🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: İkizkenar yamuk Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: İkizkenar yamuk Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Taban uzunlukları 10 cm ve 16 cm, yükseklik 4 cm olan bir ikizkenar yamuğun çevresi kaç cm'dir? 💡
Çözüm:
- İkizkenar Yamuk Özelliği: İkizkenar yamukta, tabanlara ait olmayan kenar uzunlukları eşittir.
- Tabanlar ve Yükseklik: Verilen tabanlar \( a = 16 \) cm ve \( b = 10 \) cm, yükseklik \( h = 4 \) cm.
- Yan Kenarı Bulma: Yamuğun tabanına paralel ve üst köşeden karşı tabana indirilen dikme, alt tabanı 3 parçaya ayırır. Ortadaki parça üst tabana eşittir (\( 10 \) cm). Kenarlarda oluşan dik üçgenlerde, dik kenarlardan biri yükseklik (\( 4 \) cm) ve diğer kenar \( \frac{16 - 10}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm olur.
- Pisagor Teoremi: Yan kenar uzunluğu \( c \) olsun. \( c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25 \). Buradan \( c = \sqrt{25} = 5 \) cm bulunur.
- Çevre Hesaplama: Çevre \( = a + b + 2c = 16 + 10 + 2 \times 5 = 26 + 10 = 36 \) cm'dir. ✅
Örnek 2:
Tabanları 12 cm ve 20 cm olan bir ikizkenar yamuğun çevresi 64 cm ise, bu yamuğun yüksekliği kaç cm'dir? 🤔
Çözüm:
- Verilenler: Alt taban \( a = 20 \) cm, üst taban \( b = 12 \) cm, çevre \( Ç = 64 \) cm.
- Yan Kenar Uzunluğu: İkizkenar yamukta iki yan kenar eşittir. Çevre formülü \( Ç = a + b + 2c \) olduğundan, \( 64 = 20 + 12 + 2c \).
- Denklemi Çözme: \( 64 = 32 + 2c \Rightarrow 2c = 64 - 32 \Rightarrow 2c = 32 \Rightarrow c = 16 \) cm.
- Yan Kenara Ait Dik Üçgen: Alt tabandan üst tabana indirilen dikmelerle oluşan dik üçgenin dik kenarlarından biri yükseklik \( h \) ve diğeri \( \frac{a - b}{2} \) olur.
- Kenar Uzunluğunu Hesaplama: \( \frac{20 - 12}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm.
- Pisagor Teoremi: Dik üçgende \( h^2 + 4^2 = 16^2 \). \( h^2 + 16 = 256 \). \( h^2 = 256 - 16 = 240 \).
- Yüksekliği Bulma: \( h = \sqrt{240} = \sqrt{16 \times 15} = 4\sqrt{15} \) cm'dir. 📏
Örnek 3:
Taban uzunlukları 8 cm ve 14 cm, yan kenar uzunluğu 5 cm olan bir ikizkenar yamuğun alanı kaç cm²'dir? 📐
Çözüm:
- Verilenler: Alt taban \( a = 14 \) cm, üst taban \( b = 8 \) cm, yan kenar \( c = 5 \) cm.
- Yüksekliği Bulma: İkizkenar yamukta, alt tabandan indirilen dikmelerle oluşan dik üçgenin bir dik kenarı \( \frac{a - b}{2} \) olur. Bu kenar \( \frac{14 - 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) cm'dir.
- Pisagor Teoremi: Dik üçgende yükseklik \( h \) olsun. \( h^2 + 3^2 = 5^2 \). \( h^2 + 9 = 25 \). \( h^2 = 16 \). Buradan \( h = 4 \) cm bulunur.
- Alan Formülü: Yamuğun alanı \( A = \frac{(a+b) \times h}{2} \) formülü ile hesaplanır.
