💡 11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden Fonksiyonlar Çözümlü Örnekler

• 👉 a) \(f(x) = 3x - 5\): Bu bir doğrusal fonksiyondur çünkü x'in en yüksek kuvveti 1'dir.
• ✅ b) \(g(x) = x^2 - 4x + 7\): Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur. Burada \(a=1\), \(b=-4\) ve \(c=7\)'dir. x'in en yüksek kuvveti 2'dir ve baş katsayı \(a=1 \neq 0\)'dır.
• 👉 c) \(h(x) = \frac{1}{x^2} + 2x = x^{-2} + 2x\): Bu bir ikinci dereceden fonksiyon değildir çünkü x'in kuvveti negatif (-2) ve kesirlidir. Polinom fonksiyon tanımına uymaz.
• 👉 d) \(k(x) = 2x^3 - x^2 + 1\): Bu bir üçüncü dereceden fonksiyondur çünkü x'in en yüksek kuvveti 3'tür.

Bu nedenle, doğru cevap b seçeneğidir. 💡

• Adım 1: Katsayıları Belirleme
  Verilen fonksiyon \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) ise, katsayılar şunlardır:
  \(a = 1\)
  \(b = -6\)
  \(c = 5\)
• Adım 2: Tepe Noktasının Apsisini (r) Bulma
  Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülüyle bulunur.
  \[ r = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = -\frac{-6}{2} = 3 \]
• Adım 3: Tepe Noktasının Ordinatını (k) Bulma
  Tepe noktasının ordinatı \(k = f(r)\) formülüyle bulunur. Yani, bulduğumuz \(r\) değerini fonksiyonda yerine yazarız.
  \[ k = f(3) = (3)^2 - 6(3) + 5 \] \[ k = 9 - 18 + 5 \] \[ k = -9 + 5 = -4 \]
• Adım 4: Tepe Noktasını ve Simetri Eksenini Belirleme
  Tepe noktası \(T(r, k)\) olduğundan, \(T(3, -4)\)'tür.
  Simetri ekseni, tepe noktasının apsisinden geçen düşey doğrudur. Yani \(x = r\) doğrusudur.
  Bu durumda, simetri ekseni \(x = 3\) doğrusudur.

Sonuç olarak, fonksiyonun tepe noktası \(T(3, -4)\) ve simetri ekseni \(x = 3\)'tür. ✅

• Adım 1: Parabolün Yönünü Belirleme
  Fonksiyon \(f(x) = -x^2 + 4x - 3\) şeklindedir. Burada \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -3\)'tür.
  Baş katsayı \(a = -1 < 0\) olduğundan, parabolün kolları aşağıya doğrudur. 📉
• Adım 2: Tepe Noktasını Bulma
  Apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülüyle bulunur:
  \[ r = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2 \] Ordinatı \(k = f(r)\) formülüyle bulunur:
  \[ k = f(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 \] \[ k = -4 + 8 - 3 = 1 \] Tepe noktası \(T(2, 1)\)'dir.
• Adım 3: y-ekseni Kesim Noktasını Bulma
  y-eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) yazılır:
  \[ f(0) = -(0)^2 + 4(0) - 3 = -3 \] y-eksenini kestiği nokta \((0, -3)\)'tür.
• Adım 4: x-ekseni Kesim Noktalarını Bulma
  x-eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemi çözülür:
  \[ -x^2 + 4x - 3 = 0 \] Denklemi pozitif \(x^2\) ile çarparak daha rahat çözebiliriz:
  \[ x^2 - 4x + 3 = 0 \] Çarpanlara ayırma yöntemiyle:
  \[ (x-1)(x-3) = 0 \] Buradan kökler \(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 3\) bulunur.
  x-eksenini kestiği noktalar \((1, 0)\) ve \((3, 0)\)'dır.

Bu noktaları kullanarak parabolün grafiği çizilebilir. ✅ Tepe noktası \((2, 1)\), y-kesimi \((0, -3)\), x-kesimleri \((1, 0)\) ve \((3, 0)\) noktalarıdır. 💡

• Adım 1: Katsayıları Belirleme
  Verilen fonksiyon \(f(x) = 2x^2 - 8x + 10\) ise, katsayılar şunlardır:
  \(a = 2\)
  \(b = -8\)
  \(c = 10\)
• Adım 2: Parabolün Yönünü İnceleme
  Baş katsayı \(a = 2\)'dir. \(a > 0\) olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur. ⬆️
  Kolları yukarıya doğru olan bir parabolün bir en küçük değeri vardır ve bu değer tepe noktasının ordinatıdır.
• Adım 3: Tepe Noktasının Apsisini (r) Bulma
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-8}{2 \cdot 2} = -\frac{-8}{4} = 2 \]
• Adım 4: En Küçük Değeri (k) Bulma
  En küçük değer, tepe noktasının ordinatı olan \(k = f(r)\)'dir.
  \[ k = f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + 10 \] \[ k = 2(4) - 16 + 10 \] \[ k = 8 - 16 + 10 \] \[ k = -8 + 10 = 2 \]

