💡 11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden Fonksiyon Grafiği Çizimi ve Yorumlanması Çözümlü Örnekler

İkinci dereceden fonksiyonların genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=0, c=0 \) değerleridir.

• Tepe Noktası: İkinci dereceden fonksiyonların grafikleri parabol şeklindedir ve en yüksek veya en alçak noktaları tepe noktasıdır. \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunda tepe noktası orijindedir. Koordinatları \( (0, 0) \) olur.
• Grafik Yorumu: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur. Fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasındadır, yani \( f(0) = 0 \).
• Grafik Çizimi: \( x \) değerlerine karşılık gelen \( f(x) \) değerlerini tablo yaparak çizebiliriz:
  • \( x = -2 \implies f(x) = (-2)^2 = 4 \)
  • \( x = -1 \implies f(x) = (-1)^2 = 1 \)
  • \( x = 0 \implies f(x) = 0^2 = 0 \)
  • \( x = 1 \implies f(x) = 1^2 = 1 \)
  • \( x = 2 \implies f(x) = 2^2 = 4 \)
  Bu noktaları birleştirerek yukarı doğru açılan bir parabol elde ederiz.

💡 İpucu: \( a > 0 \) ise kollar yukarı, \( a < 0 \) ise kollar aşağı doğrudur.

Bu fonksiyonumuzda \( a=-1, b=0, c=4 \) değerleridir.

• Tepe Noktası: Tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur. Burada \( x_0 = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \) olur. Ordinatı ise \( f(0) = -(0)^2 + 4 = 4 \) olur. Dolayısıyla tepe noktası \( (0, 4) \)'tür.
• Grafik Yorumu: \( a=-1 \) negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Fonksiyonun en büyük değeri tepe noktasındadır, yani \( f(0) = 4 \).
• Grafik Çizimi: Tepe noktasını ve birkaç ek noktayı kullanarak çizim yapabiliriz:
  • Tepe Noktası: \( (0, 4) \)
  • \( x = 1 \implies f(1) = -(1)^2 + 4 = 3 \)
  • \( x = -1 \implies f(-1) = -(-1)^2 + 4 = 3 \)
  • \( x = 2 \implies f(2) = -(2)^2 + 4 = 0 \)
  • \( x = -2 \implies f(-2) = -(-2)^2 + 4 = 0 \)
  Bu noktaları birleştirerek aşağı doğru açılan bir parabol elde ederiz.

✅ Sonuç: Tepe noktası \( (0, 4) \) olan ve kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.

Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=-4, c=3 \) değerleridir.

• Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \) olur. Ordinatı ise \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \) olur. Tepe noktası \( (2, -1) \)'dir.
• Kolların Yönü: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
• Y eksenini Kestiği Nokta: \( x=0 \) için \( f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \). Nokta \( (0, 3) \)'tür.
• X Eksenini Kestiği Noktalar (Kökler): \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). Çarpanlarına ayırırsak \( (x-1)(x-3) = 0 \) olur. Kökler \( x=1 \) ve \( x=3 \)'tür. Noktalar \( (1, 0) \) ve \( (3, 0) \)'dır.

👉 Özet: Tepe noktası \( (2, -1) \), kolları yukarı doğru, y eksenini \( (0, 3) \) noktasında ve x eksenini \( (1, 0) \) ile \( (3, 0) \) noktalarında kesen bir paraboldür.

Bu fonksiyonumuzda \( a=-2, b=8, c=-6 \) değerleridir.

• Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \) olur. Ordinatı ise \( f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2 \) olur. Tepe noktası \( (2, 2) \)'dir.
• Kolların Yönü: \( a=-2 \) negatif olduğu için kollar aşağı doğrudur.
• Y Ekseni Kesişim Noktası: \( x=0 \) için \( f(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 6 = -6 \). Nokta \( (0, -6) \)'dır.
• X Ekseni Kesişim Noktaları: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( -2x^2 + 8x - 6 = 0 \). Denklemi -2'ye bölelim: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). Çarpanlarına ayırırsak \( (x-1)(x-3) = 0 \) olur. Kökler \( x=1 \) ve \( x=3 \)'tür. Noktalar \( (1, 0) \) ve \( (3, 0) \)'dır.

