🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem ve eşitsizlik sistemi Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden iki bilinmeyenli denklem ve eşitsizlik sistemi Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 25 \\
x - y = 1
\end{cases}
\]
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
- İlk denklemden \( x \) çekelim: \( x = y + 1 \).
- Bu ifadeyi birinci denklemde \( x \) yerine yazalım: \( (y+1)^2 + y^2 = 25 \).
- Denklemi açalım ve düzenleyelim: \( y^2 + 2y + 1 + y^2 = 25 \).
- Sadeleştirilmiş denklem: \( 2y^2 + 2y - 24 = 0 \).
- Her tarafı 2'ye bölelim: \( y^2 + y - 12 = 0 \).
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (y+4)(y-3) = 0 \).
- Buradan \( y \) değerlerini bulalım: \( y = -4 \) veya \( y = 3 \).
- Bulduğumuz \( y \) değerlerini \( x = y + 1 \) denkleminde yerine koyarak \( x \) değerlerini bulalım:
- Eğer \( y = -4 \) ise, \( x = -4 + 1 = -3 \). Çözüm kümesi: \( (-3, -4) \).
- Eğer \( y = 3 \) ise, \( x = 3 + 1 = 4 \). Çözüm kümesi: \( (4, 3) \).
Örnek 2:
Birinci dereceden bir denklem ile ikinci dereceden bir denklemin kesişim noktalarını bulunuz:
\[
\begin{cases}
y = x^2 - 4x + 3 \\
y = x - 1
\end{cases}
\]
Çözüm:
Bu denklem sisteminde her iki denklem de \( y \) cinsinden ifade edildiği için, birbirlerine eşitleyerek \( x \) değerlerini bulabiliriz.
- Denklemleri eşitleyelim: \( x^2 - 4x + 3 = x - 1 \).
- Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \( x^2 - 4x - x + 3 + 1 = 0 \).
- Sadeleştirilmiş denklem: \( x^2 - 5x + 4 = 0 \).
- Bu denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x-1)(x-4) = 0 \).
- Buradan \( x \) değerlerini bulalım: \( x = 1 \) veya \( x = 4 \).
- Bulduğumuz \( x \) değerlerini \( y = x - 1 \) denkleminde yerine koyarak \( y \) değerlerini bulalım:
- Eğer \( x = 1 \) ise, \( y = 1 - 1 = 0 \). Kesişim noktası: \( (1, 0) \).
- Eğer \( x = 4 \) ise, \( y = 4 - 1 = 3 \). Kesişim noktası: \( (4, 3) \).
Örnek 3:
Bir çiftçi, tarlasında domates ve biber yetiştirmek istiyor. Tarlasının alanı en fazla 100 metrekare olmalıdır. Domates ekilen alan \( x \) metrekare ve biber ekilen alan \( y \) metrekare olmak üzere, bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemini yazınız. Ayrıca, domates ekilen alanın biber ekilen alandan en az 20 metrekare fazla olması gerekmektedir.
Çözüm:
Bu problemi matematiksel olarak ifade etmek için eşitsizlik sistemi kurmalıyız.
- Tarlanın Alanı Kısıtlaması: Tarlanın toplam alanı \( x + y \) metrekaredir ve bu alan en fazla 100 metrekare olmalıdır. Bu durum şu eşitsizlikle ifade edilir: \( x + y \le 100 \).
- Domates ve Biber Alanı Farkı Kısıtlaması: Domates ekilen alan \( x \), biber ekilen alan \( y \)'den en az 20 metrekare fazla olmalıdır. Bu şu anlama gelir: \( x \ge y + 20 \). Bu eşitsizliği \( x - y \ge 20 \) şeklinde de yazabiliriz.
- Alanların Negatif Olmama Durumu: Alanlar negatif olamayacağı için, \( x \ge 0 \) ve \( y \ge 0 \) eşitsizlikleri de geçerlidir.
Örnek 4:
Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[
\begin{cases}
x^2 - y^2 = 16 \\
x + y = 8
\end{cases}
\]
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için çarpanlara ayırma ve yerine koyma yöntemlerini bir arada kullanabiliriz.
- Birinci denklem \( x^2 - y^2 = 16 \) ifadesi, iki kare farkı özdeşliği ile \( (x-y)(x+y) = 16 \) şeklinde yazılabilir.
- İkinci denklemde \( x + y = 8 \) olarak verilmiştir.
- Bu \( x + y \) değerini çarpanlara ayrılmış birinci denklemde yerine koyalım: \( (x-y) \cdot 8 = 16 \).
- Buradan \( x-y \) değerini bulalım: \( x-y = \frac{16}{8} = 2 \).
- Şimdi elimizde iki tane birinci dereceden denklem var:
- \( x + y = 8 \)
- \( x - y = 2 \)
- Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak \( x \) değerini bulalım: \( (x+y) + (x-y) = 8 + 2 \implies 2x = 10 \implies x = 5 \).
