Aşağıdaki karesel fonksiyonun parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsislerini bulunuz.
\[ f(x) = x^2 - 7x + 10 \]
Çözüm ve Açıklama
👉 Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemini çözmemiz gerekir. Bu, bir ikinci dereceden denklemi çözmek anlamına gelir.
Denklemimiz: \(x^2 - 7x + 10 = 0\)
Bu denklemi çözmek için çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz:
Çarpımları 10 ve toplamları -7 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -2 ve -5'tir.
Denklemi \((x - 2)(x - 5) = 0\) şeklinde yazabiliriz.
Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri buluruz:
\(x - 2 = 0 \implies x_1 = 2\)
\(x - 5 = 0 \implies x_2 = 5\)
Parabol, x eksenini (2, 0) ve (5, 0) noktalarında keser. ✅
Ek Bilgi: Diskriminant (\(\Delta\)) kullanarak da köklerin varlığını ve sayısını kontrol edebiliriz: \(\Delta = b^2 - 4ac\).
\(a=1, b=-7, c=10\)
\(\Delta = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9\)
\(\Delta > 0\) olduğu için iki farklı gerçek kök vardır, bu da bulduğumuz sonuçla uyumludur.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Denklemi \(y = x^2 + 2x + k\) olan parabolün x eksenine teğet olması için k değeri kaç olmalıdır?
Çözüm ve Açıklama
💡 Bir parabolün x eksenine teğet olması demek, x eksenini sadece bir noktada kesmesi demektir. Bu durumda, karesel denklemin birbirine eşit iki kökü olmalıdır. Bu durum, diskriminantın sıfır (\(\Delta = 0\)) olmasıyla sağlanır.
Verilen parabol denklemi \(y = x^2 + 2x + k\)'dir.
Parabolün x eksenine teğet olması için \(\Delta = 0\) olmalıdır.
\((2)^2 - 4(1)(k) = 0\)
\(4 - 4k = 0\)
Denklemi çözerek k değerini bulalım:
\(4 = 4k\)
\(k = 1\)
Buna göre, parabolün x eksenine teğet olması için k değeri 1 olmalıdır. ✅
5
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Tepe noktası \(T(1, -4)\) olan ve \(A(0, -3)\) noktasından geçen parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 Tepe noktası \(T(r, k)\) bilinen bir parabolün denklemi \(y = a(x - r)^2 + k\) şeklinde yazılabilir.
Verilen tepe noktası \(T(1, -4)\) olduğundan, \(r = 1\) ve \(k = -4\)'tür.
Bu değerleri genel denkleme yerleştirelim:
\(y = a(x - 1)^2 + (-4)\)
\(y = a(x - 1)^2 - 4\)
Şimdi a değerini bulmak için parabolün geçtiği \(A(0, -3)\) noktasını kullanalım. Bu nokta denklemi sağlamalıdır, yani \(x = 0\) iken \(y = -3\) olmalıdır.
\(-3 = a(0 - 1)^2 - 4\)
\(-3 = a(-1)^2 - 4\)
\(-3 = a(1) - 4\)
\(-3 = a - 4\)
Denklemi çözerek a değerini bulalım:
\(a = -3 + 4\)
\(a = 1\)
Bulduğumuz a değerini parabol denkleminde yerine yazarsak:
\(y = 1(x - 1)^2 - 4\)
\(y = (x - 1)^2 - 4\)
İfadeyi açarak genel formu elde edebiliriz:
\(y = (x^2 - 2x + 1) - 4\)
\(y = x^2 - 2x - 3\)
Parabolün denklemi \(y = x^2 - 2x - 3\)'tür. ✅
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir lunaparkta atış yapılan bir topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) ile geçen süre (saniye cinsinden) arasındaki ilişkiyi gösteren fonksiyon \(h(t) = -2t^2 + 12t + 8\) olarak verilmiştir.
Buna göre, topun çıkabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
💡 Bu problemde, topun yüksekliğini veren fonksiyon bir karesel fonksiyondur ve parabol şeklindedir. \(a = -2 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır. Bu da fonksiyonun bir maksimum değere sahip olduğu anlamına gelir. Maksimum yükseklik, parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.