📌 Önemli: Tepe noktası \( (2, 2) \), kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.

Topun havada aldığı yol ikinci dereceden bir fonksiyonla ifade edildiği için grafiği bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası, topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaştığı yatay uzaklığı verir.

• Fonksiyonumuz \( f(x) = -x^2 + 6x \) şeklindedir. Burada \( a=-1, b=6, c=0 \) değerleridir.
• Tepe Noktasının Apsisi: Topun ulaşacağı en yüksek yüksekliğe karşılık gelen yatay uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \) metre.
• Tepe Noktasının Ordinatı: Topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği bulmak için \( x=3 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( y_0 = f(3) = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9 \) metre.

✅ Sonuç: Top, yerden 3 metre yatay uzaklıkta 9 metre yüksekliğe ulaşır.

Köprü kemerinin şekli bir parabol olduğundan, en yüksek noktası parabolün tepe noktasıdır.

• Verilen fonksiyon: \( y = -0.01x^2 + 0.4x \). Bu fonksiyonda \( a=-0.01, b=0.4, c=0 \) değerleridir.
• Tepe Noktasının Apsisi: Kemerin en yüksek noktasına ulaşan yatay mesafeyi bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.4}{2(-0.01)} = -\frac{0.4}{-0.02} = \frac{0.4}{0.02} = 20 \) metre.
• Tepe Noktasının Ordinatı: Kemerin yerden ulaşabileceği en yüksek yüksekliği bulmak için \( x=20 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( y_0 = -0.01(20)^2 + 0.4(20) = -0.01(400) + 8 = -4 + 8 = 4 \) metre.

💡 Yorum: Köprü kemerinin en yüksek noktası, ayaklara 20 metre yatay mesafede ve yerden 4 metre yüksekliktedir.

Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=-6, c=9 \) değerleridir.

• Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \) olur. Ordinatı ise \( f(3) = (3)^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 \) olur. Tepe noktası \( (3, 0) \)'dır.
• Kolların Yönü: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
• X Ekseni Kesişim Noktası: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \). Bu ifade \( (x-3)^2 = 0 \) şeklinde yazılabilir. Bu durumda tek bir kök vardır, \( x=3 \). Bu, parabolün x eksenine teğet olduğu anlamına gelir.

✅ Sonuç: Tepe noktası \( (3, 0) \) olan ve x eksenine teğet olan, kolları yukarı doğru bir paraboldür.

Bu fonksiyonumuzda \( a=3, b=12, c=10 \) değerleridir.

• Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(3)} = -\frac{12}{6} = -2 \) olur. Ordinatı ise \( f(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 10 = 3(4) - 24 + 10 = 12 - 24 + 10 = -2 \) olur. Tepe noktası \( (-2, -2) \)'dir.
• Kolların Yönü: \( a=3 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
• Y Ekseni Kesişim Noktası: \( x=0 \) için \( f(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 10 = 10 \). Nokta \( (0, 10) \)'dur.
• X Ekseni Kesişim Noktaları: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( 3x^2 + 12x + 10 = 0 \). Bu denklemin diskriminantını \( \Delta = b^2 - 4ac \) hesaplayalım: \( \Delta = (12)^2 - 4(3)(10) = 144 - 120 = 24 \). Diskriminant pozitif olduğu için iki farklı gerçek kök vardır. Kökler \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{24}}{2(3)} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -2 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \) olur.

📌 Özet: Tepe noktası \( (-2, -2) \), kolları yukarı doğru ve y eksenini \( (0, 10) \) noktasında kesen bir paraboldür.