- Alanı Hesaplama: \( A = \frac{(14+8) \times 4}{2} = \frac{22 \times 4}{2} = \frac{88}{2} = 44 \) cm²'dir. 🌟
Örnek 4:
Bir mimar, park için tasarladığı bir süs havuzunun üstten görünümünü ikizkenar yamuk şeklinde yapacaktır. Havuzun üst tabanı 6 metre, alt tabanı 10 metre ve havuzun derinliği (yamuğun yüksekliği) 3 metre olacaktır. Bu havuzun tabanını kaplamak için kaç metrekare fayans gereklidir? 🏊
Çözüm:
- Problem Analizi: Bu soruda havuzun tabanını kaplamak için gereken fayans miktarı, ikizkenar yamuğun alanına eşittir.
- Verilenler: Üst taban \( b = 6 \) m, alt taban \( a = 10 \) m, yükseklik \( h = 3 \) m.
- Alan Formülü: Yamuğun alanı \( A = \frac{(a+b) \times h}{2} \) formülü ile bulunur.
- Alanı Hesaplama: \( A = \frac{(10+6) \times 3}{2} = \frac{16 \times 3}{2} = \frac{48}{2} = 24 \) metrekare.
- Sonuç: Havuzun tabanını kaplamak için 24 metrekare fayans gereklidir. 🧱
Örnek 5:
Tabanları \( 2x \) cm ve \( 6x \) cm olan bir ikizkenar yamuğun çevresi \( 32 \) cm'dir. Yamuğun yüksekliği \( 3 \) cm olduğuna göre, \( x \) değeri kaçtır? 📈
Çözüm:
- Verilenler: Alt taban \( a = 6x \) cm, üst taban \( b = 2x \) cm, çevre \( Ç = 32 \) cm, yükseklik \( h = 3 \) cm.
- Yan Kenar Uzunluğu: İkizkenar yamukta yan kenar uzunluğu \( c \) olsun. \( Ç = a + b + 2c \).
- Denklem Kurma: \( 32 = 6x + 2x + 2c \Rightarrow 32 = 8x + 2c \).
- Dik Üçgen ile İlişki: Alt tabandan indirilen dikme ile oluşan dik üçgenin bir dik kenarı \( \frac{a-b}{2} = \frac{6x-2x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x \) olur.
- Pisagor Teoremi: Dik üçgende \( h^2 + (2x)^2 = c^2 \). \( 3^2 + (2x)^2 = c^2 \Rightarrow 9 + 4x^2 = c^2 \). Buradan \( c = \sqrt{9 + 4x^2} \) elde edilir.
- Çevre Denklemine Yerleştirme: \( 32 = 8x + 2\sqrt{9 + 4x^2} \).
- Denklemi Çözme: Bu denklem doğrudan çözülmek yerine, verilen seçenekler veya deneme yanılma ile çözülebilir. Ancak, \( c \) değerinin tam sayı olması bekleniyorsa, \( 3, 4, 5 \) üçgeni gibi durumlar düşünülebilir. Eğer \( c=5 \) olursa, \( 32 = 8x + 2(5) \Rightarrow 32 = 8x + 10 \Rightarrow 8x = 22 \Rightarrow x = \frac{22}{8} = \frac{11}{4} \). Bu durumda \( 2x = \frac{11}{2} \). Dik üçgen kenarları \( 3, \frac{11}{2} \) olur. \( c^2 = 3^2 + (\frac{11}{2})^2 = 9 + \frac{121}{4} = \frac{36+121}{4} = \frac{157}{4} \). \( c = \frac{\sqrt{157}}{2} \neq 5 \). Bu yol karmaşıktır.
- Alternatif Yaklaşım (Deneme Yanılma veya Seçenekli): Eğer \( x=2 \) olsaydı, tabanlar \( 4 \) ve \( 12 \) olurdu. Yan kenar \( c \). \( 4+12+2c = 32 \Rightarrow 16+2c=32 \Rightarrow 2c=16 \Rightarrow c=8 \). Dik üçgenin kenarları \( 3 \) ve \( \frac{12-4}{2} = 4 \) olurdu. \( 3^2+4^2 = 9+16=25 \neq 8^2 \).
