🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden eşitsizlikler ve sistemleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden eşitsizlikler ve sistemleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
İkinci dereceden bir bilinmeyenli
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\( x^2 - 5x + 6 \leq 0 \)
Çözüm:
Bu tür eşitsizlikleri çözmek için öncelikle eşitsizliği \( = 0 \) yapan kökleri buluruz.
- Adım 1: Kökleri Bulma
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denkleminin köklerini çarpanlara ayırma yöntemiyle bulalım.
\( (x-2)(x-3) = 0 \)
Buradan köklerimiz \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur. 💡 - Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
Bulduğumuz kökleri sayı doğrusuna yerleştirerek katsayıların işaretine göre aralıklara ayırırız. \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğundan en sağdaki aralık (+) ile başlarız.
Sayı doğrusu:
---( + )--- 2 ---( - )--- 3 ---( + )---
- Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizliğimiz \( \leq 0 \) olduğu için negatif (-) olan aralıkları ve kökleri alırız. Kökler dahil olduğu için kapalı aralık kullanırız.
Çözüm kümesi: \( [2, 3] \) olur. ✅
Örnek 2:
Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulunuz:
\( -x^2 + 2x + 8 > 0 \)
\( -x^2 + 2x + 8 > 0 \)
Çözüm:
Bu eşitsizliği çözmek için de öncelikle \( = 0 \) yapan kökleri bulmalıyız.
- Adım 1: Kökleri Bulma
\( -x^2 + 2x + 8 = 0 \) denklemini çözmek için denklemi -1 ile çarpabiliriz:
\( x^2 - 2x - 8 = 0 \)
Çarpanlara ayıralım:
\( (x-4)(x+2) = 0 \)
Köklerimiz \( x_1 = 4 \) ve \( x_2 = -2 \) olarak bulunur. 💡 - Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
Kökleri sayı doğrusuna yerleştirelim. \( x^2 \) teriminin orijinal eşitsizlikteki katsayısı (-1) negatiftir. Bu nedenle en sağdaki aralık (-) ile başlarız.
Sayı doğrusu:
---( - )--- (-2) ---( + )--- 4 ---( - )---
- Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizliğimiz \( > 0 \) olduğu için pozitif (+) olan aralığı alırız. Kökler dahil olmadığı için açık aralık kullanırız.
Çözüm kümesi: \( (-2, 4) \) olur. ✅
Örnek 3:
İkinci dereceden eşitsizlikler sistemi:
\( x^2 - 4 \leq 0 \)
\( x^2 - x - 6 > 0 \)
Sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
\( x^2 - 4 \leq 0 \)
\( x^2 - x - 6 > 0 \)
Sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür sistemlerde her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözüp, kesişim kümelerini bulmalıyız.
- Adım 1: Birinci Eşitsizliği Çözme
\( x^2 - 4 \leq 0 \)
Kökler: \( x^2 = 4 \Rightarrow x = 2 \) veya \( x = -2 \).
İşaret tablosu:---( + )--- (-2) ---( - )--- 2 ---( + )---Çözüm kümesi (1): \( [-2, 2] \) 💡 - Adım 2: İkinci Eşitsizliği Çözme
\( x^2 - x - 6 > 0 \)
Kökler: \( (x-3)(x+2) = 0 \Rightarrow x = 3 \) veya \( x = -2 \).
İşaret tablosu:---( + )--- (-2) ---( - )--- 3 ---( + )---Çözüm kümesi (2): \( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \) 💡 - Adım 3: Kesişim Kümesini Bulma
Her iki çözüm kümesinin kesişimini bulalım.
Ç.K. (1): \( [-2, 2] \)
Ç.K. (2): \( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) \)
Bu iki kümenin ortak elemanı yoktur. Ancak, dikkatli incelediğimizde, birinci eşitsizliğin köklerinden biri olan -2, ikinci eşitsizliğin köküdür ve ikinci eşitsizlikte -2 dahil değildir. Birinci eşitsizlikte -2 dahildir. Bu durumda ortak bir nokta bulamayız.
Sisteminin çözüm kümesi: \( \emptyset \) (Boş Küme). ✅
Örnek 4:
Bir üretim atölyesinde, günlük \( x \) adet ürün üretildiğinde elde edilen kâr (TL cinsinden) \( K(x) = -x^2 + 10x - 9 \) fonksiyonu ile modellenmektedir.
Atölyenin günlük kârının pozitif olması için en az kaç adet ürün üretilmelidir? (Üretilen ürün adedi tam sayıdır.)
Atölyenin günlük kârının pozitif olması için en az kaç adet ürün üretilmelidir? (Üretilen ürün adedi tam sayıdır.)
