💡 11. Sınıf Matematik: Noktanın doğruya uzaklığı Çözümlü Örnekler

Noktanın doğruya uzaklığı formülü kullanılacaktır: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Burada \( (x_0, y_0) \) nokta koordinatları ve \( ax + by + c = 0 \) doğru denklemidir.

• Verilen nokta \( A(x_0, y_0) = (3, 4) \).
• Verilen doğru denklemi \( 3x + 4y - 10 = 0 \), bu durumda \( a=3 \), \( b=4 \), \( c=-10 \).
• Formülde yerine koyalım:

\[ d = \frac{|3(3) + 4(4) - 10|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|9 + 16 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{|15|}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{15}{5} \] \[ d = 3 \] Noktanın doğruya uzaklığı 3 birimdir. ✅

Noktanın doğruya uzaklığı formülünü kullanacağız. \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

• Noktamız orijin, yani \( (x_0, y_0) = (0, 0) \).
• Doğru denklemimiz \( 5x - 12y + 26 = 0 \), bu durumda \( a=5 \), \( b=-12 \), \( c=26 \).
• Formülde değerleri yerine yazalım:

\[ d = \frac{|5(0) - 12(0) + 26|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \] \[ d = \frac{|0 - 0 + 26|}{\sqrt{25 + 144}} \] \[ d = \frac{|26|}{\sqrt{169}} \] \[ d = \frac{26}{13} \] \[ d = 2 \] Orijin noktasının doğruya uzaklığı 2 birimdir. 💯

Öncelikle, \( x - y + 5 = 0 \) doğrusuna paralel olan bir doğrunun eğimi aynıdır. Bu doğrunun eğimi \( m = -\frac{1}{-1} = 1 \) olur. Paralel doğrunun denklemi genel olarak \( x - y + c = 0 \) şeklinde olacaktır.

• Doğru \( P(2, -1) \) noktasından geçtiği için, bu noktayı denklemde yerine koyarak \( c \) değerini bulalım:

\( 2 - (-1) + c = 0 \) \( 2 + 1 + c = 0 \) \( 3 + c = 0 \) \( c = -3 \) Yeni doğrunun denklemi \( x - y - 3 = 0 \)'dır. Şimdi bu doğrunun orijine \( (0, 0) \) olan uzaklığını hesaplayalım: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Burada \( a=1 \), \( b=-1 \), \( c=-3 \) ve \( (x_0, y_0) = (0, 0) \). \[ d = \frac{|1(0) - 1(0) - 3|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \] \[ d = \frac{|-3|}{\sqrt{1 + 1}} \] \[ d = \frac{3}{\sqrt{2}} \] Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile genişletirsek: \[ d = \frac{3\sqrt{2}}{2} \] Yeni doğrunun orijine uzaklığı \( \frac{3\sqrt{2}}{2} \) birimdir. ✨

Bu soruda, bir doğru üzerindeki noktanın başka bir doğruya olan en kısa uzaklığını bulmamız gerekiyor. Bu, iki doğru arasındaki en kısa uzaklık problemine benzer, ancak bir doğru üzerindeki nokta için geçerli.

• Öncelikle, verilen doğruların eğimlerini inceleyelim:
• Doğru 1: \( 2x + y - 5 = 0 \implies y = -2x + 5 \). Eğimi \( m_1 = -2 \).
• Doğru 2: \( x + 2y + 1 = 0 \implies 2y = -x - 1 \implies y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2} \). Eğimi \( m_2 = -\frac{1}{2} \).
• Doğruların eğimleri farklı olduğu için kesişirler. Bir doğru üzerindeki noktanın başka bir doğruya olan uzaklığının minimum olması için, bu uzaklık, noktanın doğruya olan dik uzaklığı olmalıdır.
• Eğer doğrular paralel olsaydı, aralarındaki sabit uzaklık minimum uzaklık olurdu. Ancak burada doğrular kesiştiği için, \( P \) noktasının \( x + 2y + 1 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı minimum olduğunda, \( P \) noktası iki doğrunun kesişim noktası olmalıdır.

