💡 11. Sınıf Matematik: Katı Cisimler Çözümlü Örnekler

Bu tür soruları çözmek için prizmanın hacim formülünü kullanacağız.

• Adım 1: Kare prizmanın hacim formülü \( V = Taban Alanı \times Yükseklik \) şeklindedir.
• Adım 2: Taban alanı bir kare olduğu için, taban alanı \( A_{taban} = a^2 \) formülü ile bulunur. Burada \( a \) taban ayrıtının uzunluğudur.
• Adım 3: Verilen bilgilere göre taban ayrıtı \( a = 6 \) cm'dir. Bu durumda taban alanı \( A_{taban} = 6^2 = 36 \) cm² olur.
• Adım 4: Prizmanın yüksekliği \( h = 10 \) cm'dir.
• Adım 5: Hacim formülünde değerleri yerine koyalım: \( V = 36 \text{ cm}^2 \times 10 \text{ cm} = 360 \) cm³.

Sonuç olarak, prizmanın hacmi 360 cm³'tür. ✅

Silindirin yüzey alanını hesaplamak için hem taban alanlarını hem de yanal alanı toplamamız gerekir.

• Adım 1: Dik dairesel silindirin yüzey alanı formülü \( A_{toplam} = 2 \times A_{taban} + A_{yanal} \) şeklindedir.
• Adım 2: Tabanlar daire olduğu için taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) formülü ile bulunur. Burada \( r \) yarıçaptır.
• Adım 3: Verilen yarıçap \( r = 3 \) cm'dir. Bu durumda bir taban alanı \( A_{taban} = \pi \times 3^2 = 9\pi \) cm² olur. İki taban olduğu için \( 2 \times 9\pi = 18\pi \) cm²'dir.
• Adım 4: Silindirin yanal alanı \( A_{yanal} = Çevre_{taban} \times Yükseklik \) formülü ile bulunur. Taban çevresi \( Çevre_{taban} = 2\pi r \) olduğundan, \( A_{yanal} = (2\pi r) \times h \) olur.
• Adım 5: Verilenlere göre \( r = 3 \) cm ve \( h = 8 \) cm'dir. Yanal alan \( A_{yanal} = (2\pi \times 3) \times 8 = 6\pi \times 8 = 48\pi \) cm² olur.
• Adım 6: Toplam yüzey alanını hesaplayalım: \( A_{toplam} = 18\pi \text{ cm}^2 + 48\pi \text{ cm}^2 = 66\pi \) cm².

Sonuç olarak, silindirin yüzey alanı 66π cm²'dir. 💡

Koninin hacmini hesaplamak için öncelikle yüksekliğini bulmamız gerekiyor.

• Adım 1: Dik dairesel koninin hacim formülü \( V = \frac{1}{3} \times Taban Alanı \times Yükseklik \) şeklindedir. Taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) ile bulunur.
• Adım 2: Verilenlere göre taban yarıçapı \( r = 5 \) cm ve ana doğru uzunluğu \( l = 13 \) cm'dir.
• Adım 3: Koninin yüksekliğini (h) bulmak için dik üçgen özelliğini kullanırız: \( r^2 + h^2 = l^2 \).
• Adım 4: Değerleri yerine koyalım: \( 5^2 + h^2 = 13^2 \). Bu da \( 25 + h^2 = 169 \) demektir.
• Adım 5: Yüksekliği bulalım: \( h^2 = 169 - 25 = 144 \). Buradan \( h = \sqrt{144} = 12 \) cm elde ederiz.
• Adım 6: Şimdi hacim formülünde değerleri yerine koyalım. Taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 = \pi \times 5^2 = 25\pi \) cm²'dir.
• Adım 7: Hacim \( V = \frac{1}{3} \times 25\pi \times 12 \) olur. π'yi 3 alırsak, \( V = \frac{1}{3} \times 25 \times 3 \times 12 = 25 \times 12 = 300 \) cm³ olur.

