💡 11. Sınıf Matematik: Kosinüs sinüs teoremi Çözümlü Örnekler

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi'nin formülü şu şekildedir: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \] Şimdi verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 6 \)
• \( b = 8 \)
• \( C = 60^\circ \)
• \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \)

Bu değerleri formüle yerleştirdiğimizde: \[ c^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \times 6 \times 8 \times \cos(60^\circ) \] \[ c^2 = 36 + 64 - 2 \times 48 \times \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 100 - 96 \times \frac{1}{2} \] \[ c^2 = 100 - 48 \] \[ c^2 = 52 \] Şimdi \( c \) kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{52} \] \[ c = \sqrt{4 \times 13} \] \[ c = 2\sqrt{13} \] Bu nedenle, \( c \) kenar uzunluğu \( 2\sqrt{13} \) birimdir. ✅

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi'nin formülü şu şekildedir: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} = \frac{c}{\sin(C)} \] Bize verilen değerler:

• \( A = 45^\circ \)
• \( B = 60^\circ \)
• \( a = 10 \)

\( b \) kenar uzunluğunu bulmak için teoremin ilgili kısmını kullanacağız: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \] Şimdi bilinen değerleri yerine koyalım: \[ \frac{10}{\sin(45^\circ)} = \frac{b}{\sin(60^\circ)} \] Sinüs değerlerini hatırlayalım:

• \( \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \)
• \( \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)

Bu değerleri denklemimize yerleştirelim: \[ \frac{10}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{b}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \] Denklemi düzenleyelim: \[ 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = b \times \frac{2}{\sqrt{3}} \] \[ \frac{20}{\sqrt{2}} = \frac{2b}{\sqrt{3}} \] Şimdi \( b \) için çözelim. İçler dışlar çarpımı yapabiliriz veya her iki tarafı \( \frac{2}{\sqrt{3}} \) ile çarpabiliriz: \[ b = \frac{20}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ b = \frac{20\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} \] \[ b = \frac{10\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \] Paydayı rasyonel yapmak için \( \sqrt{2} \) ile genişletelim: \[ b = \frac{10\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} \] \[ b = \frac{10\sqrt{6}}{2} \] \[ b = 5\sqrt{6} \] Bu nedenle, \( b \) kenar uzunluğu \( 5\sqrt{6} \) birimdir. 👉

Bu soruda üç kenar uzunluğu verildiği için \( A \) açısının kosinüsünü bulmak amacıyla Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi'nin \( a \) kenarına göre düzenlenmiş hali şöyledir: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \] Bu formülü \( \cos(A) \) için yeniden düzenleyelim: \[ 2bc \cos(A) = b^2 + c^2 - a^2 \] \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Şimdi verilen değerleri formüle yerleştirelim:

• \( a = 7 \)
• \( b = 5 \)
• \( c = 8 \)

\[ \cos(A) = \frac{5^2 + 8^2 - 7^2}{2 \times 5 \times 8} \] \[ \cos(A) = \frac{25 + 64 - 49}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{89 - 49}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{40}{80} \] \[ \cos(A) = \frac{1}{2} \] Bu nedenle, \( A \) açısının kosinüsü \( \frac{1}{2} \) olarak bulunur. Bu da \( A \) açısının \( 60^\circ \) olduğunu gösterir. 👍

Bir üçgenin iki kenar uzunluğu ve bu kenarlar arasındaki açının ölçüsü bilindiğinde, üçgenin alanını hesaplamak için şu formül kullanılır: \[ Alan = \frac{1}{2} bc \sin(A) \] Bize verilen değerler:

• \( A = 30^\circ \)
• \( b = 12 \)
• \( c = 10 \)

\( \sin(30^\circ) \) değerini hatırlayalım:

• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)

Şimdi bu değerleri alan formülünde yerine koyalım: \[ Alan = \frac{1}{2} \times 12 \times 10 \times \sin(30^\circ) \] \[ Alan = \frac{1}{2} \times 120 \times \frac{1}{2} \] \[ Alan = 60 \times \frac{1}{2} \] \[ Alan = 30 \] Bu nedenle, ABC üçgeninin alanı 30 birim kare olarak bulunur. 💯

Bu problemde, parktaki A, B ve C noktalarını bir üçgenin köşeleri olarak düşünebiliriz. Bu üçgenin kenar uzunlukları verilmiştir:

• \( a \) (B ile C arasındaki uzaklık) = 25 metre
• \( b \) (A ile C arasındaki uzaklık) = 20 metre
• \( c \) (A ile B arasındaki uzaklık) = 15 metre

