🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: Kosinüs Teoremi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: Kosinüs Teoremi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir ABC üçgeninde \( a = 7 \) cm, \( b = 8 \) cm ve \( C \) açısı \( 60^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre \( c \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 💡
Çözüm:
Kosinüs teoremini kullanarak \( c \) kenarının uzunluğunu hesaplayabiliriz. Kosinüs teoremi şu şekildedir:
\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \]
Verilen değerleri formülde yerine koyalım:
- \( a = 7 \), \( b = 8 \), \( C = 60^\circ \)
- \( c^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos(60^\circ) \)
- \( c^2 = 49 + 64 - 112 \cdot \frac{1}{2} \) (Çünkü \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \))
- \( c^2 = 113 - 56 \)
- \( c^2 = 57 \)
- \( c = \sqrt{57} \) cm
Örnek 2:
Bir ABC üçgeninde \( b = 5 \) cm, \( c = 6 \) cm ve \( A \) açısı \( 120^\circ \) olarak veriliyor. Buna göre \( a \) kenarının uzunluğunu bulunuz. 🤔
Çözüm:
Kosinüs teoremini \( a \) kenarı için uygulayalım:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]
Verilen değerleri yerine yazalım:
- \( b = 5 \), \( c = 6 \), \( A = 120^\circ \)
- \( a^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos(120^\circ) \)
- \( a^2 = 25 + 36 - 60 \cdot (-\frac{1}{2}) \) (Çünkü \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \))
- \( a^2 = 61 + 30 \)
- \( a^2 = 91 \)
- \( a = \sqrt{91} \) cm
Örnek 3:
Bir ABC üçgeninde \( a = 3 \) cm, \( b = 5 \) cm ve \( c = 7 \) cm olarak veriliyor. Buna göre \( B \) açısının kosinüsünü bulunuz. 🧐
Çözüm:
Kosinüs teoremini kullanarak \( \cos(B) \) değerini bulabiliriz. Formül:
\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \]
Değerleri yerine koyalım ve \( \cos(B) \) için denklemi yeniden düzenleyelim:
- \( 5^2 = 3^2 + 7^2 - 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot \cos(B) \)
- \( 25 = 9 + 49 - 42 \cos(B) \)
- \( 25 = 58 - 42 \cos(B) \)
- \( 42 \cos(B) = 58 - 25 \)
- \( 42 \cos(B) = 33 \)
- \( \cos(B) = \frac{33}{42} \)
- \( \cos(B) = \frac{11}{14} \) (Sadeleştirilmiş hali)
Örnek 4:
Bir ABC üçgeninde \( a = \sqrt{7} \) cm, \( b = 3 \) cm ve \( c = 5 \) cm olarak veriliyor. Buna göre \( A \) açısının ölçüsünü bulunuz. 📐
Çözüm:
Kosinüs teoremini \( A \) açısı için uygulayalım:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]
Değerleri yerine yerleştirerek \( \cos(A) \) değerini hesaplayalım:
- \( (\sqrt{7})^2 = 3^2 + 5^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(A) \)
- \( 7 = 9 + 25 - 30 \cos(A) \)
- \( 7 = 34 - 30 \cos(A) \)
- \( 30 \cos(A) = 34 - 7 \)
- \( 30 \cos(A) = 27 \)
- \( \cos(A) = \frac{27}{30} \)
- \( \cos(A) = \frac{9}{10} \)
Örnek 5:
Bir harita üzerinde A, B ve C şehirleri bulunmaktadır. A ve B şehirleri arasındaki mesafe 10 km, B ve C şehirleri arasındaki mesafe 12 km'dir. A, B ve C şehirlerinin oluşturduğu açının \( \angle ABC = 150^\circ \) olduğu biliniyor. A ve C şehirleri arasındaki en kısa mesafeyi (kuş uçuşu) hesaplayınız. ✈️
Çözüm:
Bu problemde, şehirler bir üçgenin köşeleri olarak düşünülebilir. A ve C şehirleri arasındaki mesafeyi bulmak için kosinüs teoremini kullanacağız. Burada \( a \) kenarı BC mesafesini, \( c \) kenarı AB mesafesini ve \( b \) kenarı AC mesafesini temsil edecektir.
- Verilenler: \( c = 10 \) km (AB mesafesi), \( a = 12 \) km (BC mesafesi), \( \angle B = 150^\circ \)
- Bulunması gereken: \( b \) (AC mesafesi)
- Kosinüs Teoremi: \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B) \)
- Değerleri yerine koyalım: \( b^2 = 12^2 + 10^2 - 2 \cdot 12 \cdot 10 \cdot \cos(150^\circ) \)
- \( b^2 = 144 + 100 - 240 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \) (Çünkü \( \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \))
- \( b^2 = 244 + 120\sqrt{3} \)
- \( b = \sqrt{244 + 120\sqrt{3}} \) km
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasına iki farklı noktadan sulama borusu döşemek istiyor. Birinci boru, evin köşesinden başlayıp tarlanın bir kenarı boyunca 8 metre uzanıyor. İkinci boru ise aynı ev köşesinden başlayıp tarlanın diğer kenarı boyunca 6 metre uzanıyor. Bu iki boru arasındaki açı \( 120^\circ \) ise, boruların uç noktaları arasındaki mesafeyi hesaplayarak, bu mesafeye uygun bir hortum alması gerektiğini belirleyebilir miyiz? 💧
Çözüm:
Bu durumu bir üçgen problemi olarak düşünebiliriz. Evin köşesi üçgenin bir köşesi, boruların uzunlukları ise bu köşeden çıkan iki kenarın uzunlukları olacaktır.
