💡 11. Sınıf Matematik: Karesel Fonksiyonlar Ve Paraboller Çözümlü Örnekler

👉 Bir karesel fonksiyonun genel denklemi \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklindedir.

• Kolların Yönü: Karesel fonksiyonlarda parabolün kollarının yönü, \(x^2\) teriminin katsayısı olan a değerine bağlıdır.
• Eğer \(a > 0\) ise parabolün kolları yukarı doğru açılır. ⬆️
• Eğer \(a < 0\) ise parabolün kolları aşağı doğru açılır. ⬇️
• Verilen fonksiyonda \(a = 3\) olduğu için \(a > 0\)'dır. Bu nedenle parabolün kolları yukarı doğru açılır.


• Y Ekseni Kestiği Nokta: Bir fonksiyonun y eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) değerini fonksiyonda yerine yazarız.
• \(f(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 5\)
• \(f(0) = 0 - 0 + 5\)
• \(f(0) = 5\)
• Parabol y eksenini (0, 5) noktasında keser. ✅

💡 Bir karesel fonksiyonun \(f(x) = ax^2 + bx + c\) şeklindeki denklemi için tepe noktası \(T(r, k)\) ile gösterilir.

• Tepe Noktasının Apsisi (r): Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülüyle bulunur.
• Verilen fonksiyonda \(a = -1\) ve \(b = 4\)'tür.
• \(r = -\frac{4}{2(-1)} = -\frac{4}{-2} = 2\)


• Tepe Noktasının Ordinatı (k): Tepe noktasının ordinatı, fonksiyonun \(x = r\) noktasındaki değeridir, yani \(k = f(r)\)'dir.
• \(k = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 1\)
• \(k = -4 + 8 - 1\)
• \(k = 3\)
• Buna göre, parabolün tepe noktası T(2, 3)'tür. 📌


• Simetri Ekseni: Bir parabolün simetri ekseni, tepe noktasından geçen ve y eksenine paralel olan doğru denklemidir. Bu doğru, \(x = r\) doğrusudur.
• Tepe noktasının apsisi \(r = 2\) olduğundan, simetri ekseninin denklemi \(x = 2\)'dir. ✅

👉 Bir fonksiyonun x eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemini çözmemiz gerekir. Bu, bir ikinci dereceden denklemi çözmek anlamına gelir.

• Denklemimiz: \(x^2 - 7x + 10 = 0\)
• Bu denklemi çözmek için çarpanlara ayırma yöntemini kullanabiliriz:
• Çarpımları 10 ve toplamları -7 olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar -2 ve -5'tir.
• Denklemi \((x - 2)(x - 5) = 0\) şeklinde yazabiliriz.
• Her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek kökleri buluruz:
• \(x - 2 = 0 \implies x_1 = 2\)
• \(x - 5 = 0 \implies x_2 = 5\)
• Parabol, x eksenini (2, 0) ve (5, 0) noktalarında keser. ✅
• Ek Bilgi: Diskriminant (\(\Delta\)) kullanarak da köklerin varlığını ve sayısını kontrol edebiliriz: \(\Delta = b^2 - 4ac\).
• \(a=1, b=-7, c=10\)
• \(\Delta = (-7)^2 - 4(1)(10) = 49 - 40 = 9\)
• \(\Delta > 0\) olduğu için iki farklı gerçek kök vardır, bu da bulduğumuz sonuçla uyumludur.

💡 Bir parabolün x eksenine teğet olması demek, x eksenini sadece bir noktada kesmesi demektir. Bu durumda, karesel denklemin birbirine eşit iki kökü olmalıdır. Bu durum, diskriminantın sıfır (\(\Delta = 0\)) olmasıyla sağlanır.

• Verilen parabol denklemi \(y = x^2 + 2x + k\)'dir.
• Bu denklemde katsayılar: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = k\)'dir.


