💡 11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden Fonksiyon Grafiği Çizimi ve Yorumlanması Çözümlü Örnekler
1
Çözümlü Örnek
Kolay Seviye
Temel ikinci dereceden fonksiyonumuz olan \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim ve tepe noktasını belirleyelim.
Çözüm ve Açıklama
İkinci dereceden fonksiyonların genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=0, c=0 \) değerleridir.
Tepe Noktası: İkinci dereceden fonksiyonların grafikleri parabol şeklindedir ve en yüksek veya en alçak noktaları tepe noktasıdır. \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunda tepe noktası orijindedir. Koordinatları \( (0, 0) \) olur.
Grafik Yorumu: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur. Fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasındadır, yani \( f(0) = 0 \).
Grafik Çizimi: \( x \) değerlerine karşılık gelen \( f(x) \) değerlerini tablo yaparak çizebiliriz:
\( x = -2 \implies f(x) = (-2)^2 = 4 \)
\( x = -1 \implies f(x) = (-1)^2 = 1 \)
\( x = 0 \implies f(x) = 0^2 = 0 \)
\( x = 1 \implies f(x) = 1^2 = 1 \)
\( x = 2 \implies f(x) = 2^2 = 4 \)
Bu noktaları birleştirerek yukarı doğru açılan bir parabol elde ederiz.
💡 İpucu: \( a > 0 \) ise kollar yukarı, \( a < 0 \) ise kollar aşağı doğrudur.
2
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
Aşağıdaki ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini çizelim ve yorumlayalım: \( f(x) = -x^2 + 4 \)
Çözüm ve Açıklama
Bu fonksiyonumuzda \( a=-1, b=0, c=4 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur. Burada \( x_0 = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \) olur. Ordinatı ise \( f(0) = -(0)^2 + 4 = 4 \) olur. Dolayısıyla tepe noktası \( (0, 4) \)'tür.
Grafik Yorumu: \( a=-1 \) negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Fonksiyonun en büyük değeri tepe noktasındadır, yani \( f(0) = 4 \).
Grafik Çizimi: Tepe noktasını ve birkaç ek noktayı kullanarak çizim yapabiliriz:
Tepe Noktası: \( (0, 4) \)
\( x = 1 \implies f(1) = -(1)^2 + 4 = 3 \)
\( x = -1 \implies f(-1) = -(-1)^2 + 4 = 3 \)
\( x = 2 \implies f(2) = -(2)^2 + 4 = 0 \)
\( x = -2 \implies f(-2) = -(-2)^2 + 4 = 0 \)
Bu noktaları birleştirerek aşağı doğru açılan bir parabol elde ederiz.
✅ Sonuç: Tepe noktası \( (0, 4) \) olan ve kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.
3
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için gereken temel bilgileri belirleyelim.
Çözüm ve Açıklama
Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=-4, c=3 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \) olur. Ordinatı ise \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \) olur. Tepe noktası \( (2, -1) \)'dir.
Kolların Yönü: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
Y eksenini Kestiği Nokta: \( x=0 \) için \( f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \). Nokta \( (0, 3) \)'tür.
👉 Özet: Tepe noktası \( (2, -1) \), kolları yukarı doğru, y eksenini \( (0, 3) \) noktasında ve x eksenini \( (1, 0) \) ile \( (3, 0) \) noktalarında kesen bir paraboldür.
4
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 6 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim ve tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
Çözüm ve Açıklama
Bu fonksiyonumuzda \( a=-2, b=8, c=-6 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \) olur. Ordinatı ise \( f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2 \) olur. Tepe noktası \( (2, 2) \)'dir.
Kolların Yönü: \( a=-2 \) negatif olduğu için kollar aşağı doğrudur.
Y Ekseni Kesişim Noktası: \( x=0 \) için \( f(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 6 = -6 \). Nokta \( (0, -6) \)'dır.
📌 Önemli: Tepe noktası \( (2, 2) \), kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.
5
Çözümlü Örnek
Yeni Nesil Soru
Bir futbolcunun, topa vurduktan sonra topun havada aldığı yol \( y = -x^2 + 6x \) denklemi ile modellenmektedir. Burada \( x \) yerden yatay uzaklığı, \( y \) ise yerden yüksekliği metre cinsindendir. Topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaştığı yatay uzaklığı bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Topun havada aldığı yol ikinci dereceden bir fonksiyonla ifade edildiği için grafiği bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası, topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaştığı yatay uzaklığı verir.