Tepe Noktasının Ordinatı (k): Tepe noktası ordinatı, maksimum yüksekliği (h) verir.
\(k = h(r) = h(3)\)
\(h(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 8\)
\(h(3) = -2(9) + 36 + 8\)
\(h(3) = -18 + 36 + 8\)
\(h(3) = 18 + 8\)
\(h(3) = 26\) metre
Buna göre, topun çıkabileceği maksimum yükseklik 26 metre'dir. ✅
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir çiftçi, bir kenarı duvar olan dikdörtgen şeklinde bir kümes yapmak istiyor. Elinde 40 metre tel bulunan çiftçi, duvar kenarını kullanmayarak kalan üç kenarı telle çevirecektir. Bu kümesin alanının en fazla kaç metrekare olabileceğini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
📌 Bu problemde, dikdörtgenin alanını veren bir karesel fonksiyon oluşturup bu fonksiyonun maksimum değerini bulmamız gerekiyor.
Dikdörtgenin bir kenarı duvar olduğu için, tel ile çevrilecek üç kenar vardır. Bu kenarların uzunlukları toplamı 40 metredir.
Dikdörtgenin kısa kenarlarına \(x\) metre, uzun kenarına \(y\) metre diyelim.
Tel ile çevrilecek kenarlar: \(x\), \(x\) ve \(y\)'dir.
Bu durumda, telin uzunluğu \(2x + y = 40\) metre olur.
Buradan \(y\) kenarını \(x\) cinsinden ifade edelim: \(y = 40 - 2x\).
Dikdörtgenin alanı \(A\) ise, \(A = x \cdot y\) formülüyle bulunur.
\(y\) yerine \(40 - 2x\) yazarak alanı \(x\) cinsinden bir fonksiyon olarak ifade edelim:
Bu karesel fonksiyonun \(a = -2\) olduğu için kolları aşağıya doğrudur ve bir maksimum değere sahiptir. Maksimum alan, parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.
Tepe Noktasının Apsisi (r): Maksimum alanı veren \(x\) değerini bulalım.
\(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-2)} = -\frac{40}{-4} = 10\) metre
Yani, kısa kenarlar 10 metre olduğunda alan maksimum olur.
Tepe Noktasının Ordinatı (k): Maksimum alanı bulalım.
\(k = A(r) = A(10)\)
\(A(10) = -2(10)^2 + 40(10)\)
\(A(10) = -2(100) + 400\)
\(A(10) = -200 + 400\)
\(A(10) = 200\) metrekare
Çiftçi, bu kümesin alanını en fazla 200 metrekare yapabilir. ✅
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Denklemi \(y = x^2 - (m+1)x + 9\) olan parabol, x eksenini iki farklı noktada kestiğine göre, m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm ve Açıklama
💡 Bir parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi demek, karesel denklemin iki farklı gerçek kökü olması demektir. Bu durum, diskriminantın sıfırdan büyük (\(\Delta > 0\)) olmasıyla sağlanır.
Verilen parabol denklemi \(y = x^2 - (m+1)x + 9\)'dir.
Bu durumda işaret tablosu:
m | ... -7 ... 5 ...
--------------------------------------------------
(m-5)(m+7) | + 0 - 0 +
Eşitsizlik \((m - 5)(m + 7) > 0\) olduğu için m'nin alabileceği değerler aralığı \(m < -7\) veya \(m > 5\)'tir.
Bu aralıklardaki tam sayılar:
\(m < -7\) için: ..., -10, -9, -8
\(m > 5\) için: 6, 7, 8, ...
Soru m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını soruyor, ancak bu aralıklar sonsuza gider. Bu tür sorularda genellikle bir aralık verilir veya "belli bir aralıktaki" şeklinde bir kısıtlama olur. Eğer bir kısıtlama yoksa, bu toplamın sonsuz olduğunu belirtmeliyiz.
