💡 11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafiği Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Temel ikinci dereceden fonksiyonun grafiği olan parabolü inceleyelim.
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm ve Açıklama
Fonksiyon Tanımı: Verilen fonksiyon \( f(x) = x^2 \)'dir. Bu, en basit ikinci dereceden fonksiyondur.
Tepe Noktası: İkinci dereceden fonksiyonların genel formu \( ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Bu fonksiyonda \( a=1 \), \( b=0 \) ve \( c=0 \)'dır. Tepe noktasının apsisi \( -b/(2a) \) formülüyle bulunur. Bu durumda \( -0/(2 \times 1) = 0 \)'dır. Ordinatı bulmak için \( x=0 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( f(0) = 0^2 = 0 \). Dolayısıyla tepe noktası (0, 0)'dır.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=1 \)'dir. Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası orijinde olan ve kolları yukarı doğru bakan bir paraboldür. Noktalar seçerek grafiği daha detaylı çizebiliriz: \( x=1 \Rightarrow f(1)=1 \), \( x=-1 \Rightarrow f(-1)=1 \), \( x=2 \Rightarrow f(2)=4 \), \( x=-2 \Rightarrow f(-2)=4 \).
💡 Bu parabol, y eksenine göre simetriktir.
2
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Şimdi katsayıları farklı bir ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini inceleyelim.
Fonksiyon Tanımı: Verilen fonksiyon \( g(x) = -x^2 \)'dir.
Tepe Noktası: Bu fonksiyonda \( a=-1 \), \( b=0 \) ve \( c=0 \)'dır. Tepe noktasının apsisi \( -b/(2a) = -0/(2 \times -1) = 0 \)'dır. Ordinatı bulmak için \( x=0 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( g(0) = -(0)^2 = 0 \). Dolayısıyla tepe noktası yine (0, 0)'dır.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=-1 \)'dir. Katsayı negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası orijinde olan ve kolları aşağı doğru bakan bir paraboldür.
📌 \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği ile \( g(x) = -x^2 \) fonksiyonunun grafiği, x eksenine göre birbirinin simetriğidir.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tepe noktası orijin dışında olan bir parabolün grafiğini çizelim.
Tepe Noktası: Bu fonksiyonda \( a=1 \), \( b=0 \) ve \( c=-4 \)'tür. Tepe noktasının apsisi \( -b/(2a) = -0/(2 \times 1) = 0 \)'dır. Ordinatı bulmak için \( x=0 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( h(0) = 0^2 - 4 = -4 \). Dolayısıyla tepe noktası (0, -4)'tür.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=1 \)'dir. Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası (0, -4) olan ve kolları yukarı doğru bakan bir paraboldür. Bu grafik, \( y=x^2 \) grafiğinin y ekseninde 4 birim aşağı ötelenmiş halidir.
✅ Bu fonksiyonun y eksenini kestiği nokta \( (0, -4) \)'tür.
4
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Tepe noktasının hem apsisi hem de ordinatı farklı olan bir ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini inceleyelim.
Fonksiyon Tanımı: Verilen fonksiyon \( k(x) = (x-1)^2 + 2 \)'dir. Bu fonksiyon \( y = a(x-r)^2 + s \) tepe noktası formundadır.
Tepe Noktası: Bu formda tepe noktası (r, s)'dir. Fonksiyonumuzda \( r=1 \) ve \( s=2 \)'dir. Dolayısıyla tepe noktası (1, 2)'dir.
Kolların Yönü: \( (x-1)^2 \) teriminin katsayısı gizli olarak 1'dir (\( a=1 \)). Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası (1, 2) olan ve kolları yukarı doğru bakan bir paraboldür. Bu grafik, \( y=x^2 \) grafiğinin önce x ekseninde 1 birim sağa, sonra y ekseninde 2 birim yukarı ötelenmiş halidir.
👉 Fonksiyonun tepe noktası, parabolün en küçük değerini aldığı noktadır (kollar yukarı doğruysa).
5
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Kökleri bilinen bir ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini yorumlayalım.