- Doğru Çözüm Yolu: \( 32 = 8x + 2c \Rightarrow 16 = 4x + c \Rightarrow c = 16 - 4x \). Bunu Pisagor denklemine koyalım: \( 9 + 4x^2 = (16 - 4x)^2 \). \( 9 + 4x^2 = 256 - 128x + 16x^2 \). \( 12x^2 - 128x + 247 = 0 \). Bu denklem de karmaşıktır. Soruda bir hata olabilir veya \( x \) tam sayı olmayabilir. Eğer \( x=3 \) olsaydı, tabanlar \( 6 \) ve \( 18 \) olurdu. \( 6+18+2c=32 \Rightarrow 24+2c=32 \Rightarrow 2c=8 \Rightarrow c=4 \). Dik üçgenin kenarları \( 3 \) ve \( \frac{18-6}{2} = 6 \) olurdu. \( 3^2+6^2 = 9+36=45 \neq 4^2 \).
- Soruyu Yeniden Değerlendirme: Eğer \( x \) değeri \( 3 \) olsaydı, tabanlar \( 6 \) ve \( 18 \) cm olurdu. Yan kenar \( c \) olsun. \( 6+18+2c=32 \Rightarrow 24+2c=32 \Rightarrow 2c=8 \Rightarrow c=4 \) cm. Dik üçgenin dik kenarları \( 3 \) cm (yükseklik) ve \( \frac{18-6}{2} = 6 \) cm olurdu. \( 3^2 + 6^2 = 9 + 36 = 45 \). \( c^2 = 4^2 = 16 \). \( 45 \neq 16 \). Soruda bir tutarsızlık var gibi görünüyor. Eğer \( c=5 \) olsaydı, \( 32 = 8x + 10 \Rightarrow 8x = 22 \Rightarrow x = 11/4 \). O zaman dik kenar \( 2x = 11/2 \) olurdu. \( 3^2 + (11/2)^2 = 9 + 121/4 = (36+121)/4 = 157/4 \). \( c^2 = 5^2 = 25 \). \( 157/4 \neq 25 \).
- Varsayımsal Düzeltme: Eğer yan kenar \( 5 \) cm olsaydı ve yükseklik \( 4 \) cm olsaydı, \( x \) değeri \( 3 \) olurdu. Ancak yükseklik \( 3 \) cm verilmiş. Sorunun orijinal haliyle çözümü karmaşıktır. Eğer \( x=3 \) olsaydı, tabanlar \( 6 \) ve \( 18 \), yan kenar \( 4 \) olurdu. Yükseklik \( 3 \) olduğunda, dik kenar \( \sqrt{4^2-3^2} = \sqrt{16-9} = \sqrt{7} \) olurdu. \( \frac{18-6}{2} = 6 \neq \sqrt{7} \).
- En Olası Durum (Sorunun Niyetine Göre): Eğer soruda yan kenar \( c \) yerine \( 3x \) gibi bir ifade olsaydı veya \( x \) değeri için belirli bir seçenek verilseydi daha kolay olurdu. Mevcut haliyle, \( x \) değeri \( 3 \) olsaydı, tabanlar \( 6 \) ve \( 18 \), yan kenar \( 4 \) olurdu. Yükseklik \( 3 \) olduğunda, dik üçgenin yatay kenarı \( \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{7} \) olmalıydı. Ancak \( \frac{18-6}{2} = 6 \) olmalı. Bu bir çelişkidir.
- Varsayımsal Çözüm: Sorunun orijinal haliyle \( x \) değeri tam sayı çıkmıyor. Eğer \( x=3 \) olsaydı ve yan kenar \( 5 \) olsaydı, tabanlar \( 6 \) ve \( 18 \) olurdu. \( 6+18+2(5) = 34 \neq 32 \).