Bizden istenen, A noktasındaki banktan bakıldığında B ve C noktalarının oluşturduğu açının kosinüsüdür. Bu, üçgende \( A \) açısının kosinüsünü bulmak anlamına gelir. Bunun için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi'nin \( a \) kenarına göre düzenlenmiş hali şöyledir: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(A) \] Bu formülü \( \cos(A) \) için yeniden düzenleyelim: \[ \cos(A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \] Verilen değerleri formüle yerleştirelim:

• \( a = 25 \)
• \( b = 20 \)
• \( c = 15 \)

\[ \cos(A) = \frac{20^2 + 15^2 - 25^2}{2 \times 20 \times 15} \] \[ \cos(A) = \frac{400 + 225 - 625}{600} \] \[ \cos(A) = \frac{625 - 625}{600} \] \[ \cos(A) = \frac{0}{600} \] \[ \cos(A) = 0 \] Bu sonuç, \( A \) açısının \( 90^\circ \) olduğunu gösterir. Yani, banktan bakıldığında B ve C noktalarının oluşturduğu açı dik açıdır. 🌳

Bu durumu bir dik üçgen problemi olarak modelleyebiliriz. Gemi önce kuzeye giderek bir dik kenar oluşturuyor, ardından doğuya giderek diğer dik kenarı oluşturuyor. Liman (A noktası) başlangıç noktası, B noktası kuzeye gidilen son nokta ve C noktası da doğuya gidilen son noktadır.

• A'dan B'ye uzaklık (kuzey yönü) = 10 km
• B'den C'ye uzaklık (doğu yönü) = 15 km

A noktası ile C noktası arasındaki düz hat uzaklığını bulmak için Pisagor Teoremi'ni kullanabiliriz, çünkü kuzey ve doğu yönleri birbirine diktir. Bu durumda ABC üçgeni bir dik üçgendir ve A açısı \( 90^\circ \) olur. Pisagor Teoremi: \( a^2 + b^2 = c^2 \) Burada \( a \) ve \( b \) dik kenarlar, \( c \) ise hipotenüstür. Bizim durumumuzda:

• Dik kenarlar: 10 km ve 15 km
• Hipotenüs: A'dan C'ye olan uzaklık (bulmak istediğimiz değer)

\[ (10)^2 + (15)^2 = (\text{A'dan C'ye uzaklık})^2 \] \[ 100 + 225 = (\text{A'dan C'ye uzaklık})^2 \] \[ 325 = (\text{A'dan C'ye uzaklık})^2 \] Şimdi her iki tarafın karekökünü alalım: \[ \text{A'dan C'ye uzaklık} = \sqrt{325} \] \( \sqrt{325} \) ifadesini sadeleştirelim. 325, 25'e bölünebilir: \( 325 = 25 \times 13 \). \[ \text{A'dan C'ye uzaklık} = \sqrt{25 \times 13} \] \[ \text{A'dan C'ye uzaklık} = 5\sqrt{13} \] Dolayısıyla, gemi limandan C noktasına doğru düz bir hat çizseydi, bu hat \( 5\sqrt{13} \) km olurdu. 🚢

