🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar ve grafikleri Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar ve grafikleri Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Bir fonksiyonun grafiği çizilirken, fonksiyonun kökleri (x eksenini kestiği noktalar) ve tepe noktası (parabolün en yüksek veya en düşük noktası) büyük önem taşır.
\( f(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun grafiğini düşünelim. Bu fonksiyonun köklerini ve tepe noktasını bulalım.
\( f(x) = x^2 - 4 \) fonksiyonunun grafiğini düşünelim. Bu fonksiyonun köklerini ve tepe noktasını bulalım.
Çözüm:
- Kökleri Bulma: Fonksiyonun kökleri, \( f(x) = 0 \) denkleminin çözümleridir.
\( x^2 - 4 = 0 \)
\( x^2 = 4 \)
Buradan \( x = 2 \) ve \( x = -2 \) elde ederiz. Yani fonksiyonun kökleri -2 ve 2'dir. 📌 - Tepe Noktasını Bulma: İkinci dereceden bir fonksiyonun tepe noktası \( (r, k) \) formülüyle bulunur.
\( r = -b / (2a) \)
\( k = f(r) \)
Fonksiyonumuz \( f(x) = x^2 - 4 \) için \( a=1, b=0, c=-4 \) 'tür.
\( r = -0 / (2 \times 1) = 0 \)
\( k = f(0) = 0^2 - 4 = -4 \)
Tepe noktası (0, -4)'tür. 👉 - Grafik Yorumu: Parabolün kolları yukarı doğrudur çünkü \( a > 0 \). Kökler x eksenini -2 ve 2'de, tepe noktası ise y eksenini -4'te keser. ✅
Örnek 2:
\( f(x) = -x^2 + 6x - 5 \) fonksiyonunun grafiği çizilecektir. Bu parabolün tepe noktasının koordinatlarını ve grafiğin y eksenini kestiği noktayı bulunuz.
Çözüm:
- Tepe Noktasının x-koordinatı (r):
\( r = -b / (2a) \)
Fonksiyonumuzda \( a = -1, b = 6, c = -5 \) 'tir.
\( r = -6 / (2 \times -1) = -6 / -2 = 3 \) 💡 - Tepe Noktasının y-koordinatı (k): Tepe noktasının y-koordinatını bulmak için \( r \) değerini fonksiyonda yerine koyarız.
\( k = f(3) = -(3)^2 + 6(3) - 5 \)
\( k = -9 + 18 - 5 \)
\( k = 4 \)
Dolayısıyla tepe noktası (3, 4)'tür. 📌 - Y Ekseni Kesişim Noktası: Bir fonksiyonun y eksenini kestiği nokta, x=0 iken fonksiyonun aldığı değerdir.
\( f(0) = -(0)^2 + 6(0) - 5 = -5 \)
Parabol y eksenini (0, -5) noktasında keser. 👉 - Grafik Yorumu: \( a = -1 \) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur. Tepe noktası (3, 4) ve y eksenini (0, -5)'te keser. ✅
Örnek 3:
Bir çiftçi, elindeki 40 metre tel ile dikdörtgen şeklinde bir alan çevirecektir. Çiftçinin çevireceği alanın en büyük olmasını istiyor. Bu alanın boyutları ne olmalıdır?
Çözüm:
- Problem Kurulumu: Dikdörtgenin kenar uzunlukları \( x \) ve \( y \) olsun.
Çevre: \( 2x + 2y = 40 \) metre.
Buradan \( x + y = 20 \) elde ederiz.
Alan: \( A = x \times y \)
Amacımız alanı maksimize etmek. 💡 - Alan Fonksiyonunu Tek Değişkene İndirgeme: \( y = 20 - x \) ifadesini alan denkleminde yerine koyalım.
\( A(x) = x(20 - x) \)
\( A(x) = 20x - x^2 \)
Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür. 📌 - Maksimum Alanı Bulma (Tepe Noktası): Alanı maksimize eden \( x \) değeri, \( A(x) \) fonksiyonunun tepe noktasının x-koordinatıdır.
\( a = -1, b = 20 \)
\( x = -b / (2a) = -20 / (2 \times -1) = -20 / -2 = 10 \) metre.
Bu, dikdörtgenin bir kenar uzunluğudur. 👉 - Diğer Kenar Uzunluğunu Bulma: \( y = 20 - x \) denkleminden
\( y = 20 - 10 = 10 \) metre.
En büyük alan için dikdörtgenin kenar uzunlukları 10 metreye 10 metre olmalıdır (yani bir kare). ✅ - Maksimum Alan: \( A = 10 \times 10 = 100 \) metrekare.