Bu fonksiyonun en küçük değeri 2'dir. ✅

• Adım 1: Tepe Noktasını Yerine Yazma
  Tepe noktası \(T(1, -2)\) verildiğine göre, \(r = 1\) ve \(k = -2\)'dir.
  Bu değerleri genel denklemde yerine yazalım:
  \[ f(x) = a(x-1)^2 + (-2) \] \[ f(x) = a(x-1)^2 - 2 \]
• Adım 2: Verilen Noktayı Kullanarak 'a' Katsayısını Bulma
  Parabolün \((3, 6)\) noktasından geçtiği bilgisi verilmiştir. Bu, \(f(3) = 6\) demektir.
  Denklemde \(x=3\) ve \(f(x)=6\) değerlerini yerine yazalım:
  \[ 6 = a(3-1)^2 - 2 \] \[ 6 = a(2)^2 - 2 \] \[ 6 = 4a - 2 \] Şimdi \(a\)'yı bulmak için denklemi çözelim:
  \[ 6 + 2 = 4a \] \[ 8 = 4a \] \[ a = \frac{8}{4} \] \[ a = 2 \]
• Adım 3: Parabolün Denklemini Yazma
  Bulduğumuz \(a = 2\) değerini ilk denklemde yerine yazarak parabolün denklemini elde ederiz:
  \[ f(x) = 2(x-1)^2 - 2 \] İstenirse bu ifadeyi açarak \(ax^2+bx+c\) formuna getirebiliriz:
  \[ f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) - 2 \] \[ f(x) = 2x^2 - 4x + 2 - 2 \] \[ f(x) = 2x^2 - 4x \]

Parabolün denklemi \(f(x) = 2x^2 - 4x\)'tir. ✅

• Adım 1: Ortak Denklem Oluşturma
  Parabol ve doğru denklemlerini eşitleyerek ortak denklemi oluşturalım:
  \[ x^2 - 2x + m + 1 = 2x + 3 \]
• Adım 2: Denklemi Düzenleme
  Tüm terimleri bir tarafa toplayarak ikinci dereceden bir denklem elde edelim:
  \[ x^2 - 2x - 2x + m + 1 - 3 = 0 \] \[ x^2 - 4x + m - 2 = 0 \]
• Adım 3: Teğetlik Koşulunu Uygulama
  Parabol ile doğru birbirine teğet ise, bu ikinci dereceden denklemin tek bir gerçek kökü olmalıdır. Bu da diskriminantın (\(\Delta\)) sıfıra eşit olması (\(\Delta = 0\)) anlamına gelir.
  Denklemimiz \(ax^2 + bx + c = 0\) formunda olduğundan, burada:
  \(a = 1\)
  \(b = -4\)
  \(c = m - 2\)
  Diskriminant formülü \(\Delta = b^2 - 4ac\)'dir. Bunu sıfıra eşitleyelim:
  \[ (-4)^2 - 4(1)(m - 2) = 0 \] \[ 16 - 4(m - 2) = 0 \]
• Adım 4: 'm' Değerini Bulma
  Denklemi çözerek \(m\) değerini bulalım:
  \[ 16 - 4m + 8 = 0 \] \[ 24 - 4m = 0 \] \[ 24 = 4m \] \[ m = \frac{24}{4} \] \[ m = 6 \]

Bu durumda, parabol ile doğrunun birbirine teğet olması için \(m\) değeri 6 olmalıdır. ✅

• Adım 1: Parabol Denklemini Oluşturma
  Kemerin zemine değdiği noktalar (x-ekseni kesim noktaları) \(x_1 = -4\) ve \(x_2 = 6\)'dır.
  Denklemi bu kökleri kullanarak yazalım:
  \[ f(x) = a(x - (-4))(x - 6) \] \[ f(x) = a(x + 4)(x - 6) \]
• Adım 2: Tepe Noktasının Apsisini (r) Kontrol Etme
  x-eksenini kestiği noktalar verildiğinde tepe noktasının apsisi, bu noktaların tam ortasıdır:
  \[ r = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Soruda "kemerin en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" deniyor. Bu, tepe noktasının apsisinin 0 olması gerektiği anlamına gelir (\(r=0\)). Ancak bulduğumuz \(r=1\). Bu bir çelişki! 😱
  Demek ki, kemer y-ekseni üzerinde en yüksek noktaya sahipse, x-eksenini kestiği noktalar simetrik olmalıdır. Yani, \((-k, 0)\) ve \((k, 0)\) şeklinde olmalıdır. Bu soruda böyle verilmediği için, "kemerin en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" ifadesi, aslında bir hatalı varsayım veya yanlış anlama içerebilir.
  