Revizyon: 11. sınıf müfredatında bu tarz sonsuz toplam soruları yerine, belirli bir aralıktaki tam sayı toplamları sorulur. Bu nedenle soruyu "m'nin -10 ile 10 arasındaki alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" şeklinde yorumlayalım, ya da sadece aralığı belirtelim. Eğer soru bu şekilde verilirse, "m'nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı" ifadesi hatalı olurdu. Sadece m'nin alabileceği tam sayı değerleri aralığı \(m \in (-\infty, -7) \cup (5, \infty)\) şeklinde belirtilir.
Soruyu düzeltelim ve örnek için bir aralık verelim: Eğer soru "m'nin -10 ile 10 arasındaki alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" olsaydı:
Ancak orijinal soruya sadık kalarak, m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin aralığı \(m < -7\) veya \(m > 5\) şeklindedir. Böyle bir durumda toplam sonsuz olurdu.
Cevap: m'nin alabileceği tam sayı değerleri \(m \in (-\infty, -7) \cup (5, \infty)\) aralığındaki tam sayılardır. ✅ (Bu aralıktaki tam sayıların toplamı sonsuzdur, bu yüzden sadece aralığı belirtmek daha doğru bir yaklaşımdır.)
9
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Yukarıdan aşağıya doğru sarkan bir zincirin oluşturduğu şekil, yaklaşık olarak bir parabol ile modellenebilir. Bir köprünün iki ayağı arasına gerilmiş zincir, koordinat sisteminde \(f(x) = \frac{1}{20}x^2 - 2x + 30\) fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada \(x\) köprünün sol ayağından olan yatay uzaklığı (metre), \(f(x)\) ise zincirin yerden yüksekliğini (metre) temsil etmektedir.
Bu zincirin zemine en yakın olduğu noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
👉 Zincirin zemine en yakın olduğu nokta, parabolün minimum değerini aldığı noktadır. Bu da parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.
Verilen fonksiyon: \(f(x) = \frac{1}{20}x^2 - 2x + 30\)
Yani, köprünün sol ayağından 20 metre yatay uzaklıkta zincir zemine en yakın konumdadır.
Tepe Noktasının Ordinatı (k): Minimum yüksekliği (f(x)) verir.
\(k = f(r) = f(20)\)
\(f(20) = \frac{1}{20}(20)^2 - 2(20) + 30\)
\(f(20) = \frac{1}{20}(400) - 40 + 30\)
\(f(20) = 20 - 40 + 30\)
\(f(20) = -20 + 30\)
\(f(20) = 10\) metre
Buna göre, zincirin zemine en yakın olduğu noktanın yerden yüksekliği 10 metre'dir. ✅
10
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Aşağıdaki parabollerden hangisi \(x\) eksenini kesmez?
A) \(f(x) = x^2 - 4x + 4\)
B) \(f(x) = x^2 + 2x + 3\)
C) \(f(x) = x^2 - 5x + 6\)
D) \(f(x) = -x^2 + 3x + 1\)
Çözüm ve Açıklama
📌 Bir parabolün \(x\) eksenini kesmemesi için, karesel denklemin gerçek köklerinin olmaması gerekir. Bu durum, diskriminantın sıfırdan küçük (\(\Delta < 0\)) olmasıyla sağlanır.
Her bir seçenek için diskriminantı (\(\Delta = b^2 - 4ac\)) hesaplayalım:
A) \(f(x) = x^2 - 4x + 4\)
\(a=1, b=-4, c=4\)
\(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0\)
\(\Delta = 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenine teğettir (bir noktada keser).
B) \(f(x) = x^2 + 2x + 3\)
\(a=1, b=2, c=3\)
\(\Delta = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8\)
\(\Delta < 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenini kesmez.
C) \(f(x) = x^2 - 5x + 6\)
\(a=1, b=-5, c=6\)
\(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)
\(\Delta > 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenini iki farklı noktada keser.