Çözüm:
Kârın pozitif olması demek, \( K(x) > 0 \) olması demektir. Bu durumu sağlayan \( x \) değerlerini bulmalıyız.
- Adım 1: Kâr Fonksiyonunu Eşitsizlik Olarak Yazma
\( -x^2 + 10x - 9 > 0 \) eşitsizliğini çözmeliyiz. 💡 - Adım 2: Kökleri Bulma
\( -x^2 + 10x - 9 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
\( x^2 - 10x + 9 = 0 \) (Denklemi -1 ile çarptık)
\( (x-1)(x-9) = 0 \)
Köklerimiz \( x_1 = 1 \) ve \( x_2 = 9 \) olarak bulunur. - Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma
Orijinal eşitsizlikte \( x^2 \) teriminin katsayısı negatif olduğu için en sağdan (-) ile başlarız.
---( - )--- 1 ---( + )--- 9 ---( - )--- - Adım 4: Çözüm Kümesini ve Cevabı Belirleme
Eşitsizlik \( > 0 \) olduğu için pozitif aralığı alırız: \( (1, 9) \).
Üretilen ürün adedi tam sayı olmalıdır ve \( x \) ürün adedini temsil eder. Bu durumda \( x \) tam sayı değerleri 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 olabilir.
Kârın pozitif olması için en az üretilmesi gereken ürün adedi, bu aralıktaki en küçük tam sayıdır.
En az üretilmesi gereken ürün adedi: 2 adet. ✅
Örnek 5:
Bir emlak danışmanı, belirli bir bölgedeki evlerin metrekare fiyatlarını analiz ediyor. Elindeki verilere göre, bir evin metrekare fiyatının (TL/m²) \( p \) olması durumunda, o evin satış süresi (gün olarak) \( s(p) = p^2 - 12p + 35 \) fonksiyonu ile ilişkilidir.
Evin satış süresinin 10 günden az olması isteniyorsa, metrekare fiyatı hangi aralıkta olmalıdır?
Evin satış süresinin 10 günden az olması isteniyorsa, metrekare fiyatı hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm:
Satış süresinin 10 günden az olması demek, \( s(p) < 10 \) olması demektir. Bu durumu sağlayan \( p \) değerlerini bulmalıyız.
- Adım 1: Eşitsizliği Kurma
\( p^2 - 12p + 35 < 10 \) eşitsizliğini çözmeliyiz. 💡 - Adım 2: Eşitsizliği Standart Formata Getirme
10'u sol tarafa atarak eşitsizliği \( = 0 \) veya \( > 0 \) formuna getirelim:
\( p^2 - 12p + 25 < 0 \) - Adım 3: Kökleri Bulma
\( p^2 - 12p + 25 = 0 \) denkleminin köklerini ikinci dereceden denklem formülü (delta) ile bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4(1)(25) = 144 - 100 = 44 \)
\( p = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{12 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{12 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 6 \pm \sqrt{11} \)
Köklerimiz \( p_1 = 6 - \sqrt{11} \) ve \( p_2 = 6 + \sqrt{11} \) olarak bulunur. - Adım 4: İşaret Tablosu Oluşturma
\( p^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için en sağdan (+) ile başlarız.
---( + )--- (6 - \sqrt{11}) ---( - )--- (6 + \sqrt{11}) ---( + )--- - Adım 5: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizlik \( < 0 \) olduğu için negatif aralığı alırız.
Çözüm kümesi: \( (6 - \sqrt{11}, 6 + \sqrt{11}) \).
Metrekare fiyatı (TL/m²) bu aralıkta olmalıdır. ✅
Örnek 6:
Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz:
\( x^2 + 3x - 10 \geq 0 \)
\( x^2 - 9 < 0 \)
\( x^2 + 3x - 10 \geq 0 \)
\( x^2 - 9 < 0 \)
Çözüm:
Her bir eşitsizliği ayrı ayrı çözüp kesişimlerini alacağız.
- Adım 1: Birinci Eşitsizliği Çözme
\( x^2 + 3x - 10 \geq 0 \)
Kökler: \( (x+5)(x-2) = 0 \Rightarrow x = -5 \) veya \( x = 2 \).
İşaret tablosu:---( + )--- (-5) ---( - )--- 2 ---( + )---Çözüm kümesi (1): \( (-\infty, -5] \cup [2, \infty) \) 💡 - Adım 2: İkinci Eşitsizliği Çözme
\( x^2 - 9 < 0 \)
Kökler: \( x^2 = 9 \Rightarrow x = 3 \) veya \( x = -3 \).