  Düzeltme: Eğer en yüksek nokta y-ekseni üzerinde ise, tepe noktası \(T(0, k)\) olmalıdır. Bu durumda, x-eksenini kestiği noktalar \((-r, 0)\) ve \((r, 0)\) şeklinde olmalıdır. Ancak bize \((-4, 0)\) ve \((6, 0)\) noktaları verilmiş. Bu durumda tepe noktasının apsisi \(r = \frac{-4+6}{2} = 1\) olur. Yani tepe noktası y-ekseni üzerinde değildir. 🧐
  
  Yeniden Yorumlama: Soruyu 11. sınıf müfredatına uygun ve çelişkisiz hale getirelim. "Kemerin en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" ifadesi, kemerin en yüksek noktasının apsisinin \(x=0\) olduğunu belirtir. Fakat x-ekseni kesim noktaları \((-4,0)\) ve \((6,0)\) olan bir parabolün tepe noktası \(x = \frac{-4+6}{2} = 1\) apsisine sahiptir. Bu bir çelişkidir.
  Bu tür "Yeni Nesil" sorularda bazen dikkat gerektiren bu tür durumlar olabilir. Eğer en yüksek nokta y-ekseni üzerindeyse, x-ekseni kesim noktaları \((-k, 0)\) ve \((k, 0)\) şeklinde olmalıdır. Verilen noktalar bu duruma uymuyor.
  
  Varsayım: Sorudaki "kemerin en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" ifadesi bir yanıltmaca veya hatadır. Gerçek tepe noktasını bulup o yüksekliği hesaplamalıyız. Eğer y-ekseni üzerinde bir nokta olsaydı, x-eksenini kestiği noktalar \((-k,0)\) ve \((k,0)\) olmalıydı. Bu durumda \(x_1 = -4\) ve \(x_2 = 6\) ise, tepe noktasının apsisi \(r = \frac{-4+6}{2} = 1\)'dir. Bu tepe noktasının y-ekseni üzerinde olmadığını gösterir. Soruyu, verilen x-ekseni kesim noktalarına göre tepe noktasının yüksekliğini bulma şeklinde yorumlayalım.
• Adım 3: 'a' Katsayısını Bulma (Gereksiz Olabilir)
  Bu soruda 'a' katsayısını bulmaya gerek kalmadan da çözebiliriz çünkü sadece en yüksek noktayı (ordinatı) istiyor. Tepe noktasının apsisi zaten x-kesim noktalarının ortalamasıdır.
• Adım 4: Tepe Noktasının Yüksekliğini Bulma
  Tepe noktasının apsisi \(r = 1\)'dir. En yüksek nokta bu \(x=1\) noktasında gerçekleşir. Şimdi \(f(1)\) değerini bulmak için, denklemi \(f(x) = a(x+4)(x-6)\) formunda kullanacağız.
  Ancak 'a' katsayısını bilmiyoruz. Bu tür bir soruda ya ek bir nokta verilir ya da a katsayısının doğrudan bulunabileceği bir bilgi olmalıdır. Eğer en yüksek nokta y-ekseni üzerindeyse, yani \(r=0\) ise, bu durumda \(x_1 = -x_2\) olmalıydı. \((-4,0)\) ve \((6,0)\) için bu geçerli değildir.
  
  Soru Metni Düzeltmesi/Yorumu: Bu tür yeni nesil sorularda eğer y-ekseni üzerindeyse, kemerin simetrik olması beklenir. Eğer değilse, bu durumda en yüksek nokta, x-ekseni kesim noktalarının apsislerinin ortalamasında olacaktır. Sorunun orijinal metnindeki "en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" ifadesi, verilen x-kesim noktaları ile çelişmektedir.
  
  Çözüm Yaklaşımı 1 (Çelişkiyi göz ardı ederek, tepe noktasının apsisini hesaplayalım):
  Eğer köprü \((-4,0)\) ve \((6,0)\) noktalarından geçiyorsa, tepe noktasının apsisi \(r = \frac{-4+6}{2} = 1\)'dir. Bu durumda tepe noktası \(T(1, k)\) olur. En yüksek nokta y-ekseni üzerinde değildir. Kemerin en yüksek noktasının yerden yüksekliğini bulmak için, \(f(1)\) değerini bulmalıyız. Ancak \(a\) katsayısı eksik. Bu soruyu çözebilmek için ya \(a\) katsayısı verilmeli ya da başka bir nokta verilmelidir.
  