• Diskriminant formülü: \(\Delta = b^2 - 4ac\)
• Parabolün x eksenine teğet olması için \(\Delta = 0\) olmalıdır.
• \((2)^2 - 4(1)(k) = 0\)
• \(4 - 4k = 0\)


• Denklemi çözerek k değerini bulalım:
• \(4 = 4k\)
• \(k = 1\)
• Buna göre, parabolün x eksenine teğet olması için k değeri 1 olmalıdır. ✅

📌 Tepe noktası \(T(r, k)\) bilinen bir parabolün denklemi \(y = a(x - r)^2 + k\) şeklinde yazılabilir.

• Verilen tepe noktası \(T(1, -4)\) olduğundan, \(r = 1\) ve \(k = -4\)'tür.
• Bu değerleri genel denkleme yerleştirelim:
• \(y = a(x - 1)^2 + (-4)\)
• \(y = a(x - 1)^2 - 4\)


• Şimdi a değerini bulmak için parabolün geçtiği \(A(0, -3)\) noktasını kullanalım. Bu nokta denklemi sağlamalıdır, yani \(x = 0\) iken \(y = -3\) olmalıdır.
• \(-3 = a(0 - 1)^2 - 4\)
• \(-3 = a(-1)^2 - 4\)
• \(-3 = a(1) - 4\)
• \(-3 = a - 4\)


• Denklemi çözerek a değerini bulalım:
• \(a = -3 + 4\)
• \(a = 1\)


• Bulduğumuz a değerini parabol denkleminde yerine yazarsak:
• \(y = 1(x - 1)^2 - 4\)
• \(y = (x - 1)^2 - 4\)


• İfadeyi açarak genel formu elde edebiliriz:
• \(y = (x^2 - 2x + 1) - 4\)
• \(y = x^2 - 2x - 3\)
• Parabolün denklemi \(y = x^2 - 2x - 3\)'tür. ✅

💡 Bu problemde, topun yüksekliğini veren fonksiyon bir karesel fonksiyondur ve parabol şeklindedir. \(a = -2 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğru açılır. Bu da fonksiyonun bir maksimum değere sahip olduğu anlamına gelir. Maksimum yükseklik, parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.

• Verilen fonksiyon: \(h(t) = -2t^2 + 12t + 8\)
• Katsayılar: \(a = -2\), \(b = 12\), \(c = 8\)'dir.


• Tepe Noktasının Apsisi (r): Tepe noktası apsisi, maksimum yüksekliğe ulaşılan zamanı (t) verir.
• \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(-2)} = -\frac{12}{-4} = 3\) saniye
• Yani top 3 saniyede maksimum yüksekliğe ulaşır.


• Tepe Noktasının Ordinatı (k): Tepe noktası ordinatı, maksimum yüksekliği (h) verir.
• \(k = h(r) = h(3)\)
• \(h(3) = -2(3)^2 + 12(3) + 8\)
• \(h(3) = -2(9) + 36 + 8\)
• \(h(3) = -18 + 36 + 8\)
• \(h(3) = 18 + 8\)
• \(h(3) = 26\) metre
• Buna göre, topun çıkabileceği maksimum yükseklik 26 metre'dir. ✅

📌 Bu problemde, dikdörtgenin alanını veren bir karesel fonksiyon oluşturup bu fonksiyonun maksimum değerini bulmamız gerekiyor.

• Dikdörtgenin bir kenarı duvar olduğu için, tel ile çevrilecek üç kenar vardır. Bu kenarların uzunlukları toplamı 40 metredir.
• Dikdörtgenin kısa kenarlarına \(x\) metre, uzun kenarına \(y\) metre diyelim.
• Tel ile çevrilecek kenarlar: \(x\), \(x\) ve \(y\)'dir.
• Bu durumda, telin uzunluğu \(2x + y = 40\) metre olur.
• Buradan \(y\) kenarını \(x\) cinsinden ifade edelim: \(y = 40 - 2x\).


