🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Koşullu Olasılık Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Koşullu Olasılık Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir torbada 3 mavi ve 5 kırmızı bilye bulunmaktadır. Torbadan rastgele bir bilye çekildiğinde mavi olma olasılığı nedir? Eğer çekilen bilyenin mavi olduğu biliniyorsa, ikinci bir bilye çekildiğinde yine mavi olma olasılığı nedir? 💡
Çözüm:
Bu soruda koşullu olasılığın temelini anlayacağız.
- Adım 1: İlk Olasılık
Torbadaki toplam bilye sayısı = 3 (mavi) + 5 (kırmızı) = 8.
İlk çekilişte mavi bilye gelme olasılığı \( P(M_1) = \frac{3}{8} \). - Adım 2: Koşullu Olasılık
İlk çekilen bilyenin mavi olduğu biliniyor. Bu durumda torbada artık 2 mavi ve 5 kırmızı bilye kalır. Toplam bilye sayısı 7 olur.
İkinci çekilişte mavi bilye gelme olasılığı, ilk bilyenin mavi olduğu bilindiğinde \( P(M_2 | M_1) \) ile gösterilir.
\( P(M_2 | M_1) = \frac{2}{7} \).
Örnek 2:
Bir zar atılıyor. Gelen sayının tek sayı olduğu biliniyorsa, bu sayının 3'ten büyük olma olasılığı nedir? 🤔
Çözüm:
Bu, bir koşullu olasılık problemidir.
- Adım 1: Örnek Uzayı Belirleme
Bir zar atıldığında olası sonuçlar \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)'dır. - Adım 2: Koşulu Uygulama
Gelen sayının tek sayı olduğu biliniyor. Bu durumda örnek uzayımız daralır. Tek sayılar \( A = \{1, 3, 5\} \)'dır. - Adım 3: İstenen Durumu Belirleme
Bu tek sayılardan 3'ten büyük olanları arıyoruz. Bu küme \( B = \{5\} \)'dir. - Adım 4: Koşullu Olasılığı Hesaplama
Tek sayı olduğu bilinen durumda (örnek uzayımız A), 3'ten büyük olma olasılığı, yani A kümesindeki istenen durumların oranıdır.
\( P(\text{3'ten büyük} | \text{tek sayı}) = \frac{A \cap B}{A} = \frac{\text{Tek ve 3'ten büyük sayıların adedi}}{\text{Tek sayıların adedi}} = \frac{1}{3} \).
Örnek 3:
Bir sınıfta 10 kız ve 15 erkek öğrenci bulunmaktadır. Rastgele seçilen bir öğrencinin gözlüklü olduğu biliniyorsa, bu öğrencinin kız olma olasılığı nedir? Sınıfta 4 kız ve 6 erkek öğrenci gözlüklüdür. 👓
Çözüm:
Bu problemde, verilen koşula göre olasılığı hesaplayacağız.
- Adım 1: Verilenleri Anlama
Toplam öğrenci sayısı = 10 (kız) + 15 (erkek) = 25.
Gözlüklü kız öğrenci sayısı = 4.
Gözlüklü erkek öğrenci sayısı = 6.
Toplam gözlüklü öğrenci sayısı = 4 + 6 = 10. - Adım 2: Koşullu Olasılığı Tanımlama
Sorulan olasılık: "Seçilen öğrencinin gözlüklü olduğu biliniyor, bu öğrencinin kız olma olasılığı."
Bu, \( P(\text{Kız} | \text{Gözlüklü}) \) şeklinde ifade edilir. - Adım 3: Koşullu Olasılığı Hesaplama
Koşullu olasılık formülü: \( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \).
Burada A = Kız olma olayı, B = Gözlüklü olma olayıdır.
\( P(\text{Kız} \cap \text{Gözlüklü}) \) = Gözlüklü kız olma olasılığı = \( \frac{4}{25} \).
\( P(\text{Gözlüklü}) \) = Gözlüklü olma olasılığı = \( \frac{10}{25} \).
\( P(\text{Kız} | \text{Gözlüklü}) = \frac{\frac{4}{25}}{\frac{10}{25}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \).
Örnek 4:
Bir kutuda 5 kırmızı ve 3 beyaz top bulunmaktadır. Kutudan rastgele iki top çekiliyor. Çekilen toplardan en az birinin kırmızı olduğu biliniyorsa, her iki topun da kırmızı olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm:
Bu yeni nesil soru, koşullu olasılığın temelini ve kombinasyonları birleştirir.
- Adım 1: Toplam Olası Durumları Bulma
Kutuda toplam 8 top var. İki top çekiliyor. Tüm olası durumların sayısı \( C(8, 2) = \frac{8 \\times 7}{2 \\times 1} = 28 \)'dir. - Adım 2: Koşulu Belirleme (En Az Bir Kırmızı)
"En az bir kırmızı" durumu, tüm durumlardan "iki beyaz" durumunu çıkarmakla bulunabilir.