- Öğretim Amaçlı Varsayım: Eğer soruda \( x=3 \) doğru cevap olsaydı, o zaman tabanlar \( 6 \) ve \( 18 \) olurdu. Yan kenar \( c \) olsaydı, \( 6+18+2c=32 \Rightarrow 24+2c=32 \Rightarrow 2c=8 \Rightarrow c=4 \). Bu durumda dik üçgenin dik kenarları \( 3 \) (yükseklik) ve \( \frac{18-6}{2}=6 \) olurdu. \( 3^2+6^2 = 9+36=45 \neq 4^2 \). Soruda bir tutarsızlık bulunmaktadır. Bu tür sorular genellikle tam sayılarla veya basit kesirlerle sonuçlanır.
- Varsayımsal Düzeltme ile Çözüm: Eğer yan kenar uzunluğu \( 5 \) cm olsaydı ve yükseklik \( 3 \) cm olsaydı, dik üçgenin yatay kenarı \( \sqrt{5^2-3^2} = \sqrt{25-9} = \sqrt{16} = 4 \) cm olurdu. Bu durumda \( \frac{a-b}{2} = 4 \). \( a=6x, b=2x \Rightarrow \frac{6x-2x}{2} = 4 \Rightarrow \frac{4x}{2} = 4 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x=2 \). Bu durumda tabanlar \( 2x=4 \) ve \( 6x=12 \) olurdu. Yan kenar \( 5 \) cm. Çevre \( 4+12+2(5) = 16+10=26 \neq 32 \).
- Sonuç: Sorunun mevcut haliyle, verilen bilgilerle tutarlı bir \( x \) değeri bulunamamaktadır. Bu tür soruların genellikle daha net ve çözülebilir olması beklenir. Eğer sorunun orijinalinde bir hata yoksa, \( x \) değeri karmaşık bir sayı veya denklem çözümü gerektirecektir. Ancak 11. sınıf müfredatında bu tür karmaşık denklem çözümleri genellikle istenmez. Bu nedenle, sorunun yeniden gözden geçirilmesi önerilir. ⚠️
Örnek 6:
Bir çiftçi, tarlasının bir kenarını ikizkenar yamuk şeklinde telle çevirecektir. Yamuğun alt tabanı 50 metre, üst tabanı 30 metre ve yüksekliği 15 metredir. Çit direkleri her 2 metrede bir dikileceğine göre, kaç adet çit direği gereklidir? 🧑🌾
Çözüm:
- Problem Analizi: Gereken çit direği sayısını bulmak için öncelikle yamuğun çevresini hesaplamalıyız.
- Verilenler: Alt taban \( a = 50 \) m, üst taban \( b = 30 \) m, yükseklik \( h = 15 \) m. Direk aralığı \( 2 \) m.
- Yan Kenar Uzunluğunu Bulma: İkizkenar yamukta, alt tabandan indirilen dikmelerle oluşan dik üçgenin yatay kenarı \( \frac{a-b}{2} \) olur. Bu kenar \( \frac{50 - 30}{2} = \frac{20}{2} = 10 \) m'dir.
- Pisagor Teoremi: Yan kenar uzunluğu \( c \) olsun. \( c^2 = h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = 15^2 + 10^2 = 225 + 100 = 325 \).
- Yan Kenarı Hesaplama: \( c = \sqrt{325} = \sqrt{25 \times 13} = 5\sqrt{13} \) metre.
- Çevre Hesaplama: Çevre \( Ç = a + b + 2c = 50 + 30 + 2 \times 5\sqrt{13} = 80 + 10\sqrt{13} \) metre.
- Yaklaşık Değer Hesaplama: \( \sqrt{13} \) yaklaşık olarak \( 3.6 \) kabul edilirse, \( Ç \approx 80 + 10 \times 3.6 = 80 + 36 = 116 \) metre olur.
- Direk Sayısı: Direkler her \( 2 \) metrede bir dikileceğine göre, direk sayısı \( \frac{\text{Çevre}}{\text{Aralık}} \) formülü ile bulunur.
- Direk Sayısını Hesaplama: Direk sayısı \( \approx \frac{116}{2} = 58 \) adet.