  Çözüm Yaklaşımı 2 (Soru metnine sadık kalarak, ancak x-ekseni kesim noktalarını yoksayarak):
  Eğer en yüksek nokta y-ekseni üzerindeyse, tepe noktası \(T(0, k)\) şeklindedir. Ancak x-ekseni kesim noktaları \((-4,0)\) ve \((6,0)\) ise, tepe noktası \(x=1\) apsisine sahip olur. Bu bir çelişki.
  
  En olası senaryo: Soruda "kemerin en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" ifadesi, aslında simetri ekseni y-ekseni olan bir parabolü ima etmektedir, fakat verilen kökler bu durumu bozmaktadır. Bu durumda, soruda bir hata vardır.
  
  Kabul Edilebilir Çözüm (Soruyu yeniden yorumlayarak): Kemerin zemine değdiği noktalar \((-4,0)\) ve \((6,0)\) ise, tepe noktası bu iki noktanın tam ortasında yer alır. Bu, parabolün simetrik yapısının bir gereğidir. Bu durumda, sorudaki "kemerin en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" ifadesini yoksayarak, tepe noktasının apsisini bulalım:
  \(r = \frac{-4 + 6}{2} = 1\). Kemerin en yüksek noktası \(x=1\) apsisinde gerçekleşir.
  Denklem \(f(x) = a(x+4)(x-6)\) şeklindeydi.
  En yüksek noktayı (kemerin yüksekliğini) bulmak için \(f(1)\) değerini hesaplamalıyız:
  \(f(1) = a(1+4)(1-6) = a(5)(-5) = -25a\).
  Yükseklik pozitif olacağından, \(a\) negatif olmalıdır. Ancak \(a\) katsayısı olmadan yüksekliği sayısal olarak bulamayız.
  
  Bu sorunun 11. sınıf müfredatına uygun ve çözülebilir olması için ek bilgiye ihtiyaç vardır veya "en yüksek nokta y-ekseni üzerinde" ifadesi yanlış anlaşılmıştır.
  
  Revize Edilmiş Soru ve Çözüm Yaklaşımı (En olası senaryo): Eğer köprünün kemeri, zemine \((-4,0)\) ve \((4,0)\) noktalarında değiyor ve en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunuyorsa, bu durumda tepe noktasının apsisi \(r=0\) olur. Ancak verilen kökler \((-4,0)\) ve \((6,0)\). Bu durumda soruyu "Kemerin zemine değdiği noktalar \((-4, 0)\) ve \((6, 0)\) olup, kemerin en yüksek noktasının apsisi \(x=1\)'dir. Eğer kemerin \(x=0\) noktasındaki yüksekliği 24 birim ise, kemerin en yüksek noktasının yerden yüksekliği kaç birimdir?" şeklinde revize edelim. Bu, 11. sınıf seviyesinde çözülebilir bir hale getirir ve "yeni nesil" sorularda sıkça karşılaşılan bir problem tipidir.
  
  YENİDEN DÜZENLENMİŞ ÇÖZÜM:
  Adım 1: Parabol Denklemini Oluşturma
  Kemerin zemine değdiği noktalar (x-ekseni kesim noktaları) \(x_1 = -4\) ve \(x_2 = 6\)'dır.
  Denklemi bu kökleri kullanarak yazalım:
  \[ f(x) = a(x - (-4))(x - 6) \] \[ f(x) = a(x + 4)(x - 6) \] Adım 2: Tepe Noktasının Apsisini Bulma
  Tepe noktasının apsisi, x-ekseni kesim noktalarının ortalamasıdır:
  \[ r = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Demek ki kemer en yüksek noktasına \(x=1\) apsisinde ulaşır. Adım 3: 'a' Katsayısını Bulma (Ek bilgi gerekiyor)
  Soruda ek bilgi olarak, örneğin kemerin y-eksenini kestiği noktanın \((0, 24)\) olduğu varsayılsın (yani \(x=0\) için yükseklik 24 birim). Bu bilgiyi kullanarak \(a\) katsayısını bulalım:
  \(f(0) = 24\) olduğuna göre:
  \[ 24 = a(0 + 4)(0 - 6) \] \[ 24 = a(4)(-6) \] \[ 24 = -24a \] \[ a = \frac{24}{-24} \] \[ a = -1 \] Adım 4: Kemerin En Yüksek Noktasının Yüksekliğini Bulma
  En yüksek nokta tepe noktasının ordinatıdır. Tepe noktasının apsisi \(r = 1\) idi. Şimdi \(a = -1\) değerini ve \(r = 1\) değerini kullanarak \(f(1)\)'i bulalım:
  \[ f(x) = -1(x + 4)(x - 6) \] \[ f(1) = -1(1 + 4)(1 - 6) \] \[ f(1) = -1(5)(-5) \] \[ f(1) = -1(-25) \] \[ f(1) = 25 \]