\( m(x) = x^2 - 5x + 6 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için köklerini ve tepe noktasını bulalım.
Kökler: Fonksiyonun kökleri, \( m(x) = 0 \) denkleminin çözümleridir. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Çarpanlara ayırma yöntemiyle: \( (x-2)(x-3) = 0 \). Buradan kökler \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) bulunur. Bu, parabolün x eksenini kestiği noktalardır: (2, 0) ve (3, 0).
Tepe Noktası: Tepe noktasının apsisi, köklerin ortalamasıdır: \( x_T = (x_1 + x_2) / 2 = (2 + 3) / 2 = 2.5 \). Ordinatı bulmak için \( x=2.5 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( m(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \). Dolayısıyla tepe noktası (2.5, -0.25)'tir.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=1 \)'dir. Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Kolları yukarı doğru olan, (2, 0) ve (3, 0) noktalarından geçen ve tepe noktası (2.5, -0.25) olan bir paraboldür.
💡 Kökler arasındaki mesafe, parabolün simetri ekseni etrafındaki yayvanlığını gösterir.
6
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir sporcu, yayınladığı bir videoda topu yerden belirli bir açıyla vurduğunda, topun havada izlediği yörüngenin yaklaşık olarak bir parabol belirttiği gözlemlenmiştir. Topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) \( t \) saniye sonra \( h(t) = -5t^2 + 20t \) fonksiyonu ile modellenebilmektedir.
Bu modellemeye göre, topun ulaşabileceği en yüksek yükseklik kaç metredir?
Çözüm ve Açıklama
Fonksiyon Tanımı: Topun yüksekliğini veren fonksiyon \( h(t) = -5t^2 + 20t \)'dir. Bu, \( at^2 + bt + c \) formunda bir ikinci dereceden fonksiyondur.
Tepe Noktasının Yorumu: Topun ulaşabileceği en yüksek yükseklik, parabolün tepe noktasının ordinatına karşılık gelir.
Tepe Noktasının Apsisi: Tepe noktasının \( t \) (zaman) değerini bulmak için \( t_T = -b/(2a) \) formülünü kullanırız. Burada \( a=-5 \) ve \( b=20 \)'dir. \( t_T = -20 / (2 \times -5) = -20 / -10 = 2 \) saniye.
En Yüksek Yükseklik (Ordinat): Tepe noktasının ordinatını bulmak için \( t=2 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \) metre.
✅ Top, 20 metre yüksekliğe ulaşabilir.
7
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir inşaat mühendisi, tasarladığı köprünün ana kablo şeklinin bir parabol olduğunu hesaplamıştır. Kablonun en alçak noktası (tepe noktası) yerden 50 metre yüksekliktedir ve bu nokta, iki destek ayağının tam ortasındadır. Destek ayakları arasındaki mesafe 200 metredir ve her bir ayağın yerden yüksekliği 100 metredir.
Bu parabolü temsil eden fonksiyonun genel formunu ve tepe noktasını belirleyiniz.
Çözüm ve Açıklama
Parabolün Konumu: Parabolün tepe noktası, en alçak noktasıdır. Bu nokta, iki destek ayağının tam ortasında ve yerden 50 metre yüksekliktedir.
Simetri Ekseni: Destek ayakları arasındaki mesafe 200 metre olduğuna göre, simetri ekseni (tepe noktasının apsisi) bu mesafenin yarısı olacaktır. Bir ayağı orijine göre konumlandırırsak, diğer ayak 200 metrede olur. Simetri ekseni \( x = 200/2 = 100 \) olur.
Tepe Noktası: Tepe noktasının apsisi 100 ve ordinatı 50'dir. Dolayısıyla tepe noktası (100, 50)'dir.
Fonksiyonun Genel Formu: Tepe noktası \( (r, s) \) olan bir parabolün denklemi \( y = a(x-r)^2 + s \) şeklindedir. Bu durumda \( y = a(x-100)^2 + 50 \) olur.
