalım:
- Tepe Noktası Koordinatları \(R(r, k)\):
👉 Bir parabolün tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülüyle bulunur.
Verilen fonksiyon \( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) için \(a = -1\), \(b = 6\) ve \(c = -5\)'tir.
\( r = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \)
👉 Tepe noktasının ordinatı \(k\), \(f(r)\) değeriyle bulunur.
\( k = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 \)
\( k = -9 + 18 - 5 \)
\( k = 4 \)
✅ Parabolün tepe noktası \( R(3, 4) \)'tür. - Simetri Ekseni Denklemi:
👉 Parabolün simetri ekseni, tepe noktasının apsisinden geçen düşey doğrudur.
✅ Simetri ekseni denklemi \( x = 3 \)'tür.
Örnek 3:
X-eksenini Kesen Noktalar
\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) parabolünün x-eksenini kestiği noktaları bulunuz. Eğer kesmiyorsa veya teğet ise durumu açıklayınız. 🤔
\( f(x) = x^2 - 5x + 6 \) parabolünün x-eksenini kestiği noktaları bulunuz. Eğer kesmiyorsa veya teğet ise durumu açıklayınız. 🤔
Çözüm:
Parabolün x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemini çözmeliyiz:
- Denklemi Çözme:
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
👉 Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz.
Çarpımları 6, toplamları -5 olan iki sayı -2 ve -3'tür.
\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
Buradan iki farklı kök elde ederiz:
\( x - 2 = 0 \implies x_1 = 2 \)
\( x - 3 = 0 \implies x_2 = 3 \)
✅ Parabol x-eksenini \( (2, 0) \) ve \( (3, 0) \) noktalarında keser. - Diskriminant (\(\Delta\)) ile Kontrol:
👉 Diskriminant \( \Delta = b^2 - 4ac \) ile de köklerin varlığını kontrol edebiliriz.
Burada \(a=1\), \(b=-5\), \(c=6\).
\( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) \)
\( \Delta = 25 - 24 \)
\( \Delta = 1 \)
✅ \( \Delta > 0 \) olduğu için parabol x-eksenini iki farklı noktada keser. Bu da bulduğumuz kökleri doğrular.
Örnek 4:
Minimum/Maksimum Değer
Bir şirket, ürettiği bir ürünün satışından elde ettiği karı \( K(x) = -2x^2 + 16x - 25 \) fonksiyonu ile modellemektedir. Burada \(x\) üretilen ürün miktarını (bin adet), \(K(x)\) ise karı (bin TL) göstermektedir.
Bu şirketin elde edebileceği maksimum karı ve bu karı elde etmek için üretilmesi gereken ürün miktarını bulunuz. 💰
Bir şirket, ürettiği bir ürünün satışından elde ettiği karı \( K(x) = -2x^2 + 16x - 25 \) fonksiyonu ile modellemektedir. Burada \(x\) üretilen ürün miktarını (bin adet), \(K(x)\) ise karı (bin TL) göstermektedir.
Bu şirketin elde edebileceği maksimum karı ve bu karı elde etmek için üretilmesi gereken ürün miktarını bulunuz. 💰
Çözüm:
Kar fonksiyonu bir paraboldür ve kollar aşağı yönlü olduğu için (çünkü \(a = -2 < 0\)) bir maksimum değere sahiptir. Maksimum kar tepe noktasında elde edilir.
- Ürün Miktarı (Tepe Noktası Apsisi):
👉 Maksimum karı elde etmek için üretilmesi gereken ürün miktarı, tepe noktasının apsisi \(r\) ile bulunur.
\( r = -\frac{b}{2a} \)
Verilen \( K(x) = -2x^2 + 16x - 25 \) fonksiyonu için \(a = -2\) ve \(b = 16\)'dır.
\( r = -\frac{16}{2(-2)} = -\frac{16}{-4} = 4 \)
✅ Şirket 4 bin adet ürün üretmelidir. - Maksimum Kar (Tepe Noktası Ordinatı):
👉 Maksimum kar, tepe noktasının ordinatı \(k = K(r)\) ile bulunur.