Sonuç olarak, koninin hacmi 300 cm³'tür. 👍

Küpün hem yüzey alanını hem de hacmini hesaplayıp sonra toplayacağız.

• Adım 1: Bir kenar uzunluğu \( a \) olan küpün hacim formülü \( V = a^3 \) şeklindedir.
• Adım 2: Verilen kenar uzunluğu \( a = 4 \) cm'dir. Hacim \( V = 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \) cm³ olur.
• Adım 3: Bir kenar uzunluğu \( a \) olan küpün bir yüzünün alanı \( A_{yüzey} = a^2 \) şeklindedir.
• Adım 4: Küpün 6 tane eş yüzü olduğundan, toplam yüzey alanı \( A_{toplam} = 6 \times a^2 \) formülü ile bulunur.
• Adım 5: Verilen kenar uzunluğu \( a = 4 \) cm'dir. Toplam yüzey alanı \( A_{toplam} = 6 \times 4^2 = 6 \times 16 = 96 \) cm² olur.
• Adım 6: Hacim ve toplam yüzey alanını toplayalım: \( 64 \text{ cm}^3 + 96 \text{ cm}^2 \).

Bu soruda birimler farklı olduğu için toplama işlemi matematiksel olarak doğrudan yapılamaz. Ancak, eğer sadece sayısal değerleri toplamak istenirse, \( 64 + 96 = 160 \) olur. Sorunun bağlamına göre bu değerin birimi belirtilmelidir (örneğin, "sayısal değerlerin toplamı 160'tır"). Genellikle bu tür sorularda birimler aynı olur veya soruda ne istendiği net belirtilir. Bu örnekte sayısal değerleri topladık. 👉

Bu problemde, büyük silindirin hacminden küçük silindirin hacmini çıkararak sonuca ulaşacağız.

• Adım 1: Önce büyük silindirin taban yarıçapını bulalım. Taban çevresi \( Ç = 2\pi r \) formülü ile bulunur. Verilen çevre \( 18\pi \) cm'dir.
• Adım 2: \( 18\pi = 2\pi r_{büyük} \) denklemini çözersek, \( r_{büyük} = \frac{18\pi}{2\pi} = 9 \) cm olur.
• Adım 3: Büyük silindirin hacmini hesaplayalım. Yüksekliği \( h_{büyük} = 12 \) cm ve yarıçapı \( r_{büyük} = 9 \) cm'dir. Hacim \( V_{büyük} = \pi r_{büyük}^2 h_{büyük} = \pi \times 9^2 \times 12 = \pi \times 81 \times 12 = 972\pi \) cm³ olur.
• Adım 4: Kesilecek küçük silindirin hacmini hesaplayalım. Yarıçapı \( r_{küçük} = 3 \) cm ve yüksekliği \( h_{küçük} = 12 \) cm'dir (kesilen parça da aynı yükseklikte olacaktır).
• Adım 5: Küçük silindirin hacmi \( V_{küçük} = \pi r_{küçük}^2 h_{küçük} = \pi \times 3^2 \times 12 = \pi \times 9 \times 12 = 108\pi \) cm³ olur.
• Adım 6: Geriye kalan ahşabın hacmi, büyük silindirin hacminden küçük silindirin hacminin çıkarılmasıyla bulunur: \( V_{kalan} = V_{büyük} - V_{küçük} = 972\pi - 108\pi = 864\pi \) cm³.

Sonuç olarak, geriye kalan ahşabın hacmi 864π cm³'tür. 🛠️

Bu soruda dondurma külahının hacmini hesaplayarak ne kadar dondurma alabileceğini bulacağız. Bu da bir koninin hacmini hesaplamak anlamına gelir.