Tepe Noktasının Apsisi: Topun ulaşacağı en yüksek yüksekliğe karşılık gelen yatay uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \) metre.
Tepe Noktasının Ordinatı: Topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği bulmak için \( x=3 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( y_0 = f(3) = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9 \) metre.
✅ Sonuç: Top, yerden 3 metre yatay uzaklıkta 9 metre yüksekliğe ulaşır.
6
Çözümlü Örnek
Günlük Hayattan Örnek
Bir köprünün kemer şeklindeki yapısı, \( y = -0.01x^2 + 0.4x \) denklemi ile modellenebilir. Burada \( x \) ve \( y \) metre cinsindendir. Köprünün kemerinin yerden en yüksek noktasının yüksekliğini ve bu noktanın ayaklara olan yatay mesafesini bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Köprü kemerinin şekli bir parabol olduğundan, en yüksek noktası parabolün tepe noktasıdır.
Verilen fonksiyon: \( y = -0.01x^2 + 0.4x \). Bu fonksiyonda \( a=-0.01, b=0.4, c=0 \) değerleridir.
Tepe Noktasının Apsisi: Kemerin en yüksek noktasına ulaşan yatay mesafeyi bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.4}{2(-0.01)} = -\frac{0.4}{-0.02} = \frac{0.4}{0.02} = 20 \) metre.
Tepe Noktasının Ordinatı: Kemerin yerden ulaşabileceği en yüksek yüksekliği bulmak için \( x=20 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( y_0 = -0.01(20)^2 + 0.4(20) = -0.01(400) + 8 = -4 + 8 = 4 \) metre.
💡 Yorum: Köprü kemerinin en yüksek noktası, ayaklara 20 metre yatay mesafede ve yerden 4 metre yüksekliktedir.
7
Çözümlü Örnek
Orta Seviye
\( f(x) = x^2 - 6x + 9 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim ve tepe noktasını belirleyelim.
Çözüm ve Açıklama
Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=-6, c=9 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \) olur. Ordinatı ise \( f(3) = (3)^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 \) olur. Tepe noktası \( (3, 0) \)'dır.
Kolların Yönü: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
X Ekseni Kesişim Noktası: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \). Bu ifade \( (x-3)^2 = 0 \) şeklinde yazılabilir. Bu durumda tek bir kök vardır, \( x=3 \). Bu, parabolün x eksenine teğet olduğu anlamına gelir.
✅ Sonuç: Tepe noktası \( (3, 0) \) olan ve x eksenine teğet olan, kolları yukarı doğru bir paraboldür.
8
Çözümlü Örnek
Zor Seviye
\( f(x) = 3x^2 + 12x + 10 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için gerekli bilgileri ve tepe noktasını bulunuz.
Çözüm ve Açıklama
Bu fonksiyonumuzda \( a=3, b=12, c=10 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(3)} = -\frac{12}{6} = -2 \) olur. Ordinatı ise \( f(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 10 = 3(4) - 24 + 10 = 12 - 24 + 10 = -2 \) olur. Tepe noktası \( (-2, -2) \)'dir.
Kolların Yönü: \( a=3 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
Y Ekseni Kesişim Noktası: \( x=0 \) için \( f(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 10 = 10 \). Nokta \( (0, 10) \)'dur.
X Ekseni Kesişim Noktaları: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( 3x^2 + 12x + 10 = 0 \). Bu denklemin diskriminantını \( \Delta = b^2 - 4ac \) hesaplayalım: \( \Delta = (12)^2 - 4(3)(10) = 144 - 120 = 24 \). Diskriminant pozitif olduğu için iki farklı gerçek kök vardır. Kökler \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{24}}{2(3)} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -2 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \) olur.
📌 Özet: Tepe noktası \( (-2, -2) \), kolları yukarı doğru ve y eksenini \( (0, 10) \) noktasında kesen bir paraboldür.
11. Sınıf Matematik: İkinci Dereceden Fonksiyon Grafiği Çizimi ve Yorumlanması Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Temel ikinci dereceden fonksiyonumuz olan \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim ve tepe noktasını belirleyelim.
Çözüm:
İkinci dereceden fonksiyonların genel formu \( f(x) = ax^2 + bx + c \) şeklindedir. Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=0, c=0 \) değerleridir.
Tepe Noktası: İkinci dereceden fonksiyonların grafikleri parabol şeklindedir ve en yüksek veya en alçak noktaları tepe noktasıdır. \( f(x) = x^2 \) fonksiyonunda tepe noktası orijindedir. Koordinatları \( (0, 0) \) olur.
