🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Merkez ve çevre açı Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Merkez ve çevre açı Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir çemberde merkez açının ölçüsü \( 70^\circ \) ise, aynı yayı gören çevre açının ölçüsü kaç derecedir? 💡
Çözüm:
- Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Bu durumda, gördüğü yay \( 70^\circ \) olur.
- Çevre açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Yani, çevre açı \( \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \) olur. ✅
Örnek 2:
Bir çemberde çevre açının ölçüsü \( 45^\circ \) ise, aynı yayı gören merkez açının ölçüsü kaç derecedir? 🤔
Çözüm:
- Çevre açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Bu durumda, gördüğü yay \( 45^\circ \times 2 = 90^\circ \) olur.
- Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Yani, merkez açı \( 90^\circ \) olur. 👍
Örnek 3:
Yandaki şekilde (metinsel betimleme: O merkezli bir çemberde, A, B ve C noktaları çember üzerindedir. AO doğru parçası yarıçaptır. AOB bir merkez açıdır ve ölçüsü \( 120^\circ \) olarak verilmiştir. ACB ise bu yayı gören çevre açıdır.) ACB açısının ölçüsü kaç derecedir? 📐
Çözüm:
- Verilen merkez açı \( \angle AOB = 120^\circ \) 'dir.
- Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. Dolayısıyla, \( \overset{\frown}{AB} \) yayının ölçüsü \( 120^\circ \) 'dir.
- ACB açısı, \( \overset{\frown}{AB} \) yayını gören bir çevre açıdır.
- Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısıdır.
- Bu nedenle, \( \angle ACB = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \) olur. 💯
Örnek 4:
Bir çemberde, bir yayı gören merkez açının ölçüsü \( \alpha \) ve aynı yayı gören çevre açının ölçüsü \( \beta \) 'dır. Eğer \( \alpha = 3\beta - 30^\circ \) ise, \( \alpha \) kaç derecedir? 🧮
Çözüm:
- Merkez açı, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir: \( \alpha = \overset{\frown}{yay} \).
- Çevre açı, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir: \( \beta = \frac{\overset{\frown}{yay}}{2} \).
- Buradan \( \overset{\frown}{yay} = 2\beta \) elde ederiz.
- Merkez açının ölçüsünü çevre açı cinsinden yazarsak: \( \alpha = 2\beta \).
- Soruda verilen ilişkiyi kullanırsak: \( \alpha = 3\beta - 30^\circ \).
- İki denklemde de \( \alpha \) yerine \( 2\beta \) yazabiliriz: \( 2\beta = 3\beta - 30^\circ \).
- Bu denklemi çözersek: \( \beta = 30^\circ \) bulunur.
- Şimdi \( \alpha \) 'yı bulalım: \( \alpha = 2\beta = 2 \times 30^\circ = 60^\circ \). ✅
Örnek 5:
Bir bisiklet tekerleğinin jantının üzerindeki bir vida, tekerlek tam bir tur döndüğünde merkeze göre \( 360^\circ \) hareket eder. Eğer bisiklet tekerleği \( 60^\circ \) döndüğünde, tekerleğin üzerindeki bir noktanın (çember üzerinde) merkeze göre taradığı açı \( \alpha \) ve bu noktanın jant üzerindeki bir noktaya göre (çember üzerinde) taradığı açı \( \beta \) ise, \( \alpha \) ile \( \beta \) arasındaki ilişkiyi bulunuz. 🚴
Çözüm:
- Tekerleğin üzerindeki bir noktanın merkeze göre taradığı açı, tekerleğin dönme açısına eşittir. Bu nedenle, \( \alpha = 60^\circ \) olur.
- Bu \( \alpha \) açısı, merkez açıdır ve gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- Jant üzerindeki bir noktanın merkeze göre taradığı açı \( \alpha \) ise, bu \( \alpha \) açısı aynı zamanda bir merkez açıdır.
- Soruda bahsedilen \( \beta \) açısı, aynı yayı gören bir çevre açı olarak düşünülebilir.
- Merkez açı \( \alpha \) ve çevre açı \( \beta \) aynı yayı gördüğü için, \( \alpha = 2\beta \) ilişkisi geçerlidir.
- \( \alpha = 60^\circ \) olduğundan, \( 60^\circ = 2\beta \) olur.
- Buradan \( \beta = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \) bulunur.