- Bulduğumuz \( x = 5 \) değerini \( x + y = 8 \) denkleminde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım: \( 5 + y = 8 \implies y = 3 \).
Örnek 5:
Bir spor mağazası, bir tişört ve bir şapka için bir kampanya düzenliyor. Bir tişörtün fiyatı \( x \) TL ve bir şapkanın fiyatı \( y \) TL'dir. Bir tişört ve bir şapka alan bir müşteri toplamda 150 TL ödüyor. Eğer tişörtün fiyatı şapkanın fiyatının 2 katından 30 TL fazlaysa, tişört ve şapkanın fiyatlarını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi matematiksel denklemlerle ifade edip çözebiliriz.
- Birinci Durum: Bir tişört (\( x \)) ve bir şapka (\( y \)) alan müşteri toplam 150 TL ödüyor. Bu durumu ifade eden denklem: \( x + y = 150 \).
- İkinci Durum: Tişörtün fiyatı (\( x \)), şapkanın fiyatının (\( y \)) 2 katından 30 TL fazladır. Bu durumu ifade eden denklem: \( x = 2y + 30 \).
- Şimdi elimizde bir denklem sistemi var:
- \( x + y = 150 \)
- \( x = 2y + 30 \)
- İkinci denklemi birinci denklemde \( x \) yerine koyarak çözüme başlayalım: \( (2y + 30) + y = 150 \).
- Denklemi düzenleyelim: \( 3y + 30 = 150 \).
- \( 3y \) terimini yalnız bırakalım: \( 3y = 150 - 30 \implies 3y = 120 \).
- \( y \) değerini bulalım: \( y = \frac{120}{3} = 40 \).
- Bulduğumuz \( y = 40 \) değerini \( x = 2y + 30 \) denkleminde yerine koyarak \( x \) değerini bulalım: \( x = 2(40) + 30 = 80 + 30 = 110 \).
Örnek 6:
Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini geometrik olarak gösteriniz (çözüm kümesini çizmeniz gerekmez, sadece hangi bölgeyi temsil ettiğini açıklayınız):
\[
\begin{cases}
y \le x^2 \\
y > -x + 2
\end{cases}
\]
Çözüm:
Bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi, her bir eşitsizliğin sağlandığı bölgelerin kesişimidir.
Bu sistemin çözüm kümesi, \( y = x^2 \) parabolünün içini ve altını kapsayan bölge ile \( y = -x + 2 \) doğrusunun üstünü kapsayan bölgenin kesiştiği alandır. Bu bölge, parabolün altında ve doğrunun üstünde kalan kısımdır. 🗺️
- Birinci Eşitsizlik: \( y \le x^2 \)
- Bu eşitsizlik, \( y = x^2 \) parabolünün altında veya üzerinde kalan noktaları temsil eder.
- \( y = x^2 \) bir kollar yukarı doğru olan paraboldür ve tepe noktası orijindedir (\( (0,0) \)).
- \( y \le x^2 \) eşitsizliği, parabolün kendisi dahil olmak üzere, parabolün içinde kalan ve altında kalan tüm noktaları kapsar.
- İkinci Eşitsizlik: \( y > -x + 2 \)
- Bu eşitsizlik, \( y = -x + 2 \) doğrusunun üstünde kalan noktaları temsil eder.
- \( y = -x + 2 \) doğrusu, eğimi -1 ve y-kesme noktası 2 olan bir doğrudur.
- \( y > -x + 2 \) eşitsizliği, doğrunun kendisi hariç, doğrunun üstünde kalan tüm noktaları kapsar.
Bu sistemin çözüm kümesi, \( y = x^2 \) parabolünün içini ve altını kapsayan bölge ile \( y = -x + 2 \) doğrusunun üstünü kapsayan bölgenin kesiştiği alandır. Bu bölge, parabolün altında ve doğrunun üstünde kalan kısımdır. 🗺️
Örnek 7:
Bir dikdörtgenin alanı 72 birimkaredir. Dikdörtgenin uzun kenarı \( x \) birim ve kısa kenarı \( y \) birimdir. Eğer uzun kenarı 3 birim artırılır ve kısa kenarı 2 birim azaltılırsa, yeni oluşan dikdörtgenin alanı yine 72 birimkare olmaktadır. Bu dikdörtgenin boyutlarını bulunuz.
Çözüm:
Bu problemi iki bilinmeyenli denklem sistemi kurarak çözebiliriz.
- İlk Durum: Dikdörtgenin alanı \( x \cdot y = 72 \).
- İkinci Durum: Uzun kenar 3 birim artırılırsa \( x+3 \) olur. Kısa kenar 2 birim azaltılırsa \( y-2 \) olur. Yeni alan yine 72 birimkaredir: \( (x+3)(y-2) = 72 \).
