💡 11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden fonksiyonların grafikleri Çözümlü Örnekler

Temel ikinci dereceden fonksiyonlardan biri olan \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür.

• x = 0 iken, f(0) = \( 0^2 \) = 0. Nokta: (0, 0)
• x = 1 iken, f(1) = \( 1^2 \) = 1. Nokta: (1, 1)
• x = -1 iken, f(-1) = \( (-1)^2 \) = 1. Nokta: (-1, 1)
• x = 2 iken, f(2) = \( 2^2 \) = 4. Nokta: (2, 4)
• x = -2 iken, f(-2) = \( (-2)^2 \) = 4. Nokta: (-2, 4)

Bu noktaları birleştirdiğimizde, orijinden geçen ve yukarı doğru açılan bir parabol elde ederiz. Bu parabolün tepe noktası (0, 0)'dır.

Şimdi \( f(x) = -x^2 \) fonksiyonunun grafiğini inceleyelim.

Bu fonksiyonun grafiği de bir paraboldür.

• x = 0 iken, f(0) = \( -(0)^2 \) = 0. Nokta: (0, 0)
• x = 1 iken, f(1) = \( -(1)^2 \) = -1. Nokta: (1, -1)
• x = -1 iken, f(-1) = \( -(-1)^2 \) = -1. Nokta: (-1, -1)
• x = 2 iken, f(2) = \( -(2)^2 \) = -4. Nokta: (2, -4)
• x = -2 iken, f(-2) = \( -(-2)^2 \) = -4. Nokta: (-2, -4)

Bu noktalar, parabolün tepe noktasının (0, 0) olduğunu ve aşağı doğru açıldığını gösterir. 💡

Verilen \( f(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Bu fonksiyonun grafiği de bir paraboldür.

• Fonksiyonun tepe noktasını bulmak için \( x = 0 \) alırız: \( f(0) = 0^2 - 4 = -4 \). Tepe noktası: (0, -4).
• x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) yaparız: \( x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2 \). Noktalar: (-2, 0) ve (2, 0).
• y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) alırız: \( f(0) = -4 \). Nokta: (0, -4).

Parabolün kolları yukarı doğrudur çünkü \( x^2 \)'nin katsayısı pozitiftir (1). 👉

\( f(x) = -x^2 + 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

• Tepe Noktası: \( x = 0 \) için \( f(0) = -(0)^2 + 3 = 3 \). Tepe noktası: (0, 3).
• x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) yaparız: \( -x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3} \). Noktalar: \( (-\sqrt{3}, 0) \) ve \( (\sqrt{3}, 0) \).
• y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) alırız: \( f(0) = 3 \). Nokta: (0, 3).

Parabolün kolları aşağı doğrudur çünkü \( x^2 \)'nin katsayısı negatiftir (-1). ⬇️

\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

Bu fonksiyonun grafiği de bir paraboldür. Tepe noktasının koordinatlarını bulmak için formülleri kullanabiliriz.

• Tepe Noktası (r, k): \( r = -\frac{b}{2a} \) ve \( k = f(r) \).
• Burada \( a = 1, b = -6, c = 5 \).
• \( r = -\frac{-6}{2 \times 1} = \frac{6}{2} = 3 \).
• \( k = f(3) = 3^2 - 6(3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4 \).
• Tepe Noktası: (3, -4).
• x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) yaparız: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \).
• Çarpanlarına ayırarak: \( (x-1)(x-5) = 0 \).
• \( x = 1 \) veya \( x = 5 \). Noktalar: (1, 0) ve (5, 0).
• y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) alırız: \( f(0) = 0^2 - 6(0) + 5 = 5 \). Nokta: (0, 5).

Parabolün kolları yukarı doğrudur çünkü \( x^2 \)'nin katsayısı pozitiftir (1). 🚀

\( f(x) = -2x^2 + 8x - 6 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim.

• Tepe Noktası (r, k): \( r = -\frac{b}{2a} \) ve \( k = f(r) \).
• Burada \( a = -2, b = 8, c = -6 \).
• \( r = -\frac{8}{2 \times (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \).
• \( k = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2 \).
• Tepe Noktası: (2, 2).
• x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \( f(x) = 0 \) yaparız: \( -2x^2 + 8x - 6 = 0 \).
• Denklemi 2'ye bölersek: \( -x^2 + 4x - 3 = 0 \).
• Çarpanlarına ayırarak: \( -(x-1)(x-3) = 0 \).
• \( x = 1 \) veya \( x = 3 \). Noktalar: (1, 0) ve (3, 0).
• y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \( x = 0 \) alırız: \( f(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 6 = -6 \). Nokta: (0, -6).

Parabolün kolları aşağı doğrudur çünkü \( x^2 \)'nin katsayısı negatiftir (-2). 🍂

Bir futbolcunun vuruş anından itibaren topun havada izlediği yörünge, ikinci dereceden bir fonksiyonun grafiği olan bir parabol ile modellenebilir. Eğer topun yerden yüksekliği \( h(t) \) metre ve zaman \( t \) saniye olmak üzere, \( h(t) = -5t^2 + 20t \) denklemi ile veriliyorsa, topun ulaşabileceği en yüksek noktayı ve bu noktaya kaç saniyede ulaştığını bulunuz.

Bu problemde, parabolün tepe noktasının y koordinatı topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği, x koordinatı ise bu yüksekliğe ulaşma süresini verecektir. ⚽️

Bir köprü tasarımında, köprünün ana taşıyıcı kablolarının oluşturduğu eğri bir parabol şeklindedir. Eğer bu parabolün denklemi \( y = \frac{1}{100}x^2 \) olarak verilmişse ve köprünün ayakları arasındaki mesafe 400 metre ise, bu kablonun en alçak noktasının yerden yüksekliğini bulunuz.

Bu senaryoda, parabolün tepe noktası kablonun en alçak noktasını temsil eder. Genellikle bu tür tasarımlarda tepe noktası zemine yakın veya sıfır kabul edilir. 🌉