Aşağıdaki karesel fonksiyonun parabolünün x eksenini kestiği noktaların apsislerini bulunuz.
\[ f(x) = x^2 - 7x + 10 \]
Çözüm:
👉 Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemini çözmemiz gerekir. Bu, bir ikinci dereceden denklemi çözmek anlamına gelir.
Denklemimiz: \(x^2 - 7x + 10 = 0\)
Bu denklemi çözmek için çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz:
Çarpımları 10 ve toplamları -7 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -2 ve -5'tir.
Denklemi \((x - 2)(x - 5) = 0\) şeklinde yazabiliriz.
Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri buluruz:
\(x - 2 = 0 \implies x_1 = 2\)
\(x - 5 = 0 \implies x_2 = 5\)
Parabol, x eksenini (2, 0) ve (5, 0) noktalarında keser. ✅
Ek Bilgi: Diskriminant (\(\Delta\)) kullanarak da köklerin varlığını ve sayısını kontrol edebiliriz: \(\Delta = b^2 - 4ac\).
\(a=1, b=-7, c=10\)
\(\Delta = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9\)
\(\Delta > 0\) olduğu için iki farklı gerçek kök vardır, bu da bulduğumuz sonuçla uyumludur.
Örnek 4:
Denklemi \(y = x^2 + 2x + k\) olan parabolün x eksenine teğet olması için k değeri kaç olmalıdır?
Çözüm:
💡 Bir parabolün x eksenine teğet olması demek, x eksenini sadece bir noktada kesmesi demektir. Bu durumda, karesel denklemin birbirine eşit iki kökü olmalıdır. Bu durum, diskriminantın sıfır (\(\Delta = 0\)) olmasıyla sağlanır.
Verilen parabol denklemi \(y = x^2 + 2x + k\)'dir.
Parabolün x eksenine teğet olması için \(\Delta = 0\) olmalıdır.
\((2)^2 - 4(1)(k) = 0\)
\(4 - 4k = 0\)
Denklemi çözerek k değerini bulalım:
\(4 = 4k\)
\(k = 1\)
Buna göre, parabolün x eksenine teğet olması için k değeri 1 olmalıdır. ✅
Örnek 5:
Tepe noktası \(T(1, -4)\) olan ve \(A(0, -3)\) noktasından geçen parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm:
📌 Tepe noktası \(T(r, k)\) bilinen bir parabolün denklemi \(y = a(x - r)^2 + k\) şeklinde yazılabilir.
Verilen tepe noktası \(T(1, -4)\) olduğundan, \(r = 1\) ve \(k = -4\)'tür.
Bu değerleri genel denkleme yerleştirelim:
\(y = a(x - 1)^2 + (-4)\)
\(y = a(x - 1)^2 - 4\)
Şimdi a değerini bulmak için parabolün geçtiği \(A(0, -3)\) noktasını kullanalım. Bu nokta denklemi sağlamalıdır, yani \(x = 0\) iken \(y = -3\) olmalıdır.
\(-3 = a(0 - 1)^2 - 4\)
\(-3 = a(-1)^2 - 4\)
\(-3 = a(1) - 4\)
\(-3 = a - 4\)
Denklemi çözerek a değerini bulalım:
\(a = -3 + 4\)
\(a = 1\)
Bulduğumuz a değerini parabol denkleminde yerine yazarsak:
\(y = 1(x - 1)^2 - 4\)
\(y = (x - 1)^2 - 4\)
İfadeyi açarak genel formu elde edebiliriz:
\(y = (x^2 - 2x + 1) - 4\)
\(y = x^2 - 2x - 3\)
Parabolün denklemi \(y = x^2 - 2x - 3\)'tür. ✅
Örnek 6:
Bir lunaparkta atış yapılan bir topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) ile geçen süre (saniye cinsinden) arasındaki ilişkiyi gösteren fonksiyon \(h(t) = -2t^2 + 12t + 8\) olarak verilmiştir.
Buna göre, topun çıkabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?
Çözüm:
💡 Bu problemde, topun yüksekliğini veren fonksiyon bir karesel fonksiyondur ve parabol şeklindedir. \(a = -2 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır. Bu da fonksiyonun bir maksimum değere sahip olduğu anlamına gelir. Maksimum yükseklik, parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.