\( k = K(4) = -2(4)^2 + 16(4) - 25 \)
\( k = -2(16) + 64 - 25 \)
\( k = -32 + 64 - 25 \)
\( k = 32 - 25 \)
\( k = 7 \)
✅ Şirketin elde edebileceği maksimum kar 7 bin TL'dir.
Örnek 5:
Parabol Denklemi Yazma
Tepe noktası \( R(1, -2) \) olan ve \( (0, -1) \) noktasından geçen parabolün denklemini yazınız. ✍️
Tepe noktası \( R(1, -2) \) olan ve \( (0, -1) \) noktasından geçen parabolün denklemini yazınız. ✍️
Çözüm:
Tepe noktası bilinen parabol denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklinde yazılır. Burada \(R(r, k)\) tepe noktasıdır.
- Tepe Noktası Bilgilerini Yerine Koyma:
👉 Verilen tepe noktası \(R(1, -2)\) olduğu için \(r = 1\) ve \(k = -2\)'dir.
Denklemimiz şu hali alır: \( f(x) = a(x - 1)^2 - 2 \) - Geçtiği Noktayı Kullanarak \(a\) Katsayısını Bulma:
👉 Parabolün \( (0, -1) \) noktasından geçtiği bilgisi verilmiş. Bu, \(x = 0\) iken \(f(x) = -1\) demektir.
Denklemde bu değerleri yerine koyalım:
\( -1 = a(0 - 1)^2 - 2 \)
\( -1 = a(-1)^2 - 2 \)
\( -1 = a(1) - 2 \)
\( -1 = a - 2 \)
\( a = -1 + 2 \)
\( a = 1 \)
- Parabol Denklemini Oluşturma:
👉 Bulduğumuz \(a = 1\) değerini yerine koyarak parabolün denklemini yazalım:
\( f(x) = 1(x - 1)^2 - 2 \)
İfadeyi açarsak:
\( f(x) = (x^2 - 2x + 1) - 2 \)
✅ Parabolün denklemi \( f(x) = x^2 - 2x - 1 \)'dir.
Örnek 6:
Parabol ve Doğrunun Kesim Noktaları
\( y = x^2 - 3x + 2 \) parabolü ile \( y = x - 1 \) doğrusunun kesim noktalarını bulunuz. intersecting_curves
\( y = x^2 - 3x + 2 \) parabolü ile \( y = x - 1 \) doğrusunun kesim noktalarını bulunuz. intersecting_curves
Çözüm:
Parabol ve doğrunun kesim noktalarını bulmak için denklemleri birbirine eşitleyerek ortak çözüm yaparız:
- Denklemleri Eşitleme:
👉 \( x^2 - 3x + 2 = x - 1 \)
Tüm terimleri bir tarafta toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
\( x^2 - 3x - x + 2 + 1 = 0 \)
\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
- Denklemi Çözme:
👉 Bu denklemi çarpanlara ayırarak çözebiliriz.
Çarpımları 3, toplamları -4 olan sayılar -1 ve -3'tür.
\( (x - 1)(x - 3) = 0 \)
Buradan \(x\) değerleri:
\( x_1 = 1 \)
\( x_2 = 3 \)
- Y-koordinatlarını Bulma:
👉 Bulduğumuz \(x\) değerlerini doğrunun denkleminde (\(y = x - 1\)) yerine koyarak y-koordinatlarını bulalım:
\( x_1 = 1 \) için: \( y_1 = 1 - 1 = 0 \)
\( x_2 = 3 \) için: \( y_2 = 3 - 1 = 2 \)
✅ Parabol ve doğrunun kesim noktaları \( (1, 0) \) ve \( (3, 2) \)'dir.