• Dikdörtgenin alanı \(A\) ise, \(A = x \cdot y\) formülüyle bulunur.
• \(y\) yerine \(40 - 2x\) yazarak alanı \(x\) cinsinden bir fonksiyon olarak ifade edelim:
• \(A(x) = x(40 - 2x)\)
• \(A(x) = 40x - 2x^2\)
• Denklemi standart karesel fonksiyon formunda yazalım: \(A(x) = -2x^2 + 40x\)


• Bu karesel fonksiyonun \(a = -2\) olduğu için kolları aşağıya doğrudur ve bir maksimum değere sahiptir. Maksimum alan, parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.
• Katsayılar: \(a = -2\), \(b = 40\), \(c = 0\)'dır.


• Tepe Noktasının Apsisi (r): Maksimum alanı veren \(x\) değerini bulalım.
• \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{40}{2(-2)} = -\frac{40}{-4} = 10\) metre
• Yani, kısa kenarlar 10 metre olduğunda alan maksimum olur.


• Tepe Noktasının Ordinatı (k): Maksimum alanı bulalım.
• \(k = A(r) = A(10)\)
• \(A(10) = -2(10)^2 + 40(10)\)
• \(A(10) = -2(100) + 400\)
• \(A(10) = -200 + 400\)
• \(A(10) = 200\) metrekare
• Çiftçi, bu kümesin alanını en fazla 200 metrekare yapabilir. ✅

💡 Bir parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi demek, karesel denklemin iki farklı gerçek kökü olması demektir. Bu durum, diskriminantın sıfırdan büyük (\(\Delta > 0\)) olmasıyla sağlanır.

• Verilen parabol denklemi \(y = x^2 - (m+1)x + 9\)'dir.
• Bu denklemde katsayılar: \(a = 1\), \(b = -(m+1)\), \(c = 9\)'dur.


• Diskriminant formülü: \(\Delta = b^2 - 4ac\)
• Parabolün x eksenini iki farklı noktada kesmesi için \(\Delta > 0\) olmalıdır.
• \((-(m+1))^2 - 4(1)(9) > 0\)
• \((m+1)^2 - 36 > 0\)


• Bu bir eşitsizliktir. Eşitsizliği çözmek için çarpanlara ayıralım:
• \((m+1)^2 - 6^2 > 0\)
• Bu ifade iki kare farkı özdeşliğidir: \((A^2 - B^2 = (A-B)(A+B))\)
• \((m+1 - 6)(m+1 + 6) > 0\)
• \((m - 5)(m + 7) > 0\)


• Bu eşitsizliğin kökleri \(m = 5\) ve \(m = -7\)'dir.
• İşaret tablosu oluşturarak eşitsizliği çözelim:
• Kökler: -7 ve 5
• \((m - 5)(m + 7)\) ifadesinin baş katsayısı pozitif (\(m^2\) teriminin katsayısı 1'dir).
• Bu durumda işaret tablosu:
  m | ... -7 ... 5 ...
  --------------------------------------------------
  (m-5)(m+7) | + 0 - 0 +


• Eşitsizlik \((m - 5)(m + 7) > 0\) olduğu için m'nin alabileceği değerler aralığı \(m < -7\) veya \(m > 5\)'tir.
• Bu aralıklardaki tam sayılar:
• \(m < -7\) için: ..., -10, -9, -8
• \(m > 5\) için: 6, 7, 8, ...
• Soru m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamını soruyor, ancak bu aralıklar sonsuza gider. Bu tür sorularda genellikle bir aralık verilir veya "belli bir aralıktaki" şeklinde bir kısıtlama olur. Eğer bir kısıtlama yoksa, bu toplamın sonsuz olduğunu belirtmeliyiz.
• Revizyon: 11. sınıf müfredatında bu tarz sonsuz toplam soruları yerine, belirli bir aralıktaki tam sayı toplamları sorulur. Bu nedenle soruyu "m'nin -10 ile 10 arasındaki alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" şeklinde yorumlayalım, ya da sadece aralığı belirtelim. Eğer soru bu şekilde verilirse, "m'nin alabileceği tam sayı değerleri toplamı" ifadesi hatalı olurdu. Sadece m'nin alabileceği tam sayı değerleri aralığı \(m \in (-\infty, -7) \cup (5, \infty)\) şeklinde belirtilir.
• Soruyu düzeltelim ve örnek için bir aralık verelim: Eğer soru "m'nin -10 ile 10 arasındaki alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı" olsaydı:
• \(m \in \{-10, -9, -8\} \cup \{6, 7, 8, 9, 10\}\)
• Toplam = \((-10) + (-9) + (-8) + 6 + 7 + 8 + 9 + 10\)
• Toplam = \((-10 + 10) + (-9 + 9) + (-8 + 8) + 6 + 7\)
• Toplam = \(0 + 0 + 0 + 6 + 7 = 13\)
• Ancak orijinal soruya sadık kalarak, m'nin alabileceği tam sayı değerlerinin aralığı \(m < -7\) veya \(m > 5\) şeklindedir. Böyle bir durumda toplam sonsuz olurdu.
• Cevap: m'nin alabileceği tam sayı değerleri \(m \in (-\infty, -7) \cup (5, \infty)\) aralığındaki tam sayılardır. ✅ (Bu aralıktaki tam sayıların toplamı sonsuzdur, bu yüzden sadece aralığı belirtmek daha doğru bir yaklaşımdır.)