İşaret tablosu:---( + )--- (-3) ---( - )--- 3 ---( + )---Çözüm kümesi (2): \( (-3, 3) \) 💡 - Adım 3: Kesişim Kümesini Bulma
Ç.K. (1): \( (-\infty, -5] \cup [2, \infty) \)
Ç.K. (2): \( (-3, 3) \)
Bu iki kümenin kesişimi, \( [2, 3) \) aralığıdır. ✅
Örnek 7:
Bir fonksiyonun tanım kümesi, \( f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 5} \) fonksiyonunun gerçek sayılardaki en geniş tanım kümesini bulunuz.
Çözüm:
Fonksiyonun gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için karekök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir, yani sıfıra eşit veya büyük olmalıdır.
- Adım 1: Kök İçini Eşitsizlik Olarak Yazma
\( -x^2 + 6x - 5 \geq 0 \) eşitsizliğini çözmeliyiz. 💡 - Adım 2: Kökleri Bulma
\( -x^2 + 6x - 5 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
\( x^2 - 6x + 5 = 0 \) (Denklemi -1 ile çarptık)
\( (x-1)(x-5) = 0 \)
Köklerimiz \( x_1 = 1 \) ve \( x_2 = 5 \) olarak bulunur. - Adım 3: İşaret Tablosu Oluşturma
Orijinal eşitsizlikte \( x^2 \) teriminin katsayısı negatif olduğu için en sağdan (-) ile başlarız.
---( - )--- 1 ---( + )--- 5 ---( - )--- - Adım 4: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizlik \( \geq 0 \) olduğu için pozitif aralığı ve kökleri alırız. Kökler dahil olduğu için kapalı aralık kullanırız.
Tanım kümesi: \( [1, 5] \). ✅
Örnek 8:
Bir spor malzemeleri üreticisi, ürettiği bir tür futbol topunun maliyetini (TL) \( M(x) = x^2 - 20x + 150 \) fonksiyonu ile, satış fiyatını (TL) ise \( S(x) = -x^2 + 40x + 50 \) fonksiyonu ile ifade etmektedir. Burada \( x \), birim üretim adedini göstermektedir.
Üreticinin kâr etmesi için (yani satış fiyatının maliyetinden yüksek olması için) birim üretim adedi \( x \) hangi aralıkta olmalıdır?
Üreticinin kâr etmesi için (yani satış fiyatının maliyetinden yüksek olması için) birim üretim adedi \( x \) hangi aralıkta olmalıdır?
Çözüm:
Üreticinin kâr etmesi için satış fiyatının maliyetinden yüksek olması gerekir. Yani \( S(x) > M(x) \) olmalıdır.
- Adım 1: Kâr Eşitsizliğini Kurma
\( -x^2 + 40x + 50 > x^2 - 20x + 150 \) eşitsizliğini çözmeliyiz. 💡 - Adım 2: Eşitsizliği Standart Formata Getirme
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak eşitsizliği \( = 0 \) veya \( > 0 \) formuna getirelim:
\( 0 > x^2 - 20x + 150 - (-x^2 + 40x + 50) \)
\( 0 > x^2 - 20x + 150 + x^2 - 40x - 50 \)
\( 0 > 2x^2 - 60x + 100 \)
Eşitsizliği \( 2x^2 - 60x + 100 < 0 \) olarak yazabiliriz. - Adım 3: Sadeleştirme ve Kökleri Bulma
Denklemi 2'ye bölelim: \( x^2 - 30x + 50 < 0 \).
Şimdi \( x^2 - 30x + 50 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.
\( \Delta = b^2 - 4ac = (-30)^2 - 4(1)(50) = 900 - 200 = 700 \)
\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{30 \pm \sqrt{700}}{2} = \frac{30 \pm 10\sqrt{7}}{2} = 15 \pm 5\sqrt{7} \)
Köklerimiz \( x_1 = 15 - 5\sqrt{7} \) ve \( x_2 = 15 + 5\sqrt{7} \) olarak bulunur. - Adım 4: İşaret Tablosu Oluşturma
\( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için en sağdan (+) ile başlarız.
---( + )--- (15 - 5\sqrt{7}) ---( - )--- (15 + 5\sqrt{7}) ---( + )--- - Adım 5: Çözüm Kümesini Belirleme
Eşitsizlik \( < 0 \) olduğu için negatif aralığı alırız.
Çözüm kümesi: \( (15 - 5\sqrt{7}, 15 + 5\sqrt{7}) \).
Üreticinin kâr etmesi için birim üretim adedi bu aralıkta olmalıdır. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ikinci-dereceden-esitsizlikler-ve-sistemleri/sorular