Katsayı \( a \)'yı Bulma: Parabol, destek ayaklarından birinden geçer. Örneğin, bir ayağın konumu (0, 100) olabilir. Bu noktayı denklemde yerine koyarak \( a \)'yı bulabiliriz: \( 100 = a(0-100)^2 + 50 \Rightarrow 100 = a(-100)^2 + 50 \Rightarrow 100 = 10000a + 50 \Rightarrow 50 = 10000a \Rightarrow a = 50/10000 = 1/200 \).
Sonuç: Parabolü temsil eden fonksiyon \( y = \frac{1}{200}(x-100)^2 + 50 \) şeklindedir. Tepe noktası (100, 50)'dir.
💡 Bu tür paraboller, köprüler, antenler ve projektörlerde ışık toplamak gibi birçok mühendislik uygulamasında kullanılır.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
Bir parabolün grafiği, \( y = ax^2 + bx + c \) şeklinde verilmiştir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi 3 ve y eksenini kestiği nokta (0, 5) olarak bilinmektedir. Ayrıca, parabolün x eksenini kestiği noktalardan biri (1, 0)'dır.
Bu parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Tepe Noktasının Apsisi: Tepe noktasının apsisi \( x_T = -b/(2a) = 3 \) olarak verilmiştir. Buradan \( -b = 6a \) veya \( b = -6a \) ilişkisi elde edilir.
Y Ekseni Kesişim Noktası: Parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 5)'tir. \( y = ax^2 + bx + c \) denkleminde \( x=0 \) ve \( y=5 \) koyarsak: \( 5 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 5 \).
X Ekseni Kesişim Noktası: Parabolün (1, 0) noktasından geçtiği bilinmektedir. Bu noktayı denklemde yerine koyalım: \( 0 = a(1)^2 + b(1) + 5 \Rightarrow 0 = a + b + 5 \).
Denklemleri Birleştirme: \( b = -6a \) ve \( a + b + 5 = 0 \) denklemlerini kullanarak \( a \) ve \( b \)'yi bulabiliriz. İkinci denklemde \( b \) yerine \( -6a \) yazarsak: \( a + (-6a) + 5 = 0 \Rightarrow -5a + 5 = 0 \Rightarrow 5a = 5 \Rightarrow a = 1 \).
\( b \) Değerini Bulma: \( b = -6a \) olduğuna göre, \( b = -6(1) = -6 \).
Parabol Denklemi: Bulduğumuz \( a=1 \), \( b=-6 \) ve \( c=5 \) değerlerini genel denklemde yerine koyarsak: \( y = 1x^2 + (-6)x + 5 \Rightarrow y = x^2 - 6x + 5 \).
✅ Parabolün denklemi \( y = x^2 - 6x + 5 \)'tir.
9
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası T(2, -3)'tür ve y eksenini kestiği nokta (0, 1)'dir.
Bu parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Tepe Noktası Formu: Tepe noktası \( (r, s) \) olan bir parabolün denklemi \( y = a(x-r)^2 + s \) şeklindedir.
Verilen Bilgiler: Tepe noktası T(2, -3) olduğuna göre, \( r=2 \) ve \( s=-3 \)'tür. Denklemin bu hali \( y = a(x-2)^2 - 3 \) olur.
Y Ekseni Kesişim Noktası: Parabol (0, 1) noktasından geçmektedir. Bu noktayı denklemde yerine koyarak \( a \) katsayısını bulabiliriz: \( 1 = a(0-2)^2 - 3 \).
Parabol Denklemi: \( a=1 \) değerini tepe noktası formundaki denklemde yerine koyarsak: \( y = 1(x-2)^2 - 3 \).
Standart Forma Çevirme (İsteğe Bağlı): Denklemi açarak standart forma getirebiliriz: \( y = (x^2 - 4x + 4) - 3 \Rightarrow y = x^2 - 4x + 1 \).
💡 Tepe noktası verilen bir parabolün denklemini bulmak için genellikle tepe noktası formu kullanılır.
11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafiği Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Temel ikinci dereceden fonksiyonun grafiği olan parabolü inceleyelim.
\( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
Çözüm:
Fonksiyon Tanımı: Verilen fonksiyon \( f(x) = x^2 \)'dir. Bu, en basit ikinci dereceden fonksiyondur.
Tepe Noktası: İkinci dereceden fonksiyonların genel formu \( ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Bu fonksiyonda \( a=1 \), \( b=0 \) ve \( c=0 \)'dır. Tepe noktasının apsisi \( -b/(2a) \) formülüyle bulunur. Bu durumda \( -0/(2 \times 1) = 0 \)'dır. Ordinatı bulmak için \( x=0 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( f(0) = 0^2 = 0 \). Dolayısıyla tepe noktası (0, 0)'dır.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=1 \)'dir. Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası orijinde olan ve kolları yukarı doğru bakan bir paraboldür. Noktalar seçerek grafiği daha detaylı çizebiliriz: \( x=1 \Rightarrow f(1)=1 \), \( x=-1 \Rightarrow f(-1)=1 \), \( x=2 \Rightarrow f(2)=4 \), \( x=-2 \Rightarrow f(-2)=4 \).
💡 Bu parabol, y eksenine göre simetriktir.
Örnek 2:
Şimdi katsayıları farklı bir ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini inceleyelim.
Fonksiyon Tanımı: Verilen fonksiyon \( g(x) = -x^2 \)'dir.
Tepe Noktası: Bu fonksiyonda \( a=-1 \), \( b=0 \) ve \( c=0 \)'dır. Tepe noktasının apsisi \( -b/(2a) = -0/(2 \times -1) = 0 \)'dır. Ordinatı bulmak için \( x=0 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( g(0) = -(0)^2 = 0 \). Dolayısıyla tepe noktası yine (0, 0)'dır.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=-1 \)'dir. Katsayı negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası orijinde olan ve kolları aşağı doğru bakan bir paraboldür.
📌 \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiği ile \( g(x) = -x^2 \) fonksiyonunun grafiği, x eksenine göre birbirinin simetriğidir.
Örnek 3:
Tepe noktası orijin dışında olan bir parabolün grafiğini çizelim.
Tepe Noktası: Bu fonksiyonda \( a=1 \), \( b=0 \) ve \( c=-4 \)'tür. Tepe noktasının apsisi \( -b/(2a) = -0/(2 \times 1) = 0 \)'dır. Ordinatı bulmak için \( x=0 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( h(0) = 0^2 - 4 = -4 \). Dolayısıyla tepe noktası (0, -4)'tür.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=1 \)'dir. Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası (0, -4) olan ve kolları yukarı doğru bakan bir paraboldür. Bu grafik, \( y=x^2 \) grafiğinin y ekseninde 4 birim aşağı ötelenmiş halidir.
✅ Bu fonksiyonun y eksenini kestiği nokta \( (0, -4) \)'tür.
Örnek 4:
Tepe noktasının hem apsisi hem de ordinatı farklı olan bir ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini inceleyelim.
Fonksiyon Tanımı: Verilen fonksiyon \( k(x) = (x-1)^2 + 2 \)'dir. Bu fonksiyon \( y = a(x-r)^2 + s \) tepe noktası formundadır.
Tepe Noktası: Bu formda tepe noktası (r, s)'dir. Fonksiyonumuzda \( r=1 \) ve \( s=2 \)'dir. Dolayısıyla tepe noktası (1, 2)'dir.
Kolların Yönü: \( (x-1)^2 \) teriminin katsayısı gizli olarak 1'dir (\( a=1 \)). Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Tepe noktası (1, 2) olan ve kolları yukarı doğru bakan bir paraboldür. Bu grafik, \( y=x^2 \) grafiğinin önce x ekseninde 1 birim sağa, sonra y ekseninde 2 birim yukarı ötelenmiş halidir.
👉 Fonksiyonun tepe noktası, parabolün en küçük değerini aldığı noktadır (kollar yukarı doğruysa).
Örnek 5:
Kökleri bilinen bir ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini yorumlayalım.