Kemerin en yüksek noktasının yerden yüksekliği 25 birimdir. ✅

Not: Orijinal soru metnindeki "kemerin en yüksek noktası y-ekseni üzerinde bulunmaktadır" ifadesi, verilen x-ekseni kesim noktaları ile çeliştiği için, çözümü yaparken bu ifadeyi ya göz ardı edip tepe noktasını hesapladık, ya da ek bir bilgi varsayarak (y-ekseni kesim noktası) \(a\) katsayısını bulduk. Yeni nesil sorularda bu tür dikkat gerektiren noktalar olabilir. 💡

• Adım 1: Katsayıları Belirleme
  Verilen fonksiyon \(h(t) = -t^2 + 6t + 7\) ise, katsayılar şunlardır:
  \(a = -1\)
  \(b = 6\)
  \(c = 7\)
• Adım 2: Maksimum Yüksekliğe Ulaşma Süresini Bulma (Tepe Noktasının Apsisi)
  Maksimum yüksekliğe ulaşılan süre, tepe noktasının apsisi olan \(r\) ile bulunur.
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \] Top, 3 saniyede maksimum yüksekliğe ulaşır. ⏱️
• Adım 3: Maksimum Yüksekliği Bulma (Tepe Noktasının Ordinatı)
  Maksimum yükseklik, tepe noktasının ordinatı olan \(k = h(r)\) ile bulunur. Bulduğumuz \(r=3\) değerini fonksiyonda yerine yazalım:
  \[ k = h(3) = -(3)^2 + 6(3) + 7 \] \[ k = -9 + 18 + 7 \] \[ k = 9 + 7 = 16 \] Topun ulaştığı maksimum yükseklik 16 metredir. 🚀

Sonuç olarak, top 3 saniyede maksimum yüksekliğe ulaşır ve bu maksimum yükseklik 16 metredir. ✅

• Adım 1: Değişkenleri Tanımlama ve Fonksiyon Oluşturma
  Dikdörtgen kümesin bir kenarı duvar olduğu için, diğer üç kenara tel çekilecektir. Kümesin duvar olmayan uzun kenarına \(x\) metre, kısa kenarlarına ise \(y\) metre diyelim. (İki kısa kenar, bir uzun kenar duvar değil).
  Kullanılan toplam tel miktarı 120 metre olduğuna göre:
  \[ x + 2y = 120 \] Bu denklemden \(x\)'i \(y\) cinsinden ifade edelim:
  \[ x = 120 - 2y \] Kümesin alanı \(A\) ise, \(A = x \cdot y\)'dir. Bu denklemde \(x\)'in yerine \(120 - 2y\) yazalım:
  \[ A(y) = (120 - 2y)y \] \[ A(y) = 120y - 2y^2 \] Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur: \(A(y) = -2y^2 + 120y\).
• Adım 2: Maksimum Alanı Bulma
  Fonksiyon \(A(y) = -2y^2 + 120y\) şeklindedir. Burada \(a = -2\), \(b = 120\), \(c = 0\)'dır.
  Baş katsayı \(a = -2 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağıya doğrudur ve bu fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Bu maksimum değer, tepe noktasının ordinatıdır.
  Öncelikle tepe noktasının apsisini (yani \(y\) değerini) bulalım:
  \[ r = -\frac{b}{2a} = -\frac{120}{2 \cdot (-2)} = -\frac{120}{-4} = 30 \] Demek ki kümesin kısa kenarları 30 metre olduğunda alan maksimum olur.
  Şimdi bu \(y=30\) değerini alan fonksiyonunda yerine yazarak maksimum alanı bulalım:
  \[ A_{maks} = A(30) = -2(30)^2 + 120(30) \] \[ A_{maks} = -2(900) + 3600 \] \[ A_{maks} = -1800 + 3600 \] \[ A_{maks} = 1800 \]

Kümesin maksimum alanı 1800 metrekaredir. ✅ Bu durumda diğer kenarın uzunluğu \(x = 120 - 2(30) = 120 - 60 = 60\) metre olur. Kümesin boyutları 30 metreye 60 metre olur. 🐔