- Yani, \( \alpha = 2\beta \) ilişkisi geçerlidir. 👉
Örnek 6:
Bir saatte akrep ve yelkovanın hareketi merkez ve çevre açı kavramlarıyla açıklanabilir. Saat 12:00'de akrep ve yelkovan üst üste biner. Saat 1:00'e gelindiğinde yelkovan \( 360^\circ \) dönmüş olurken, akrep \( 30^\circ \) dönmüş olur. Saat 1:00'deki akrep ve yelkovanın oluşturduğu açı, bir merkez açı olarak düşünülebilir. Bu merkez açının gördüğü yay ile aynı yayı gören bir çevre açının ölçüsü ne olur? ⏰
Çözüm:
- Saat 1:00'de akrep ve yelkovan arasındaki açı, bir merkez açı olarak \( 30^\circ \) 'dir.
- Bu merkez açı, saatin kadranındaki \( \frac{30^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{12} \) 'lik bir yay dilimini görür.
- Bu yayın ölçüsü \( 30^\circ \) 'dir.
- Aynı yayı gören bir çevre açı, bu yayın ölçüsünün yarısı olacaktır.
- Dolayısıyla, çevre açının ölçüsü \( \frac{30^\circ}{2} = 15^\circ \) olur. 💡
Örnek 7:
Bir çemberde, bir yayı gören iki farklı çevre açı verilmiştir. Birinci çevre açının ölçüsü \( x \) ve bu açının gördüğü yay \( Y_1 \) 'dir. İkinci çevre açının ölçüsü \( y \) ve bu açının gördüğü yay \( Y_2 \) 'dir. Eğer \( Y_1 \) yayı, \( Y_2 \) yayının iki katı büyüklüğündeyse ve \( x + y = 150^\circ \) ise, \( Y_1 \) yayının ölçüsünü bulunuz. 🧩
Çözüm:
- Çevre açının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsünün yarısına eşittir.
- Birinci çevre açı: \( x = \frac{Y_1}{2} \Rightarrow Y_1 = 2x \).
- İkinci çevre açı: \( y = \frac{Y_2}{2} \Rightarrow Y_2 = 2y \).
- Soruda \( Y_1 = 2Y_2 \) olduğu verilmiştir.
- Bu bilgiyi kullanarak: \( 2x = 2(2y) \Rightarrow 2x = 4y \Rightarrow x = 2y \).
- Ayrıca \( x + y = 150^\circ \) verilmiştir.
- \( x \) yerine \( 2y \) yazarsak: \( 2y + y = 150^\circ \Rightarrow 3y = 150^\circ \Rightarrow y = 50^\circ \).
- Şimdi \( x \) 'i bulalım: \( x = 2y = 2 \times 50^\circ = 100^\circ \).
- \( Y_1 \) yayının ölçüsünü bulmak için: \( Y_1 = 2x = 2 \times 100^\circ = 200^\circ \). ✅
Örnek 8:
Bir lunaparkta bulunan dönme dolabın en alt noktası yerden 2 metre yüksekliktedir. Dönme dolabın yarıçapı 10 metredir. Dönme dolapta oturan bir kişi, en alt noktadan (A noktası) başlayıp, tepe noktasına (B noktası) kadar dönüyor. Bu hareketi sırasında, kişinin merkeze göre taradığı açı \( \alpha \) ve A noktasından B noktasına kadar olan yayın uzunluğu ile ilgili bir çevre açı \( \beta \) arasındaki ilişkiyi inceleyiniz. (π = 3 alınacaktır.) 🎡
Çözüm:
- Dönme dolabın yarıçapı \( r = 10 \) metredir.
- Kişi en alt noktadan (A) tepe noktasına (B) kadar dönüyor. Bu hareket, çemberin yarısıdır.
- Merkeze göre taradığı açı \( \alpha \), yarım çemberi temsil eder. Dolayısıyla, \( \alpha = 180^\circ \) olur.
- Bu \( \alpha \) açısı bir merkez açıdır ve gördüğü yayın ölçüsüne eşittir.
- A noktasından B noktasına kadar olan yay, yarım çember yaydır.
- Soruda bahsedilen \( \beta \) açısı, aynı yayı gören bir çevre açı olarak düşünülebilir.
- Merkez açı \( \alpha = 180^\circ \) ve çevre açı \( \beta \) aynı yayı gördüğü için, \( \alpha = 2\beta \) ilişkisi geçerlidir.
- \( 180^\circ = 2\beta \) olduğundan, \( \beta = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \) bulunur.
- Bu \( \beta \) açısı, A noktasından başlayıp, çember üzerinde herhangi bir noktadan B noktasına giden bir çevre açının ölçüsüdür.
- Yayın uzunluğu ise \( \text{Yayın Uzunluğu} = \frac{\alpha}{360^\circ} \times 2\pi r = \frac{180^\circ}{360^\circ} \times 2 \times 3 \times 10 = \frac{1}{2} \times 60 = 30 \) metredir.
- Yani, \( \alpha = 180^\circ \) ve \( \beta = 90^\circ \) 'dir. 👉
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-merkez-ve-cevre-aci/sorular