\( m(x) = x^2 - 5x + 6 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için köklerini ve tepe noktasını bulalım.
Kökler: Fonksiyonun kökleri, \( m(x) = 0 \) denkleminin çözümleridir. \( x^2 - 5x + 6 = 0 \). Çarpanlara ayırma yöntemiyle: \( (x-2)(x-3) = 0 \). Buradan kökler \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) bulunur. Bu, parabolün x eksenini kestiği noktalardır: (2, 0) ve (3, 0).
Tepe Noktası: Tepe noktasının apsisi, köklerin ortalamasıdır: \( x_T = (x_1 + x_2) / 2 = (2 + 3) / 2 = 2.5 \). Ordinatı bulmak için \( x=2.5 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( m(2.5) = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \). Dolayısıyla tepe noktası (2.5, -0.25)'tir.
Kolların Yönü: \( x^2 \) teriminin katsayısı \( a=1 \)'dir. Katsayı pozitif olduğu için parabolün kolları yukarı doğrudur.
Grafik Çizimi: Kolları yukarı doğru olan, (2, 0) ve (3, 0) noktalarından geçen ve tepe noktası (2.5, -0.25) olan bir paraboldür.
💡 Kökler arasındaki mesafe, parabolün simetri ekseni etrafındaki yayvanlığını gösterir.
Örnek 6:
Bir sporcu, yayınladığı bir videoda topu yerden belirli bir açıyla vurduğunda, topun havada izlediği yörüngenin yaklaşık olarak bir parabol belirttiği gözlemlenmiştir. Topun yerden yüksekliği (metre cinsinden) \( t \) saniye sonra \( h(t) = -5t^2 + 20t \) fonksiyonu ile modellenebilmektedir.
Bu modellemeye göre, topun ulaşabileceği en yüksek yükseklik kaç metredir?
Çözüm:
Fonksiyon Tanımı: Topun yüksekliğini veren fonksiyon \( h(t) = -5t^2 + 20t \)'dir. Bu, \( at^2 + bt + c \) formunda bir ikinci dereceden fonksiyondur.
Tepe Noktasının Yorumu: Topun ulaşabileceği en yüksek yükseklik, parabolün tepe noktasının ordinatına karşılık gelir.
Tepe Noktasının Apsisi: Tepe noktasının \( t \) (zaman) değerini bulmak için \( t_T = -b/(2a) \) formülünü kullanırız. Burada \( a=-5 \) ve \( b=20 \)'dir. \( t_T = -20 / (2 \times -5) = -20 / -10 = 2 \) saniye.
En Yüksek Yükseklik (Ordinat): Tepe noktasının ordinatını bulmak için \( t=2 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) = -5(4) + 40 = -20 + 40 = 20 \) metre.
✅ Top, 20 metre yüksekliğe ulaşabilir.
Örnek 7:
Bir inşaat mühendisi, tasarladığı köprünün ana kablo şeklinin bir parabol olduğunu hesaplamıştır. Kablonun en alçak noktası (tepe noktası) yerden 50 metre yüksekliktedir ve bu nokta, iki destek ayağının tam ortasındadır. Destek ayakları arasındaki mesafe 200 metredir ve her bir ayağın yerden yüksekliği 100 metredir.
Bu parabolü temsil eden fonksiyonun genel formunu ve tepe noktasını belirleyiniz.
Çözüm:
Parabolün Konumu: Parabolün tepe noktası, en alçak noktasıdır. Bu nokta, iki destek ayağının tam ortasında ve yerden 50 metre yüksekliktedir.
Simetri Ekseni: Destek ayakları arasındaki mesafe 200 metre olduğuna göre, simetri ekseni (tepe noktasının apsisi) bu mesafenin yarısı olacaktır. Bir ayağı orijine göre konumlandırırsak, diğer ayak 200 metrede olur. Simetri ekseni \( x = 200/2 = 100 \) olur.
Tepe Noktası: Tepe noktasının apsisi 100 ve ordinatı 50'dir. Dolayısıyla tepe noktası (100, 50)'dir.