Şimdi iki doğrunun kesişim noktasını bulalım: 1. \( 2x + y - 5 = 0 \implies y = 5 - 2x \) 2. \( x + 2y + 1 = 0 \) İkinci denklemde \( y \) yerine \( 5 - 2x \) yazalım: \( x + 2(5 - 2x) + 1 = 0 \) \( x + 10 - 4x + 1 = 0 \) \( -3x + 11 = 0 \) \( 3x = 11 \) \( x = \frac{11}{3} \) Şimdi \( y \) değerini bulalım: \( y = 5 - 2x = 5 - 2\left(\frac{11}{3}\right) = 5 - \frac{22}{3} = \frac{15 - 22}{3} = -\frac{7}{3} \) Kesişim noktası \( P\left(\frac{11}{3}, -\frac{7}{3}\right) \)'dir. Bu \( P \) noktasının \( x + 2y + 1 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı sıfır olacağından, bu uzaklık minimumdur. Ancak soru, \( P \) noktasının \( x + 2y + 1 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığının en az kaç olabileceğini soruyor. Bu durumda, \( P \) noktasının \( x + 2y + 1 = 0 \) doğrusuna olan uzaklığı sıfır olabilir. Eğer soru "iki doğru arasındaki en kısa uzaklık" olsaydı, bu farklı bir hesaplama gerektirirdi. Fakat burada "doğru üzerindeki bir noktanın başka bir doğruya uzaklığı en az kaç olur?" soruluyor. Eğer doğru üzerindeki bir nokta, diğer doğru üzerinde de ise uzaklık 0 olur. Ancak, eğer soru "iki doğru arasındaki en kısa uzaklık" olarak yorumlanırsa ve doğrular kesişiyorsa, bu uzaklık 0'dır. Eğer doğrular paralel olsaydı, aralarındaki uzaklık hesaplanırdı. Sorunun ifadesi "noktanın doğruya uzaklığı" olduğu için ve nokta doğru üzerinde seçilebildiği için, minimum uzaklık 0'dır. Eğer soru şu şekilde olsaydı: " \( 2x + y - 5 = 0 \) doğrusuna paralel ve \( x + 2y + 1 = 0 \) doğrusuna en yakın olan noktanın uzaklığı?", o zaman farklı bir çözüm olurdu. Verilen haliyle, \( P \) noktasının \( x + 2y + 1 = 0 \) doğrusuna uzaklığı en az 0 birim olabilir. 🎯

Bu senaryoda, robotun konumu, kontrol merkezine olan uzaklığı ve güvenlik duvarına olan uzaklığı hesaplanacaktır.

• Robotun konumu \( P(x_0, y_0) = (1, 2) \).
• Ana kontrol merkezinin konumu \( C(5, 10) \).
• Güvenlik duvarının denklemi \( 3x + 4y - 50 = 0 \).