Grafik Yorumu: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur. Fonksiyonun en küçük değeri tepe noktasındadır, yani \( f(0) = 0 \).
Grafik Çizimi: \( x \) değerlerine karşılık gelen \( f(x) \) değerlerini tablo yaparak çizebiliriz:
\( x = -2 \implies f(x) = (-2)^2 = 4 \)
\( x = -1 \implies f(x) = (-1)^2 = 1 \)
\( x = 0 \implies f(x) = 0^2 = 0 \)
\( x = 1 \implies f(x) = 1^2 = 1 \)
\( x = 2 \implies f(x) = 2^2 = 4 \)
Bu noktaları birleştirerek yukarı doğru açılan bir parabol elde ederiz.
💡 İpucu: \( a > 0 \) ise kollar yukarı, \( a < 0 \) ise kollar aşağı doğrudur.
Örnek 2:
Aşağıdaki ikinci dereceden fonksiyonun grafiğini çizelim ve yorumlayalım: \( f(x) = -x^2 + 4 \)
Çözüm:
Bu fonksiyonumuzda \( a=-1, b=0, c=4 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Tepe noktasının apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} \) formülü ile bulunur. Burada \( x_0 = -\frac{0}{2(-1)} = 0 \) olur. Ordinatı ise \( f(0) = -(0)^2 + 4 = 4 \) olur. Dolayısıyla tepe noktası \( (0, 4) \)'tür.
Grafik Yorumu: \( a=-1 \) negatif olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Fonksiyonun en büyük değeri tepe noktasındadır, yani \( f(0) = 4 \).
Grafik Çizimi: Tepe noktasını ve birkaç ek noktayı kullanarak çizim yapabiliriz:
Tepe Noktası: \( (0, 4) \)
\( x = 1 \implies f(1) = -(1)^2 + 4 = 3 \)
\( x = -1 \implies f(-1) = -(-1)^2 + 4 = 3 \)
\( x = 2 \implies f(2) = -(2)^2 + 4 = 0 \)
\( x = -2 \implies f(-2) = -(-2)^2 + 4 = 0 \)
Bu noktaları birleştirerek aşağı doğru açılan bir parabol elde ederiz.
✅ Sonuç: Tepe noktası \( (0, 4) \) olan ve kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.
Örnek 3:
\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için gereken temel bilgileri belirleyelim.
Çözüm:
Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=-4, c=3 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2 \) olur. Ordinatı ise \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \) olur. Tepe noktası \( (2, -1) \)'dir.
Kolların Yönü: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
Y eksenini Kestiği Nokta: \( x=0 \) için \( f(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3 \). Nokta \( (0, 3) \)'tür.
👉 Özet: Tepe noktası \( (2, -1) \), kolları yukarı doğru, y eksenini \( (0, 3) \) noktasında ve x eksenini \( (1, 0) \) ile \( (3, 0) \) noktalarında kesen bir paraboldür.
Örnek 4:
\( f(x) = -2x^2 + 8x - 6 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim ve tepe noktasının koordinatlarını bulalım.
Çözüm:
Bu fonksiyonumuzda \( a=-2, b=8, c=-6 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2 \) olur. Ordinatı ise \( f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 6 = -2(4) + 16 - 6 = -8 + 16 - 6 = 2 \) olur. Tepe noktası \( (2, 2) \)'dir.
Kolların Yönü: \( a=-2 \) negatif olduğu için kollar aşağı doğrudur.
Y Ekseni Kesişim Noktası: \( x=0 \) için \( f(0) = -2(0)^2 + 8(0) - 6 = -6 \). Nokta \( (0, -6) \)'dır.
📌 Önemli: Tepe noktası \( (2, 2) \), kolları aşağı doğru olan bir paraboldür.
Örnek 5:
Bir futbolcunun, topa vurduktan sonra topun havada aldığı yol \( y = -x^2 + 6x \) denklemi ile modellenmektedir. Burada \( x \) yerden yatay uzaklığı, \( y \) ise yerden yüksekliği metre cinsindendir. Topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaştığı yatay uzaklığı bulunuz.
Çözüm:
Topun havada aldığı yol ikinci dereceden bir fonksiyonla ifade edildiği için grafiği bir paraboldür. Bu parabolün tepe noktası, topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği ve bu yüksekliğe ulaştığı yatay uzaklığı verir.
Tepe Noktasının Apsisi: Topun ulaşacağı en yüksek yüksekliğe karşılık gelen yatay uzaklığı bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(-1)} = -\frac{6}{-2} = 3 \) metre.
