📄 11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden Fonksiyonlar Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

1. **Tepe Noktası (T(r, k)):**
\(r = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\)
\(k = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)
Tepe Noktası: \(T(2, -1)\)

2. **Simetri Ekseni:**
\(x = r\) olduğundan simetri ekseni \(x = 2\) doğrusudur.

3. **\(y\)-eksenini kestiği nokta:**
\(x = 0\) için \(f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3\)
\(y\)-eksenini kestiği nokta: \((0, 3)\)

4. **\(x\)-eksenini kestiği noktalar:**
\(f(x) = 0\) için \(x^2 - 4x + 3 = 0\)
Çarpanlara ayırarak: \((x - 1)(x - 3) = 0\)
\(x_1 = 1\) ve \(x_2 = 3\)
\(x\)-eksenini kestiği noktalar: \((1, 0)\) ve \((3, 0)\)

5. **Grafik Çizimi:**
Elde edilen noktalar: \(T(2, -1)\), \((0, 3)\), \((1, 0)\), \((3, 0)\). Parabolün kolları \(a=1>0\) olduğu için yukarı doğrudur. Bu noktalar koordinat düzleminde işaretlenerek parabol çizilir.

💡 Çözüm Adımları:

Verilen fonksiyon \(h(t) = -2t^2 + 12t\) ikinci dereceden bir fonksiyondur. \(a = -2\), \(b = 12\), \(c = 0\). Parabolün kolları \(a < 0\) olduğu için aşağıya doğrudur, bu da fonksiyonun bir maksimum değeri olduğunu gösterir. Topun çıkabileceği en yüksek nokta, fonksiyonun tepe noktasının ordinatıdır.

1. **Tepe noktasının apsisi (zaman):**
\(t = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2 \cdot (-2)} = -\frac{12}{-4} = 3\) saniye.

2. **Tepe noktasının ordinatı (maksimum yükseklik):**
\(h(3) = -2(3)^2 + 12(3) = -2(9) + 36 = -18 + 36 = 18\) metre.

Buna göre, top yerden en fazla 18 metre yüksekliğe çıkabilir.

💡 Çözüm Adımları:

Bir parabolün tepe noktası bilindiğinde denklemi \(f(x) = a(x - r)^2 + k\) şeklinde yazılır. Burada \(r\) ve \(k\) tepe noktasının koordinatlarıdır.

Verilenler: \(T(r, k) = T(1, 5)\) ve \((0, 3)\) noktası.

1. **Tepe noktası formülünü kullanarak denklemi yazalım:**
\(f(x) = a(x - 1)^2 + 5\)

2. **\((0, 3)\) noktasını kullanarak \(a\) değerini bulalım:**
Bu nokta fonksiyonun üzerinde olduğu için \(x=0\) ve \(f(x)=3\) değerlerini yerine koyarız.
\(3 = a(0 - 1)^2 + 5\)
\(3 = a(-1)^2 + 5\)
\(3 = a(1) + 5\)
\(3 = a + 5\)
\(a = 3 - 5\)
\(a = -2\)

3. **Fonksiyonun denklemini yazalım:**
\(f(x) = -2(x - 1)^2 + 5\)
Denklemi açarak standart forma getirelim:
\(f(x) = -2(x^2 - 2x + 1) + 5\)
\(f(x) = -2x^2 + 4x - 2 + 5\)
\(f(x) = -2x^2 + 4x + 3\)

İstenen ikinci dereceden fonksiyonun denklemi \(f(x) = -2x^2 + 4x + 3\) şeklindedir.