- Şimdi bu iki denklemi içeren sistemi çözelim:
- Denklem 1: \( xy = 72 \)
- Denklem 2: \( (x+3)(y-2) = 72 \)
- Denklem 2'yi açalım: \( xy - 2x + 3y - 6 = 72 \).
- Denklem 1'den \( xy = 72 \) olduğunu biliyoruz. Bunu Denklem 2'nin açılımında yerine koyalım: \( 72 - 2x + 3y - 6 = 72 \).
- Denklemi sadeleştirelim: \( -2x + 3y - 6 = 0 \), yani \( -2x + 3y = 6 \).
- Denklem 1'den \( y = \frac{72}{x} \) ifadesini elde edelim.
- Bu \( y \) değerini \( -2x + 3y = 6 \) denkleminde yerine koyalım: \( -2x + 3 \left( \frac{72}{x} \right) = 6 \).
- Denklemi düzenleyelim: \( -2x + \frac{216}{x} = 6 \).
- Her tarafı \( x \) ile çarpalım ( \( x \neq 0 \) varsayarak): \( -2x^2 + 216 = 6x \).
- Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim: \( 2x^2 + 6x - 216 = 0 \).
- Her tarafı 2'ye bölelim: \( x^2 + 3x - 108 = 0 \).
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım. Çarpımları -108, toplamları +3 olan sayılar 12 ve -9'dur: \( (x+12)(x-9) = 0 \).
- Buradan \( x \) değerlerini bulalım: \( x = -12 \) veya \( x = 9 \).
- Dikdörtgenin kenar uzunluğu negatif olamayacağı için \( x = 9 \) kabul edilir.
- \( x = 9 \) değerini \( xy = 72 \) denkleminde yerine koyarak \( y \) değerini bulalım: \( 9y = 72 \implies y = 8 \).
Örnek 8:
Bir grafik tasarımcı, bir web sitesi için iki farklı logo tasarlamıştır. Tasarım A'nın maliyeti \( x \) TL ve tasarım B'nin maliyeti \( y \) TL'dir. Tasarım A'nın maliyeti, tasarım B'nin maliyetinden daha azdır. Toplam maliyetleri 500 TL'yi geçmemelidir. Ayrıca, tasarım A'nın maliyeti, tasarım B'nin maliyetinin yarısından en az 50 TL fazladır. Bu durumu ifade eden eşitsizlik sistemini yazınız.
Çözüm:
Bu problemi matematiksel eşitsizlikler kullanarak ifade edelim.
- Maliyet Karşılaştırması: Tasarım A'nın maliyeti (\( x \)) tasarım B'nin maliyetinden (\( y \)) daha azdır: \( x < y \).
- Toplam Maliyet Kısıtlaması: İki tasarımın toplam maliyeti 500 TL'yi geçmemelidir: \( x + y \le 500 \).
- Tasarım A Maliyeti Kısıtlaması: Tasarım A'nın maliyeti (\( x \)), tasarım B'nin maliyetinin (\( y \)) yarısından (\( \frac{y}{2} \)) en az 50 TL fazladır: \( x \ge \frac{y}{2} + 50 \).
- Maliyetlerin Negatif Olmama Durumu: Maliyetler negatif olamaz: \( x \ge 0 \) ve \( y \ge 0 \).
Örnek 9:
Aşağıdaki ikinci dereceden iki bilinmeyenli denklem sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 13 \\
x + y = 5
\end{cases}
\]
Çözüm:
Bu denklem sistemini çözmek için yerine koyma yöntemini kullanabiliriz.
- İkinci denklemden \( y \) çekelim: \( y = 5 - x \).
- Bu ifadeyi birinci denklemde \( y \) yerine yazalım: \( x^2 + (5-x)^2 = 13 \).
- Denklemi açalım ve düzenleyelim: \( x^2 + (25 - 10x + x^2) = 13 \).
- Sadeleştirilmiş denklem: \( 2x^2 - 10x + 25 = 13 \).
- Tüm terimleri bir tarafa toplayalım: \( 2x^2 - 10x + 12 = 0 \).
- Her tarafı 2'ye bölelim: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayıralım: \( (x-2)(x-3) = 0 \).
- Buradan \( x \) değerlerini bulalım: \( x = 2 \) veya \( x = 3 \).
- Bulduğumuz \( x \) değerlerini \( y = 5 - x \) denkleminde yerine koyarak \( y \) değerlerini bulalım:
- Eğer \( x = 2 \) ise, \( y = 5 - 2 = 3 \). Çözüm kümesi: \( (2, 3) \).
- Eğer \( x = 3 \) ise, \( y = 5 - 3 = 2 \). Çözüm kümesi: \( (3, 2) \).
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ikinci-dereceden-iki-bilinmeyenli-denklem-ve-esitsizlik-sistemi/sorular