👉 Zincirin zemine en yakın olduğu nokta, parabolün minimum değerini aldığı noktadır. Bu da parabolün tepe noktasının ordinatına (k) karşılık gelir.

• Verilen fonksiyon: \(f(x) = \frac{1}{20}x^2 - 2x + 30\)
• Katsayılar: \(a = \frac{1}{20}\), \(b = -2\), \(c = 30\)'dur.
• \(a = \frac{1}{20} > 0\) olduğu için parabolün kolları yukarıya doğru açılır ve bir minimum değere sahiptir.


• Tepe Noktasının Apsisi (r): Minimum yüksekliğe ulaşılan yatay uzaklığı (x) verir.
• \(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(\frac{1}{20})} = -\frac{-2}{\frac{2}{20}} = \frac{2}{\frac{1}{10}} = 2 \times 10 = 20\) metre
• Yani, köprünün sol ayağından 20 metre yatay uzaklıkta zincir zemine en yakın konumdadır.


• Tepe Noktasının Ordinatı (k): Minimum yüksekliği (f(x)) verir.
• \(k = f(r) = f(20)\)
• \(f(20) = \frac{1}{20}(20)^2 - 2(20) + 30\)
• \(f(20) = \frac{1}{20}(400) - 40 + 30\)
• \(f(20) = 20 - 40 + 30\)
• \(f(20) = -20 + 30\)
• \(f(20) = 10\) metre
• Buna göre, zincirin zemine en yakın olduğu noktanın yerden yüksekliği 10 metre'dir. ✅

📌 Bir parabolün \(x\) eksenini kesmemesi için, karesel denklemin gerçek köklerinin olmaması gerekir. Bu durum, diskriminantın sıfırdan küçük (\(\Delta < 0\)) olmasıyla sağlanır.

• Her bir seçenek için diskriminantı (\(\Delta = b^2 - 4ac\)) hesaplayalım:


• A) \(f(x) = x^2 - 4x + 4\)
• \(a=1, b=-4, c=4\)
• \(\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0\)
• \(\Delta = 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenine teğettir (bir noktada keser).


• B) \(f(x) = x^2 + 2x + 3\)
• \(a=1, b=2, c=3\)
• \(\Delta = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8\)
• \(\Delta < 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenini kesmez.


• C) \(f(x) = x^2 - 5x + 6\)
• \(a=1, b=-5, c=6\)
• \(\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1\)
• \(\Delta > 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenini iki farklı noktada keser.


• D) \(f(x) = -x^2 + 3x + 1\)
• \(a=-1, b=3, c=1\)
• \(\Delta = (3)^2 - 4(-1)(1) = 9 - (-4) = 9 + 4 = 13\)
• \(\Delta > 0\) olduğu için parabol \(x\) eksenini iki farklı noktada keser.


• Sonuç olarak, \(x\) eksenini kesmeyen parabol B seçeneğindeki \(f(x) = x^2 + 2x + 3\)'tür. ✅