Fonksiyonun Genel Formu: Tepe noktası \( (r, s) \) olan bir parabolün denklemi \( y = a(x-r)^2 + s \) şeklindedir. Bu durumda \( y = a(x-100)^2 + 50 \) olur.
Katsayı \( a \)'yı Bulma: Parabol, destek ayaklarından birinden geçer. Örneğin, bir ayağın konumu (0, 100) olabilir. Bu noktayı denklemde yerine koyarak \( a \)'yı bulabiliriz: \( 100 = a(0-100)^2 + 50 \Rightarrow 100 = a(-100)^2 + 50 \Rightarrow 100 = 10000a + 50 \Rightarrow 50 = 10000a \Rightarrow a = 50/10000 = 1/200 \).
Sonuç: Parabolü temsil eden fonksiyon \( y = \frac{1}{200}(x-100)^2 + 50 \) şeklindedir. Tepe noktası (100, 50)'dir.
💡 Bu tür paraboller, köprüler, antenler ve projektörlerde ışık toplamak gibi birçok mühendislik uygulamasında kullanılır.
Örnek 8:
Bir parabolün grafiği, \( y = ax^2 + bx + c \) şeklinde verilmiştir. Bu parabolün tepe noktasının apsisi 3 ve y eksenini kestiği nokta (0, 5) olarak bilinmektedir. Ayrıca, parabolün x eksenini kestiği noktalardan biri (1, 0)'dır.
Bu parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm:
Tepe Noktasının Apsisi: Tepe noktasının apsisi \( x_T = -b/(2a) = 3 \) olarak verilmiştir. Buradan \( -b = 6a \) veya \( b = -6a \) ilişkisi elde edilir.
Y Ekseni Kesişim Noktası: Parabolün y eksenini kestiği nokta (0, 5)'tir. \( y = ax^2 + bx + c \) denkleminde \( x=0 \) ve \( y=5 \) koyarsak: \( 5 = a(0)^2 + b(0) + c \Rightarrow c = 5 \).
X Ekseni Kesişim Noktası: Parabolün (1, 0) noktasından geçtiği bilinmektedir. Bu noktayı denklemde yerine koyalım: \( 0 = a(1)^2 + b(1) + 5 \Rightarrow 0 = a + b + 5 \).
Denklemleri Birleştirme: \( b = -6a \) ve \( a + b + 5 = 0 \) denklemlerini kullanarak \( a \) ve \( b \)'yi bulabiliriz. İkinci denklemde \( b \) yerine \( -6a \) yazarsak: \( a + (-6a) + 5 = 0 \Rightarrow -5a + 5 = 0 \Rightarrow 5a = 5 \Rightarrow a = 1 \).
\( b \) Değerini Bulma: \( b = -6a \) olduğuna göre, \( b = -6(1) = -6 \).
Parabol Denklemi: Bulduğumuz \( a=1 \), \( b=-6 \) ve \( c=5 \) değerlerini genel denklemde yerine koyarsak: \( y = 1x^2 + (-6)x + 5 \Rightarrow y = x^2 - 6x + 5 \).
✅ Parabolün denklemi \( y = x^2 - 6x + 5 \)'tir.
Örnek 9:
Bir fonksiyonun grafiği bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası T(2, -3)'tür ve y eksenini kestiği nokta (0, 1)'dir.
Bu parabolün denklemini bulunuz.
Çözüm:
Tepe Noktası Formu: Tepe noktası \( (r, s) \) olan bir parabolün denklemi \( y = a(x-r)^2 + s \) şeklindedir.
Verilen Bilgiler: Tepe noktası T(2, -3) olduğuna göre, \( r=2 \) ve \( s=-3 \)'tür. Denklemin bu hali \( y = a(x-2)^2 - 3 \) olur.
Y Ekseni Kesişim Noktası: Parabol (0, 1) noktasından geçmektedir. Bu noktayı denklemde yerine koyarak \( a \) katsayısını bulabiliriz: \( 1 = a(0-2)^2 - 3 \).