Bu soruyu çözmek için öncelikle \( A \) ve \( B \) açılarının kosinüslerini bulmamız gerekiyor. Üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( A + B + C = 180^\circ \) ilişkisini kullanacağız. Bu da \( C = 180^\circ - (A + B) \) anlamına gelir. Kosinüs teoremini kullanabilmek için \( \cos(A) \) ve \( \cos(B) \) değerlerine ihtiyacımız var. \( \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 \) özdeşliğini kullanarak kosinüsleri bulabiliriz. Açılar üçgenin iç açıları olduğu için \( 0^\circ < A, B, C < 180^\circ \) aralığındadır. Bu aralıkta sinüs pozitif olabilirken, kosinüs hem pozitif hem de negatif olabilir. Ancak, bir üçgende iki dar açı varsa üçüncü açı da dar açı olur. Eğer bir açı geniş açı ise diğer ikisi dar açı olmak zorundadır. \( \sin(A) = \frac{3}{5} \) ise, \( \cos^2(A) = 1 - \sin^2(A) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \). Buradan \( \cos(A) = \pm \frac{4}{5} \) olur. \( \sin(B) = \frac{5}{13} \) ise, \( \cos^2(B) = 1 - \sin^2(B) = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \). Buradan \( \cos(B) = \pm \frac{12}{13} \) olur. Şimdi \( C = 180^\circ - (A + B) \) olduğunu biliyoruz. Bu durumda: \( \cos(C) = \cos(180^\circ - (A + B)) \) Kosinüsün indirgeme formülüne göre: \( \cos(180^\circ - x) = -\cos(x) \). Dolayısıyla: \( \cos(C) = -\cos(A + B) \) Kosinüs toplam formülü: \( \cos(A + B) = \cos(A)\cos(B) - \sin(A)\sin(B) \) Burada \( \cos(A) \) ve \( \cos(B) \) için ikişer olasılık olduğundan, toplam dört durum incelenmesi gerekir. Ancak, üçgenin iç açıları toplamı \( 180^\circ \) olduğundan, \( A+B \) açısı \( 180^\circ \) olamaz ve \( A+B < 180^\circ \) olmalıdır. En yaygın durum, \( A \) ve \( B \) açılarının dar açı olmasıdır. Bu durumda \( \cos(A) = \frac{4}{5} \) ve \( \cos(B) = \frac{12}{13} \) alabiliriz. \( \cos(A + B) = (\frac{4}{5})(\frac{12}{13}) - (\frac{3}{5})(\frac{5}{13}) \) \( \cos(A + B) = \frac{48}{65} - \frac{15}{65} \) \( \cos(A + B) = \frac{33}{65} \) Şimdi \( \cos(C) \) değerini bulalım: \( \cos(C) = -\cos(A + B) = -\frac{33}{65} \) Eğer \( A \) dar ve \( B \) geniş açı olsaydı: \( \cos(A) = \frac{4}{5} \) ve \( \cos(B) = -\frac{12}{13} \) \( \cos(A + B) = (\frac{4}{5})(-\frac{12}{13}) - (\frac{3}{5})(\frac{5}{13}) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65} \) \( \cos(C) = -(-\frac{63}{65}) = \frac{63}{65} \) Eğer \( A \) geniş ve \( B \) dar açı olsaydı: \( \cos(A) = -\frac{4}{5} \) ve \( \cos(B) = \frac{12}{13} \) \( \cos(A + B) = (-\frac{4}{5})(\frac{12}{13}) - (\frac{3}{5})(\frac{5}{13}) = -\frac{48}{65} - \frac{15}{65} = -\frac{63}{65} \) \( \cos(C) = -(-\frac{63}{65}) = \frac{63}{65} \) Eğer \( A \) ve \( B \) geniş açı olsaydı, bu üçgenin iç açıları olamazdı çünkü toplamları \( 180^\circ \) geçerdi. Genellikle bu tür sorularda, açılar dar kabul edilir. Bu nedenle en olası cevap \( -\frac{33}{65} \) 'tir. 💡

Bu soruyu çözmek için Kosinüs Teoremi'ni kullanacağız. Kosinüs Teoremi'nin formülü şöyledir: \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C) \] Verilen değerleri formülde yerine koyalım:

• \( a = 5 \)
• \( b = 7 \)
• \( C = 120^\circ \)

\( \cos(120^\circ) \) değerini hatırlayalım. \( \cos(120^\circ) = -\cos(180^\circ - 120^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} \). Şimdi değerleri formüle yerleştirelim: \[ c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \times 5 \times 7 \times \cos(120^\circ) \] \[ c^2 = 25 + 49 - 2 \times 35 \times (-\frac{1}{2}) \] \[ c^2 = 74 - 70 \times (-\frac{1}{2}) \] \[ c^2 = 74 + 35 \] \[ c^2 = 109 \] Şimdi \( c \) kenar uzunluğunu bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım: \[ c = \sqrt{109} \] Bu nedenle, \( c \) kenar uzunluğu \( \sqrt{109} \) birimdir. ✅

Bu soruyu çözmek için Sinüs Teoremi'ni kullanacağız. Sinüs Teoremi'nin formülü şu şekildedir: \[ \frac{a}{\sin(A)} = \frac{b}{\sin(B)} \] Bize verilen değerler:

• \( a = 8 \)
• \( b = 10 \)
• \( A = 30^\circ \)

\( \sin(30^\circ) \) değerini hatırlayalım:

• \( \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} \)

Şimdi bu değerleri Sinüs Teoremi'nde yerine koyalım: \[ \frac{8}{\sin(30^\circ)} = \frac{10}{\sin(B)} \] \[ \frac{8}{\frac{1}{2}} = \frac{10}{\sin(B)} \] Denklemi düzenleyelim: \[ 16 = \frac{10}{\sin(B)} \] Şimdi \( \sin(B) \) için çözelim: \[ \sin(B) = \frac{10}{16} \] \[ \sin(B) = \frac{5}{8} \] Bu nedenle, \( \sin(B) \) değeri \( \frac{5}{8} \) olarak bulunur. 👉