- Not: Gerçek hayatta, köşe direkleri ve başlangıç/bitiş noktaları da dikkate alınmalıdır. Bu hesaplama, sadece aralıklara göre bir yaklaşımdır. Tam sayı çıkması için \( \sqrt{13} \) değerinin tam sayı olması gerekirdi. Sorunun müfredata uygunluğu açısından, genellikle kenar uzunlukları tam sayı çıkan örnekler tercih edilir. 🌳
Örnek 7:
Tabanları 7 cm ve 13 cm olan bir ikizkenar yamuğun alanı 60 cm² ise, bu yamuğun yüksekliği kaç cm'dir? ❓
Çözüm:
- Verilenler: Alt taban \( a = 13 \) cm, üst taban \( b = 7 \) cm, alan \( A = 60 \) cm².
- Alan Formülü: Yamuğun alanı \( A = \frac{(a+b) \times h}{2} \) formülü ile hesaplanır.
- Denklem Kurma: \( 60 = \frac{(13+7) \times h}{2} \).
- Denklemi Çözme: \( 60 = \frac{20 \times h}{2} \). \( 60 = 10 \times h \).
- Yüksekliği Bulma: \( h = \frac{60}{10} = 6 \) cm'dir. ✅
Örnek 8:
Bir ikizkenar yamuğun tabanları 10 cm ve 18 cm'dir. Yamuğun yüksekliği 6 cm olduğuna göre, çevresi kaç cm'dir? 📏
Çözüm:
- Verilenler: Alt taban \( a = 18 \) cm, üst taban \( b = 10 \) cm, yükseklik \( h = 6 \) cm.
- Yan Kenara Ait Dik Üçgen: İkizkenar yamukta, alt tabandan indirilen dikme ile oluşan dik üçgenin bir dik kenarı \( \frac{a-b}{2} \) olur. Bu kenar \( \frac{18 - 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) cm'dir.
- Pisagor Teoremi: Dik üçgende yan kenar \( c \) olsun. \( c^2 = h^2 + (\frac{a-b}{2})^2 = 6^2 + 4^2 = 36 + 16 = 52 \).
- Yan Kenarı Hesaplama: \( c = \sqrt{52} = \sqrt{4 \times 13} = 2\sqrt{13} \) cm.
- Çevre Hesaplama: Çevre \( Ç = a + b + 2c = 18 + 10 + 2 \times 2\sqrt{13} = 28 + 4\sqrt{13} \) cm'dir. 💡
Örnek 9:
Bir pencere tasarımı ikizkenar yamuk şeklindedir. Pencerenin üst kenarı 80 cm, alt kenarı 120 cm ve yüksekliği 50 cm'dir. Bu pencerenin cam yüzeyini temizlemek için kaç metrekarelik bir alana ihtiyaç vardır? 🪟
Çözüm:
- Problem Analizi: Cam yüzey alanı, ikizkenar yamuğun alanına eşittir.
- Verilenler: Üst kenar \( b = 80 \) cm, alt kenar \( a = 120 \) cm, yükseklik \( h = 50 \) cm.
- Alan Formülü: Yamuğun alanı \( A = \frac{(a+b) \times h}{2} \) formülü ile bulunur.
- Alanı Hesaplama: \( A = \frac{(120+80) \times 50}{2} = \frac{200 \times 50}{2} = \frac{10000}{2} = 5000 \) cm².
- Birim Dönüşümü: Soruda metrekare istendiği için cm²'yi m²'ye çevirmeliyiz. \( 1 \) m \( = 100 \) cm olduğundan, \( 1 \) m² \( = (100 \text{ cm})^2 = 10000 \) cm²'dir.
- Metrekareye Çevirme: \( 5000 \text{ cm}^2 = \frac{5000}{10000} \text{ m}^2 = 0.5 \) m².
- Sonuç: Pencerenin cam yüzeyini temizlemek için \( 0.5 \) metrekarelik bir alana ihtiyaç vardır. ✨
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ikizkenar-yamuk/sorular