Örnek 7:
Tünel Kemerinin Şekli
Bir tünelin girişi, parabolik bir kemer şeklinde tasarlanmıştır. Tünelin taban genişliği 10 metre ve en yüksek noktası (tepe noktası) yerden 6 metre yüksekliktedir. Tünelin tabanının orta noktası orijin kabul edildiğinde, bu parabolik kemeri temsil eden fonksiyonu bulunuz. 🌉
Bir tünelin girişi, parabolik bir kemer şeklinde tasarlanmıştır. Tünelin taban genişliği 10 metre ve en yüksek noktası (tepe noktası) yerden 6 metre yüksekliktedir. Tünelin tabanının orta noktası orijin kabul edildiğinde, bu parabolik kemeri temsil eden fonksiyonu bulunuz. 🌉
Çözüm:
Tünel kemerinin parabolik şeklini modelleyelim:
- Koordinat Sistemini Belirleme:
👉 Tünel tabanının orta noktası orijin \( (0, 0) \) olarak kabul edildiği için, tepe noktası y-ekseni üzerinde olacaktır.
Tünel en yüksek noktası 6 metre dediği için tepe noktası \( R(0, 6) \) olur. - X-eksenini Kestiği Noktalar:
👉 Taban genişliği 10 metre ve orta nokta orijin olduğuna göre, parabol x-eksenini \( (-5, 0) \) ve \( (5, 0) \) noktalarında keser. - Parabol Denklemini Yazma:
👉 Tepe noktası \(R(r, k)\) bilinen parabol denklemi \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklindedir.
\( r = 0 \) ve \( k = 6 \) olduğundan denklem: \( f(x) = a(x - 0)^2 + 6 \implies f(x) = ax^2 + 6 \). - \(a\) Katsayısını Bulma:
👉 Parabolün \( (5, 0) \) noktasından (veya \( (-5, 0) \)) geçtiğini biliyoruz. Bu noktayı denklemde yerine koyalım:
\( 0 = a(5)^2 + 6 \)
\( 0 = 25a + 6 \)
\( 25a = -6 \)
\( a = -\frac{6}{25} \)
- Fonksiyonu Oluşturma:
👉 Bulduğumuz \(a\) değerini yerine koyarak tünel kemerini temsil eden fonksiyonu yazalım:
✅ Fonksiyon \( f(x) = -\frac{6}{25}x^2 + 6 \)'dır.
Örnek 8:
Bir Topun Yörüngesi
Bir futbolcu, topa vurduğunda topun yerden yüksekliği \( h(t) = -t^2 + 4t \) fonksiyonu ile modellenmektedir. Burada \(t\) saniye cinsinden zamanı, \(h(t)\) ise metre cinsinden topun yerden yüksekliğini göstermektedir.
Topun en fazla kaç metre yüksekliğe çıktığını ve bu yüksekliğe kaç saniyede ulaştığını bulunuz. ⚽
Bir futbolcu, topa vurduğunda topun yerden yüksekliği \( h(t) = -t^2 + 4t \) fonksiyonu ile modellenmektedir. Burada \(t\) saniye cinsinden zamanı, \(h(t)\) ise metre cinsinden topun yerden yüksekliğini göstermektedir.
Topun en fazla kaç metre yüksekliğe çıktığını ve bu yüksekliğe kaç saniyede ulaştığını bulunuz. ⚽
Çözüm:
Topun yüksekliğini modelleyen fonksiyon bir paraboldür. \(a = -1 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağı yönlüdür ve bir maksimum değere sahiptir. Bu maksimum değer, topun ulaştığı en yüksek noktadır.
- En Yüksek Noktaya Ulaşma Süresi (Tepe Noktası Apsisi):
👉 Topun en yüksek noktaya ulaştığı zaman \(t\), tepe noktasının apsisi \(r\) ile bulunur.
\( r = -\frac{b}{2a} \)
Verilen \( h(t) = -t^2 + 4t \) fonksiyonu için \(a = -1\) ve \(b = 4\)'tür.
\( r = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \)
✅ Top en yüksek noktaya 2 saniyede ulaşır. - Topun Ulaştığı Maksimum Yükseklik (Tepe Noktası Ordinatı):
👉 Topun ulaştığı maksimum yükseklik, tepe noktasının ordinatı \(k = h(r)\) ile bulunur.
\( k = h(2) = -(2)^2 + 4(2) \)
\( k = -4 + 8 \)
\( k = 4 \)
✅ Topun ulaştığı maksimum yükseklik 4 metredir.
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-parabol/sorular