İki beyaz top çekme olasılığı: \( C(3, 2) = 3 \).
En az bir kırmızı top çekme durumlarının sayısı = Toplam durumlar - İki beyaz top durumu = \( 28 - 3 = 25 \). - Adım 3: İstenen Durumu Belirleme (Her İki Top Kırmızı)
Her iki topun da kırmızı olma durumlarının sayısı: \( C(5, 2) = \frac{5 \\times 4}{2 \\times 1} = 10 \). - Adım 4: Koşullu Olasılığı Hesaplama
Koşullu olasılık = \( \frac{\text{Her iki topun da kırmızı olma durumu}}{\text{En az bir topun kırmızı olma durumu}} \)
\( P(\text{İki Kırmızı} | \text{En az Bir Kırmızı}) = \frac{10}{25} = \frac{2}{5} \).
Örnek 5:
Bir markette iki farklı kampanya var: Kampanya A'da %20 indirimli ürünler, Kampanya B'de ise 3 al 2 öde seçeneği sunuluyor. Bir müşteri, rastgele bir kampanyayı seçiyor. Eğer seçtiği kampanyada indirimli ürün varsa, bu ürünün Kampanya A'dan gelmiş olma olasılığı nedir? (Her iki kampanyada da indirimli ürünler bulunmaktadır ve müşteri her iki kampanyayı da eşit olasılıkla seçebilir.) 🛒
Çözüm:
Bu günlük hayat örneği, koşullu olasılığın kararlarımız üzerindeki etkisini gösterir.
- Adım 1: Kampanya Seçim Olasılıkları
Müşteri Kampanya A'yı seçme olasılığı \( P(A) = \frac{1}{2} \).
Müşteri Kampanya B'yi seçme olasılığı \( P(B) = \frac{1}{2} \). - Adım 2: İndirimli Ürün Durumu
Her iki kampanyada da indirimli ürünler var. Bu durumu bir olay olarak ele alalım: "İndirimli ürün bulma" (I).
Kampanya A seçildiğinde indirimli ürün bulma olasılığı \( P(I|A) = 1 \) (Çünkü Kampanya A'da indirimli ürünler var).
Kampanya B seçildiğinde indirimli ürün bulma olasılığı \( P(I|B) = 1 \) (Çünkü Kampanya B'de de indirimli ürünler var). - Adım 3: Koşullu Olasılığı Hesaplama
Soru: "İndirimli ürün bulduğu biliniyorsa, bu ürünün Kampanya A'dan gelmiş olma olasılığı nedir?" Yani \( P(A|I) \) soruluyor.
Bayes Teoremi'ni kullanabiliriz: \( P(A|I) = \frac{P(I|A) \\times P(A)}{P(I)} \).
Önce \( P(I) \)'yi bulalım: \( P(I) = P(I|A) \\times P(A) + P(I|B) \\times P(B) = (1 \\times \frac{1}{2}) + (1 \\times \frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \).
Şimdi \( P(A|I) \)'yi hesaplayalım: \( P(A|I) = \frac{1 \\times \frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2} \).
Örnek 6:
Bir torbada 4 sarı ve 6 kırmızı top vardır. Torbadan rastgele 3 top çekiliyor. Çekilen toplardan en az ikisinin kırmızı olduğu biliniyorsa, çekilen topların tam olarak ikisinin kırmızı olma olasılığı nedir? 🔴
Çözüm:
Bu zorlu soru, kombinasyon ve koşullu olasılığın inceliklerini gerektirir.
- Adım 1: Toplam Olası Durumları Hesaplama
Toplam 10 top var. 3 top çekiliyor. Toplam durum sayısı \( C(10, 3) = \frac{10 \\times 9 \\times 8}{3 \\times 2 \\times 1} = 120 \). - Adım 2: Koşulu Belirleme (En Az İki Kırmızı)
Bu koşul iki durumu kapsar: "Tam olarak 2 kırmızı" veya "Tam olarak 3 kırmızı".
- Durum 2a: Tam Olarak 2 Kırmızı
2 kırmızı top ve 1 sarı top çekme: \( C(6, 2) \\times C(4, 1) = \frac{6 \\times 5}{2 \\times 1} \\times 4 = 15 \\times 4 = 60 \). - Durum 2b: Tam Olarak 3 Kırmızı
3 kırmızı top ve 0 sarı top çekme: \( C(6, 3) \\times C(4, 0) = \frac{6 \\times 5 \\times 4}{3 \\times 2 \\times 1} \\times 1 = 20 \).
- Durum 2a: Tam Olarak 2 Kırmızı
- Adım 3: İstenen Durumu Belirleme (Tam Olarak İki Kırmızı)
Bu durum zaten Adım 2a'da hesaplandı: 60 durum. - Adım 4: Koşullu Olasılığı Hesaplama
Koşullu olasılık = \( \frac{\text{Tam olarak 2 kırmızı olma durumu}}{\text{En az 2 kırmızı olma durumu}} \)
\( P(\text{Tam 2 Kırmızı} | \text{En az 2 Kırmızı}) = \frac{60}{80} = \frac{3}{4} \).