Tepe Noktasının Ordinatı (k): Tepe noktası ordinatı, maksimum yüksekliği (h) verir.
\(k = h(r) = h(3)\)
\(h(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 8\)
\(h(3) = -2(9) + 36 + 8\)
\(h(3) = -18 + 36 + 8\)
\(h(3) = 18 + 8\)
\(h(3) = 26\) metre
Buna göre, topun çıkabileceği maksimum yükseklik 26 metre'dir. ✅
Örnek 7:
Bir çiftçi, bir kenarı duvar olan dikdörtgen şeklinde bir kümes yapmak istiyor. Elinde 40 metre tel bulunan çiftçi, duvar kenarını kullanmayarak kalan üç kenarı telle çevirecektir. Bu kümesin alanının en fazla kaç metrekare olabileceğini bulunuz.
Çözüm:
📌 Bu problemde, dikdörtgenin alanını veren bir karesel fonksiyon oluşturup bu fonksiyonun maksimum değerini bulmamız gerekiyor.
Dikdörtgenin bir kenarı duvar olduğu için, tel ile çevrilecek üç kenar vardır. Bu kenarların uzunlukları toplamı 40 metredir.
Dikdörtgenin kısa kenarlarına \(x\) metre, uzun kenarına \(y\) metre diyelim.
Tel ile çevrilecek kenarlar: \(x\), \(x\) ve \(y\)'dir.
Bu durumda, telin uzunluğu \(2x + y = 40\) metre olur.
Buradan \(y\) kenarını \(x\) cinsinden ifade edelim: \(y = 40 - 2x\).
Dikdörtgenin alanı \(A\) ise, \(A = x \cdot y\) formülüyle bulunur.
\(y\) yerine \(40 - 2x\) yazarak alanı \(x\) cinsinden bir fonksiyon olarak ifade edelim:
Bu karesel fonksiyonun \(a = -2\) olduğu için kolları aşağıya doğrudur ve bir maksimum değere sahiptir. Maksimum alan, parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.
Tepe Noktasının Apsisi (r): Maksimum alanı veren \(x\) değerini bulalım.
\(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-2)} = -\frac{40}{-4} = 10\) metre
Yani, kısa kenarlar 10 metre olduğunda alan maksimum olur.
Tepe Noktasının Ordinatı (k): Maksimum alanı bulalım.
\(k = A(r) = A(10)\)
\(A(10) = -2(10)^2 + 40(10)\)
\(A(10) = -2(100) + 400\)
\(A(10) = -200 + 400\)
\(A(10) = 200\) metrekare
Çiftçi, bu kümesin alanını en fazla 200 metrekare yapabilir. ✅
Örnek 8:
Denklemi \(y = x^2 - (m+1)x + 9\) olan parabol, x eksenini iki farklı noktada kestiğine göre, m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?
Çözüm:
💡 Bir parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi demek, karesel denklemin iki farklı gerçek kökü olması demektir. Bu durum, diskriminantın sıfırdan büyük (\(\Delta > 0\)) olmasıyla sağlanır.
Verilen parabol denklemi \(y = x^2 - (m+1)x + 9\)'dir.
Bu durumda işaret tablosu:
m | ... -7 ... 5 ...
--------------------------------------------------
(m-5)(m+7) | + 0 - 0 +
Eşitsizlik \((m - 5)(m + 7) > 0\) olduğu için m'nin alabileceği değerler aralığı \(m < -7\) veya \(m > 5\)'tir.
Bu aralıklardaki tam sayılar:
\(m < -7\) için: ..., -10, -9, -8
\(m > 5\) için: 6, 7, 8, ...
Soru m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını soruyor, ancak bu aralıklar sonsuza gider. Bu tür sorularda genellikle bir aralık verilir veya "belli bir aralıktaki" şeklinde bir kısıtlama olur. Eğer bir kısıtlama yoksa, bu toplamın sonsuz olduğunu belirtmeliyiz.