1. Robotun Ana Kontrol Merkezine Olan Uzaklığı: İki nokta arasındaki uzaklık formülü kullanılır: \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \) \[ d_{kontrol} = \sqrt{(5 - 1)^2 + (10 - 2)^2} \] \[ d_{kontrol} = \sqrt{4^2 + 8^2} \] \[ d_{kontrol} = \sqrt{16 + 64} \] \[ d_{kontrol} = \sqrt{80} \] \[ d_{kontrol} = \sqrt{16 \times 5} \] \[ d_{kontrol} = 4\sqrt{5} \] Robotun ana kontrol merkezine olan uzaklığı \( 4\sqrt{5} \) birimdir. 2. Robotun Güvenlik Duvarına Olan Uzaklığı: Noktanın doğruya uzaklığı formülü kullanılır: \( d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \) Burada \( (x_0, y_0) = (1, 2) \) ve doğru denklemi \( 3x + 4y - 50 = 0 \) olduğundan \( a=3 \), \( b=4 \), \( c=-50 \). \[ d_{duvar} = \frac{|3(1) + 4(2) - 50|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d_{duvar} = \frac{|3 + 8 - 50|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d_{duvar} = \frac{|11 - 50|}{\sqrt{25}} \] \[ d_{duvar} = \frac{|-39|}{5} \] \[ d_{duvar} = \frac{39}{5} \] Robotun güvenlik duvarına olan uzaklığı \( \frac{39}{5} \) birimdir. Karşılaştırma: \( 4\sqrt{5} \approx 4 \times 2.236 = 8.944 \) birim. \( \frac{39}{5} = 7.8 \) birim. Robotun kontrol merkezine olan uzaklığı (yaklaşık 8.944 birim), güvenlik duvarına olan uzaklığından (7.8 birim) daha fazladır. Bu durumda robot güvenlik duvarına daha yakındır. ⚠️

Bir doğrunun \( x \) eksenine olan uzaklığı, o doğrunun \( y \) koordinatlarının mutlak değeridir. Ancak, \( y = 2x + 1 \) doğrusu sabit bir uzaklıkta değildir; \( x \) değerine göre \( y \) değeri değişir. Bu tür bir soruda genellikle kastedilen, doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın \( x \) eksenine olan uzaklığıdır. \( x \) eksenini kestiği noktada \( y = 0 \) olur. \( 0 = 2x + 1 \) \( -1 = 2x \) \( x = -\frac{1}{2} \) Bu nokta \( (-\frac{1}{2}, 0) \) olur. Bu noktanın \( x \) eksenine uzaklığı 0'dır. Eğer soru, doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktanın \( x \) eksenine olan uzaklığı ise: Doğrunun \( y \) eksenini kestiği noktada \( x = 0 \) olur. \( y = 2(0) + 1 \) \( y = 1 \) Bu nokta \( (0, 1) \) olur. Bu noktanın \( x \) eksenine olan uzaklığı 1 birimdir. Sorunun tam olarak neyi kastettiği net olmasa da, genellikle bu tür sorularda \( y \) eksenini kesen noktanın \( x \) eksenine uzaklığı sorulur. 💡

Öncelikle, verilen doğrunun eğimini bulalım: \( 4x - 3y + 12 = 0 \) \( 3y = 4x + 12 \) \( y = \frac{4}{3}x + 4 \) Eğim \( m_1 = \frac{4}{3} \). Dik olan doğrunun eğimi, verilen doğrunun eğiminin negatif reciprocal'i olacaktır: \( m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \) Yeni doğrunun denklemi \( y - y_1 = m_2(x - x_1) \) formülü ile bulunur. Noktamız \( A(1, 5) \). \( y - 5 = -\frac{3}{4}(x - 1) \) \( 4(y - 5) = -3(x - 1) \) \( 4y - 20 = -3x + 3 \) \( 3x + 4y - 23 = 0 \) Yeni doğrunun denklemi \( 3x + 4y - 23 = 0 \)'dır. Şimdi bu yeni doğrunun \( y \) eksenine olan uzaklığını hesaplayalım. Bir doğrunun \( y \) eksenine olan uzaklığı, \( y \) eksenini kestiği noktanın \( x \) koordinatının mutlak değeridir. \( y \) eksenini kestiği noktada \( x = 0 \) olur. \( 3(0) + 4y - 23 = 0 \) \( 4y - 23 = 0 \) \( 4y = 23 \) \( y = \frac{23}{4} \) Bu nokta \( (0, \frac{23}{4}) \)'tür. Bu noktanın \( y \) eksenine olan uzaklığı 0'dır. Eğer soru, bu yeni doğrunun orijine olan uzaklığı ise: \[ d = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \] Burada \( a=3 \), \( b=4 \), \( c=-23 \) ve \( (x_0, y_0) = (0, 0) \). \[ d = \frac{|3(0) + 4(0) - 23|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \] \[ d = \frac{|-23|}{\sqrt{9 + 16}} \] \[ d = \frac{23}{\sqrt{25}} \] \[ d = \frac{23}{5} \] Orijine uzaklığı \( \frac{23}{5} \) birimdir. Soruda "y eksenine olan uzaklığı" denildiği için, doğrunun y eksenini kestiği noktanın x koordinatının mutlak değeri soruluyor. Bu nokta (0, 23/4) olduğu için, y eksenine uzaklığı 0'dır. Ancak, genellikle bu tür sorularda orijine olan uzaklık kastedilir. Eğer orijine uzaklık soruluyorsa cevap 23/5'tir. 📌