- Kosinüs teoremini uygulayacağımız kenarlar: \( a = 6 \) metre, \( b = 8 \) metre.
- Bu kenarlar arasındaki açı: \( C = 120^\circ \).
- Bulmamız gereken, bu iki kenarın uç noktaları arasındaki mesafedir, yani \( c \) kenarı.
- Kosinüs Teoremi: \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \)
- Değerleri yerine koyalım: \( c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos(120^\circ) \)
- \( c^2 = 36 + 64 - 96 \cdot (-\frac{1}{2}) \) (Çünkü \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \))
- \( c^2 = 100 + 48 \)
- \( c^2 = 148 \)
- \( c = \sqrt{148} \) metre
Örnek 7:
Bir ABC üçgeninde \( \angle A = 75^\circ \), \( b = 4 \) cm ve \( c = 6 \) cm olarak verilmiştir. \( a \) kenarının uzunluğunu bulunuz. (İpucu: \( \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) \) formülünü kullanabilirsiniz.) 🧮
Çözüm:
Kosinüs teoremini kullanarak \( a \) kenarının uzunluğunu hesaplayacağız. Teorem:
\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \]
Verilen değerler ve ipucundaki \( \cos(75^\circ) \) değerini kullanalım:
- \( b = 4 \), \( c = 6 \), \( A = 75^\circ \)
- \( \cos(75^\circ) = \cos(45^\circ)\cos(30^\circ) - \sin(45^\circ)\sin(30^\circ) \)
- \( \cos(75^\circ) = (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{1}{2}) \)
- \( \cos(75^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \)
- Şimdi kosinüs teoremini uygulayalım: \( a^2 = 4^2 + 6^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) \)
- \( a^2 = 16 + 36 - 48 \cdot (\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}) \)
- \( a^2 = 52 - 12(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \)
- \( a = \sqrt{52 - 12\sqrt{6} + 12\sqrt{2}} \) cm
Örnek 8:
İki gemi, aynı anda bir limandan hareket ediyor. Birinci gemi, limandan kuzey yönünde \( 20 \) km/saat hızla gidiyor. İkinci gemi ise, limandan \( 45^\circ \) doğu kuzey yönünde \( 15 \) km/saat hızla gidiyor. 2 saat sonra iki gemi arasındaki mesafeyi hesaplayınız. 🚢
Çözüm:
Bu problemde, limanı bir köşe olarak kabul edip, gemilerin 2 saat sonraki konumlarını üçgenin köşeleri olarak düşüneceğiz.
- Liman (A noktası)
- 1. geminin 2 saat sonraki konumu (B noktası): Kuzey yönünde \( 20 \text{ km/saat} \times 2 \text{ saat} = 40 \) km.
- 2. geminin 2 saat sonraki konumu (C noktası): \( 45^\circ \) doğu kuzey yönünde \( 15 \text{ km/saat} \times 2 \text{ saat} = 30 \) km.
- İki gemi arasındaki mesafe, \( BC \) kenarının uzunluğudur.
- A, B ve C noktaları bir üçgen oluşturur. \( AB = c = 40 \) km, \( AC = b = 30 \) km.
- \( \angle BAC \) açısı, kuzey yönü ile \( 45^\circ \) doğu kuzey yönü arasındaki açıdır. Bu açı \( 45^\circ \) olur.
- Kosinüs teoremini kullanarak \( BC \) kenarını (yani \( a \) kenarını) bulalım: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \)
- \( a^2 = 30^2 + 40^2 - 2 \cdot 30 \cdot 40 \cdot \cos(45^\circ) \)
- \( a^2 = 900 + 1600 - 2400 \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) \)
- \( a^2 = 2500 - 1200\sqrt{2} \)
- \( a = \sqrt{2500 - 1200\sqrt{2}} \) km
Örnek 9:
Bir futbol maçında, top kalenin önündeki bir oyuncuya (A noktası) pas atılacaktır. Kalenin tam ortasındaki bir nokta (K noktası) ile oyuncunun konumu (A noktası) arasındaki mesafe 10 metre, oyuncunun konumu (A noktası) ile kalenin sağ direği (D noktası) arasındaki mesafe 8 metredir. Kalenin ortasındaki nokta (K noktası) ile kalenin sağ direği (D noktası) arasındaki mesafe 5 metredir. Oyuncu (A noktası) ile kalenin ortası (K noktası) arasındaki açının \( \angle KAD \) kaç derecedir? ⚽
Çözüm:
Bu senaryoyu bir üçgen problemi olarak ele alabiliriz. Oyuncunun konumu (A), kalenin ortası (K) ve kalenin sağ direği (D) bir üçgenin köşelerini oluşturur.
- Kenar uzunlukları: \( AK = 10 \) m, \( AD = 8 \) m, \( KD = 5 \) m.
- Bulmamız gereken açı: \( \angle KAD \). Bu açıya \( A \) açısı diyelim.
- Kosinüs teoremini \( A \) açısı için uygulayacağız: \( KD^2 = AK^2 + AD^2 - 2 \cdot AK \cdot AD \cdot \cos(A) \)
- Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \cos(A) \)
- \( 25 = 100 + 64 - 160 \cos(A) \)
- \( 25 = 164 - 160 \cos(A) \)
- \( 160 \cos(A) = 164 - 25 \)
- \( 160 \cos(A) = 139 \)
- \( \cos(A) = \frac{139}{160} \)
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-kosinus-teoremi/sorular