Örnek 7:
Bir madeni para 3 kez atılıyor. Üçüncü atışın yazı olduğu biliniyorsa, en az iki kez tura gelme olasılığı nedir? 🪙
Çözüm:
Bu soru, koşullu olasılığın temel prensiplerini uygular.
- Adım 1: Tüm Olası Durumları Listeleme
Bir madeni para 3 kez atıldığında \( 2^3 = 8 \) olası sonuç vardır: TTT, TTY, TYT, TYY, YTT, YTY, YYT, YYY (T: Tura, Y: Yazı) - Adım 2: Koşulu Uygulama (Üçüncü Atış Yazı)
Üçüncü atışın yazı olduğu biliniyor. Bu, örnek uzayımızı daraltır. Bu koşulu sağlayan durumlar: TTY, TYY, YTY, YYY - Adım 3: İstenen Durumu Belirleme (En Az İki Tura)
Daraltılmış örnek uzayımızda (TTY, TYY, YTY, YYY), en az iki kez tura gelen durumları arıyoruz. Bu durum: TTY - Adım 4: Koşullu Olasılığı Hesaplama
Koşullu olasılık = \( \frac{\text{İstenen durumların sayısı}}{\text{Koşulu sağlayan durumların sayısı}} \)
\( P(\text{En az 2 Tura} | \text{3. Atış Yazı}) = \frac{1}{4} \).
Örnek 8:
Bir zar atılıyor. Gelen sayının çift sayı olduğu biliniyorsa, bu sayının 4'ten küçük olma olasılığı nedir? 🎲
Çözüm:
Bu problem, koşullu olasılığın basit bir uygulamasını gösterir.
- Adım 1: Olası Sonuçları Belirleme
Bir zar atıldığında olası sonuçlar \( S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \)'dır. - Adım 2: Koşulu Uygulama (Çift Sayı)
Gelen sayının çift olduğu biliniyor. Bu, örnek uzayımızı \( A = \{2, 4, 6\} \) olarak daraltır. - Adım 3: İstenen Durumu Belirleme (4'ten Küçük)
Çift sayılar kümesinden (A), 4'ten küçük olanları arıyoruz. Bu küme \( B = \{2\} \)'dir. - Adım 4: Koşullu Olasılığı Hesaplama
Koşullu olasılık, A kümesindeki B kümesinin oranını verir: \( P(\text{4'ten küçük} | \text{Çift sayı}) = \frac{A \cap B}{A} = \frac{\text{Çift ve 4'ten küçük sayıların adedi}}{\text{Çift sayıların adedi}} = \frac{1}{3} \).
Örnek 9:
Bir otobüs durağında bekleyen yolcular var. Durağa gelen otobüsün 'A' hattına ait olduğu biliniyorsa, bu otobüsün dolu olma olasılığı %80'dir. Otobüsün 'B' hattına ait olduğu biliniyorsa, dolu olma olasılığı %60'tır. Durağa rastgele bir otobüs geldiğinde (A veya B hattı olma olasılığı eşit), otobüsün dolu olduğu görülüyor. Bu otobüsün 'A' hattına ait olma olasılığı nedir? 🚌
Çözüm:
Bu günlük hayat senaryosu, Bayes Teoremi'nin pratik bir kullanımını sunar.
- Adım 1: Olasılıkları Tanımlama
\( P(A) = \frac{1}{2} \) (A hattı olma olasılığı)
\( P(B) = \frac{1}{2} \) (B hattı olma olasılığı)
\( P(\text{Dolu} | A) = 0.80 \) (A hattı ise dolu olma olasılığı)
\( P(\text{Dolu} | B) = 0.60 \) (B hattı ise dolu olma olasılığı) - Adım 2: Bayes Teoremi'ni Uygulama
Aradığımız olasılık: \( P(A | \text{Dolu}) \).
Bayes Teoremi: \( P(A | \text{Dolu}) = \frac{P(\text{Dolu} | A) \\times P(A)}{P(\text{Dolu})} \). - Adım 3: Toplam Dolu Olma Olasılığını Hesaplama (\( P(\text{Dolu}) \))
\( P(\text{Dolu}) = P(\text{Dolu} | A) \\times P(A) + P(\text{Dolu} | B) \\times P(B) \)
\( P(\text{Dolu}) = (0.80 \\times \frac{1}{2}) + (0.60 \\times \frac{1}{2}) \)
\( P(\text{Dolu}) = 0.40 + 0.30 = 0.70 \). - Adım 4: Koşullu Olasılığı Hesaplama
\( P(A | \text{Dolu}) = \frac{0.80 \\times \frac{1}{2}}{0.70} = \frac{0.40}{0.70} = \frac{4}{7} \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-kosullu-olasilik/sorular