Tepe Noktasının Ordinatı: Topun ulaşabileceği en yüksek yüksekliği bulmak için \( x=3 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( y_0 = f(3) = -(3)^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9 \) metre.
✅ Sonuç: Top, yerden 3 metre yatay uzaklıkta 9 metre yüksekliğe ulaşır.
Örnek 6:
Bir köprünün kemer şeklindeki yapısı, \( y = -0.01x^2 + 0.4x \) denklemi ile modellenebilir. Burada \( x \) ve \( y \) metre cinsindendir. Köprünün kemerinin yerden en yüksek noktasının yüksekliğini ve bu noktanın ayaklara olan yatay mesafesini bulunuz.
Çözüm:
Köprü kemerinin şekli bir parabol olduğundan, en yüksek noktası parabolün tepe noktasıdır.
Verilen fonksiyon: \( y = -0.01x^2 + 0.4x \). Bu fonksiyonda \( a=-0.01, b=0.4, c=0 \) değerleridir.
Tepe Noktasının Apsisi: Kemerin en yüksek noktasına ulaşan yatay mesafeyi bulmak için tepe noktasının apsisini hesaplarız: \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0.4}{2(-0.01)} = -\frac{0.4}{-0.02} = \frac{0.4}{0.02} = 20 \) metre.
Tepe Noktasının Ordinatı: Kemerin yerden ulaşabileceği en yüksek yüksekliği bulmak için \( x=20 \) değerini fonksiyonda yerine koyarız: \( y_0 = -0.01(20)^2 + 0.4(20) = -0.01(400) + 8 = -4 + 8 = 4 \) metre.
💡 Yorum: Köprü kemerinin en yüksek noktası, ayaklara 20 metre yatay mesafede ve yerden 4 metre yüksekliktedir.
Örnek 7:
\( f(x) = x^2 - 6x + 9 \) fonksiyonunun grafiğini çizelim ve tepe noktasını belirleyelim.
Çözüm:
Bu fonksiyonumuzda \( a=1, b=-6, c=9 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2(1)} = \frac{6}{2} = 3 \) olur. Ordinatı ise \( f(3) = (3)^2 - 6(3) + 9 = 9 - 18 + 9 = 0 \) olur. Tepe noktası \( (3, 0) \)'dır.
Kolların Yönü: \( a=1 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
X Ekseni Kesişim Noktası: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( x^2 - 6x + 9 = 0 \). Bu ifade \( (x-3)^2 = 0 \) şeklinde yazılabilir. Bu durumda tek bir kök vardır, \( x=3 \). Bu, parabolün x eksenine teğet olduğu anlamına gelir.
✅ Sonuç: Tepe noktası \( (3, 0) \) olan ve x eksenine teğet olan, kolları yukarı doğru bir paraboldür.
Örnek 8:
\( f(x) = 3x^2 + 12x + 10 \) fonksiyonunun grafiğini çizmek için gerekli bilgileri ve tepe noktasını bulunuz.
Çözüm:
Bu fonksiyonumuzda \( a=3, b=12, c=10 \) değerleridir.
Tepe Noktası: Apsisi \( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{12}{2(3)} = -\frac{12}{6} = -2 \) olur. Ordinatı ise \( f(-2) = 3(-2)^2 + 12(-2) + 10 = 3(4) - 24 + 10 = 12 - 24 + 10 = -2 \) olur. Tepe noktası \( (-2, -2) \)'dir.
Kolların Yönü: \( a=3 \) pozitif olduğu için kollar yukarı doğrudur.
Y Ekseni Kesişim Noktası: \( x=0 \) için \( f(0) = 3(0)^2 + 12(0) + 10 = 10 \). Nokta \( (0, 10) \)'dur.
X Ekseni Kesişim Noktaları: \( f(x) = 0 \) denklemini çözeriz: \( 3x^2 + 12x + 10 = 0 \). Bu denklemin diskriminantını \( \Delta = b^2 - 4ac \) hesaplayalım: \( \Delta = (12)^2 - 4(3)(10) = 144 - 120 = 24 \). Diskriminant pozitif olduğu için iki farklı gerçek kök vardır. Kökler \( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{24}}{2(3)} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = -2 \pm \frac{\sqrt{6}}{3} \) olur.
📌 Özet: Tepe noktası \( (-2, -2) \), kolları yukarı doğru ve y eksenini \( (0, 10) \) noktasında kesen bir paraboldür.