Revizyon: 11. sınıf müfredatında bu tarz sonsuz toplam soruları yerine, belirli bir aralıktaki tam sayı toplamları sorulur. Bu nedenle soruyu "m'nin -10 ile 10 arasındaki alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" şeklinde yorumlayalım, ya da sadece aralığı belirtelim. Eğer soru bu şekilde verilirse, "m'nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı" ifadesi hatalı olurdu. Sadece m'nin alabileceği tam sayı değerleri aralığı \(m \in (-\infty, -7) \cup (5, \infty)\) şeklinde belirtilir.
Soruyu düzeltelim ve örnek için bir aralık verelim: Eğer soru "m'nin -10 ile 10 arasındaki alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" olsaydı:
Ancak orijinal soruya sadık kalarak, m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin aralığı \(m < -7\) veya \(m > 5\) şeklindedir. Böyle bir durumda toplam sonsuz olurdu.
Cevap: m'nin alabileceği tam sayı değerleri \(m \in (-\infty, -7) \cup (5, \infty)\) aralığındaki tam sayılardır. ✅ (Bu aralıktaki tam sayıların toplamı sonsuzdur, bu yüzden sadece aralığı belirtmek daha doğru bir yaklaşımdır.)
Örnek 9:
Yukarıdan aşağıya doğru sarkan bir zincirin oluşturduğu şekil, yaklaşık olarak bir parabol ile modellenebilir. Bir köprünün iki ayağı arasına gerilmiş zincir, koordinat sisteminde \(f(x) = \frac{1}{20}x^2 - 2x + 30\) fonksiyonu ile modellenmiştir. Burada \(x\) köprünün sol ayağından olan yatay uzaklığı (metre), \(f(x)\) ise zincirin yerden yüksekliğini (metre) temsil etmektedir.
Bu zincirin zemine en yakın olduğu noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?
Çözüm:
👉 Zincirin zemine en yakın olduğu nokta, parabolün minimum değerini aldığı noktadır. Bu da parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.
Verilen fonksiyon: \(f(x) = \frac{1}{20}x^2 - 2x + 30\)
Yani, köprünün sol ayağından 20 metre yatay uzaklıkta zincir zemine en yakın konumdadır.
Tepe Noktasının Ordinatı (k): Minimum yüksekliği (f(x)) verir.
\(k = f(r) = f(20)\)
\(f(20) = \frac{1}{20}(20)^2 - 2(20) + 30\)
\(f(20) = \frac{1}{20}(400) - 40 + 30\)
\(f(20) = 20 - 40 + 30\)
\(f(20) = -20 + 30\)
\(f(20) = 10\) metre
Buna göre, zincirin zemine en yakın olduğu noktanın yerden yüksekliği 10 metre'dir. ✅
Örnek 10:
Aşağıdaki parabollerden hangisi \(x\) eksenini kesmez?
A) \(f(x) = x^2 - 4x + 4\)
B) \(f(x) = x^2 + 2x + 3\)
C) \(f(x) = x^2 - 5x + 6\)
D) \(f(x) = -x^2 + 3x + 1\)
Çözüm:
📌 Bir parabolün \(x\) eksenini kesmemesi için, karesel denklemin gerçek köklerinin olmaması gerekir. Bu durum, diskriminantın sıfırdan küçük (\(\Delta < 0\)) olmasıyla sağlanır.
Her bir seçenek için diskriminantı (\(\Delta = b^2 - 4ac\)) hesaplayalım:
A) \(f(x) = x^2 - 4x + 4\)
\(a=1, b=-4, c=4\)
\(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0\)
\(\Delta = 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenine teğettir (bir noktada keser).
B) \(f(x) = x^2 + 2x + 3\)
\(a=1, b=2, c=3\)
\(\Delta = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8\)
\(\Delta < 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenini kesmez.
C) \(f(x) = x^2 - 5x + 6\)
\(a=1, b=-5, c=6\)
\(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)
\(\Delta > 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenini iki farklı noktada keser.