• Adım 1: Koninin hacim formülü \( V = \frac{1}{3} \times Taban Alanı \times Yükseklik \) şeklindedir. Taban alanı \( A_{taban} = \pi r^2 \) ile bulunur.
• Adım 2: Verilen bilgilere göre taban yarıçapı \( r = 4 \) cm ve yükseklik \( h = 12 \) cm'dir.
• Adım 3: Taban alanını hesaplayalım: \( A_{taban} = \pi \times 4^2 = 16\pi \) cm² olur.
• Adım 4: Hacim formülünde değerleri yerine koyalım. π'yi 3 alırsak: \( V = \frac{1}{3} \times (16 \times 3) \times 12 \).
• Adım 5: Hesaplamayı yapalım: \( V = \frac{1}{3} \times 48 \times 12 = 16 \times 12 = 192 \) cm³.

Bu dondurma külahı, tamamı dolduğunda 192 cm³ dondurma alabilir. 😋

Bu soruda, prizmanın ve silindirin hacimlerini ayrı ayrı hesaplayıp oranlayacağız.

• Adım 1: Kare dik prizmanın taban ayrıt uzunluğu \( a = 8 \) cm'dir. Yüksekliği \( h \) olsun (soruda yüksekliği belirtilmemiş ama oran sorulduğu için \( h \) sabit kalacaktır).
• Adım 2: Kare prizmanın taban alanı \( A_{taban\_prizma} = a^2 = 8^2 = 64 \) cm²'dir.
• Adım 3: Kare prizmanın hacmi \( V_{prizma} = A_{taban\_prizma} \times h = 64h \) cm³ olur.
• Adım 4: Silindir, prizmanın içine yerleştirilmiştir ve tabanları tam oturmaktadır. Bu durumda silindirin taban yarıçapı, kare tabanın yarısı kadar olmalıdır. Yani, \( r_{silindir} = \frac{a}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm'dir.
• Adım 5: Silindirin yüksekliği prizmanın yüksekliğine eşittir, yani \( h_{silindir} = h \) olur.
• Adım 6: Silindirin taban alanı \( A_{taban\_silindir} = \pi r_{silindir}^2 = \pi \times 4^2 = 16\pi \) cm²'dir.
• Adım 7: Silindirin hacmi \( V_{silindir} = A_{taban\_silindir} \times h = 16\pi h \) cm³ olur.
• Adım 8: Prizmanın hacminin silindirin hacmine oranı sorulmaktadır: \( \frac{V_{prizma}}{V_{silindir}} = \frac{64h}{16\pi h} \).
• Adım 9: Sadeleştirme yaparsak: \( \frac{64}{16\pi} = \frac{4}{\pi} \).

Sonuç olarak, prizmanın hacminin silindirin hacmine oranı \( \frac{4}{\pi} \)'dir. 📊

Bu soruda, borunun dış yüzey alanını hesaplamamız gerekiyor. Boru, iç içe geçmiş iki silindirden oluşur ve boyanacak kısım dıştaki silindirin yanal yüzeyidir.

• Adım 1: Soruda verilen ölçüler farklı birimlerde (cm ve metre). Hesaplamayı metre cinsinden yapacağımız için tüm ölçüleri metreye çevirelim.
• Adım 2: Dış yarıçap \( r_{dış} = 60 \) cm = 0.6 metre'dir.
• Adım 3: Borunun uzunluğu (yüksekliği) \( h = 10 \) metre'dir.
• Adım 4: Boyanacak yüzey, dıştaki silindirin yanal yüzeyidir. Yanal yüzey alanı formülü \( A_{yanal} = 2\pi r h \) şeklindedir.
• Adım 5: Dış yarıçapı ve borunun uzunluğunu kullanarak yanal alanı hesaplayalım. π = 3 alırsak: \( A_{yanal} = 2 \times 3 \times 0.6 \text{ m} \times 10 \text{ m} \).
• Adım 6: Hesaplamayı yapalım: \( A_{yanal} = 6 \times 0.6 \times 10 = 3.6 \times 10 = 36 \) metrekare.

Bu borunun dış yüzey alanı 36 metrekare'dir ve bu alan boyanacaktır. 👷