Bu problem, elips tanımı ile ilgilidir. İki sabit noktaya (odak noktaları) olan uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yeri bir elipstir.

• Burada \( A(2, 3) \) ve \( B(8, 11) \) noktaları elipsin odaklarıdır.
• Uzaklıkların toplamı \( 10 \) birimdir, bu da elipsin \( 2a \) değerine karşılık gelir. Yani \( 2a = 10 \implies a = 5 \).
• Elipsin merkezi, odak noktalarının orta noktasıdır.

Merkez \( M = \left(\frac{2+8}{2}, \frac{3+11}{2}\right) = \left(\frac{10}{2}, \frac{14}{2}\right) = (5, 7) \). İki odak arasındaki uzaklık \( 2c \) değeridir. \( 2c = \sqrt{(8-2)^2 + (11-3)^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \). Yani \( c = 5 \). Elips için \( a^2 = b^2 + c^2 \) ilişkisi geçerlidir. \( 5^2 = b^2 + 5^2 \) \( 25 = b^2 + 25 \) \( b^2 = 0 \implies b = 0 \). \( b=0 \) olması, elipsin bir doğru parçasına indirgenmesi anlamına gelir. Bu durumda helikopter, \( A \) ve \( B \) noktaları arasındaki doğru parçası üzerinde bulunmalıdır. Helikopterin bulunduğu \( C \) noktası, \( A \) ve \( B \) arasındaki doğru parçası üzerinde olacaktır. Bu doğru parçasının denklemini bulalım. Eğim: \( m = \frac{11-3}{8-2} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \) Doğru denklemi: \( y - 3 = \frac{4}{3}(x - 2) \) \( 3(y - 3) = 4(x - 2) \) \( 3y - 9 = 4x - 8 \) \( 4x - 3y + 1 = 0 \) Helikopterin bulunduğu \( C \) noktasının \( x \) eksenine olan uzaklığı, bu \( C \) noktasının \( y \) koordinatının mutlak değeridir. \( C \) noktası \( 4x - 3y + 1 = 0 \) doğrusu üzerindedir ve \( x \) koordinatı 2 ile 8 arasında, \( y \) koordinatı ise 3 ile 11 arasındadır. Soruda "en az kaç birim olabilir?" denildiği için, helikopterin \( A \) ve \( B \) arasındaki doğru parçası üzerindeki \( y \) koordinatının minimum mutlak değerini bulmalıyız. Bu doğru parçasında \( y \) değerleri 3 ile 11 arasındadır. Bu aralıktaki en küçük pozitif değer 3'tür. Dolayısıyla, helikopterin \( x \) eksenine olan uzaklığı en az 3 birim olabilir. 📍

Bir doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktada, \( y \) koordinatı sıfırdır.

• Doğru denklemimiz: \( 5x + 12y - 60 = 0 \).
• \( y = 0 \) değerini denklemde yerine koyalım:

\( 5x + 12(0) - 60 = 0 \) \( 5x + 0 - 60 = 0 \) \( 5x = 60 \) \( x = \frac{60}{5} \) \( x = 12 \) Bu durumda, doğrunun \( x \) eksenini kestiği noktanın koordinatları \( (12, 0) \)'dır. ✅