📄 11. Sınıf Matematik: Parabol Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Tepe noktasının apsisi \(r = -b/(2a)\) formülüyle bulunur. Verilen denklemde \(a=1\), \(b=-2\) ve \(c=-3\) olduğundan:
\(r = -(-2)/(2 \times 1) = 2/2 = 1\).
Tepe noktasının ordinatı \(k = f(r)\) ile bulunur:
\(k = f(1) = 1^2 - 2(1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4\).
Dolayısıyla tepe noktası \(T(1, -4)\) olarak bulunur.

\(x\)-eksenini kestiği noktaları bulmak için \(y = 0\) denklemini çözeriz:
\(x^2 - 2x - 3 = 0\)
Bu denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz:
\((x - 3)(x + 1) = 0\)
Buradan \(x - 3 = 0 \implies x_1 = 3\) ve \(x + 1 = 0 \implies x_2 = -1\) bulunur.
Parabolün \(x\)-eksenini kestiği noktalar \((3, 0)\) ve \((-1, 0)\) şeklindedir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen parabolde \(a = -1\) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Bu durumda parabolün alabileceği en büyük değer, tepe noktasının ordinatıdır (\(k\)). Bize bu değerin 7 olduğu verilmiştir, yani \(k = 7\).

Öncelikle tepe noktasının apsisini (\(r\)) bulalım:
\(r = -b/(2a)\). Burada \(a=-1\) ve \(b=4\) olduğundan:
\(r = -4/(2 \times (-1)) = -4/(-2) = 2\).

Tepe noktasının ordinatı \(f(r)\) olduğu için \(f(2) = 7\) olmalıdır:
\(f(2) = -(2)^2 + 4(2) + c = 7\)
\(-4 + 8 + c = 7\)
\(4 + c = 7\)
\(c = 7 - 4\)
\(c = 3\).

💡 Çözüm Adımları:

Parabol \(x\)-eksenini \((1, 0)\) ve \((4, 0)\) noktalarında kestiği için, parabol denklemi \(y = a(x - x_1)(x - x_2)\) şeklinde yazılabilir. Burada \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 4\) olduğundan:
\(y = a(x - 1)(x - 4)\)

Parabolün \(y\)-eksenini \((0, 8)\) noktasında kestiği bilgisi, \(x = 0\) iken \(y = 8\) olduğunu gösterir. Bu değeri denklemde yerine koyarak \(a\) katsayısını bulabiliriz:
\(8 = a(0 - 1)(0 - 4)\)
\(8 = a(-1)(-4)\)
\(8 = 4a\)
\(a = 8/4\)
\(a = 2\)

Şimdi \(a\) değerini parabol denkleminde yerine yazalım:
\(y = 2(x - 1)(x - 4)\)
Denklemi açarak standart formata getirelim:
\(y = 2(x^2 - 4x - x + 4)\)
\(y = 2(x^2 - 5x + 4)\)
\(y = 2x^2 - 10x + 8\)
Bu parabolün denklemi \(y = 2x^2 - 10x + 8\) olarak bulunur.