Örnek 4:
Bir top, yerden \( h(t) = -5t^2 + 20t \) formülü ile verilen yükseklikte (metre) \( t \) saniye sonra havada bulunmaktadır.
a) Top kaç saniye sonra yere düşer?
b) Topun çıktığı en yüksek nokta kaç metredir?
a) Top kaç saniye sonra yere düşer?
b) Topun çıktığı en yüksek nokta kaç metredir?
Çözüm:
- a) Topun Yere Düşmesi: Topun yere düştüğü anda yüksekliği 0 olur. Yani \( h(t) = 0 \) denklemini çözmeliyiz.
\( -5t^2 + 20t = 0 \)
\( 5t(-t + 4) = 0 \)
Buradan \( 5t = 0 \) veya \( -t + 4 = 0 \) elde ederiz.
\( t = 0 \) (başlangıç anı) veya \( t = 4 \) saniye.
Top 4 saniye sonra yere düşer. 📌 - b) En Yüksek Nokta: Topun çıktığı en yüksek nokta, \( h(t) \) fonksiyonunun tepe noktasının y-koordinatıdır.
Tepe noktasının x-koordinatı (zaman): \( t = -b / (2a) \)
Fonksiyonumuzda \( a = -5, b = 20 \)
\( t = -20 / (2 \times -5) = -20 / -10 = 2 \) saniye.
Top 2 saniye sonra en yüksek noktasına ulaşır. 👉 - Maksimum Yüksekliği Hesaplama: Bulduğumuz \( t = 2 \) değerini yükseklik formülünde yerine koyalım.
\( h(2) = -5(2)^2 + 20(2) \)
\( h(2) = -5(4) + 40 \)
\( h(2) = -20 + 40 = 20 \) metre.
Topun çıktığı en yüksek nokta 20 metredir. ✅
Örnek 5:
Bir sinema salonunda bilet fiyatı 10 TL olduğunda günde ortalama 120 izleyici gelmektedir. Bilet fiyatı her 1 TL arttığında, izleyici sayısı 4 kişi azalmaktadır.
a) Günlük geliri veren fonksiyonu bulunuz.
b) Günlük gelirin en fazla olması için bilet fiyatı kaç TL olmalıdır?
a) Günlük geliri veren fonksiyonu bulunuz.
b) Günlük gelirin en fazla olması için bilet fiyatı kaç TL olmalıdır?
Çözüm:
- a) Günlük Gelir Fonksiyonu:
Bilet fiyatı \( x \) TL olsun.
Başlangıç fiyatı 10 TL ve her 1 TL artışta izleyici 4 kişi azalıyor.
İzleyici sayısı: \( 120 - 4x \)
Günlük Gelir \( G(x) \) = (Bilet Fiyatı) \( \times \) (İzleyici Sayısı)
\( G(x) = x(120 - 4x) \)
\( G(x) = 120x - 4x^2 \)
Bu, ikinci dereceden bir fonksiyondur. 💡 - b) Maksimum Gelir İçin Bilet Fiyatı: Gelir fonksiyonunun tepe noktasının x-koordinatı, maksimum geliri veren bilet fiyatını bulmamızı sağlar.
Fonksiyonumuz \( G(x) = -4x^2 + 120x \)
\( a = -4, b = 120 \)
Bilet fiyatı \( x = -b / (2a) = -120 / (2 \times -4) = -120 / -8 = 15 \) TL.
Günlük gelirin en fazla olması için bilet fiyatı 15 TL olmalıdır. 📌 - Maksimum Gelir (İsteğe Bağlı):
\( G(15) = 15(120 - 4 \times 15) = 15(120 - 60) = 15 \times 60 = 900 \) TL. ✅
Örnek 6:
\( f(x) = 2x^2 + 8x + 6 \) fonksiyonunun grafiği hakkında bilgi veriniz. Özellikle tepe noktasının koordinatlarını ve grafiğin x eksenini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm:
- Tepe Noktasının x-koordinatı (r):
\( a = 2, b = 8 \)
\( r = -b / (2a) = -8 / (2 \times 2) = -8 / 4 = -2 \) 💡 - Tepe Noktasının y-koordinatı (k):
\( k = f(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) + 6 \)
\( k = 2(4) - 16 + 6 \)
\( k = 8 - 16 + 6 = -2 \)
Tepe noktası (-2, -2)'dir. 📌 - Kökleri Bulma: \( f(x) = 0 \) denklemini çözelim.
\( 2x^2 + 8x + 6 = 0 \)
Denklemi 2'ye bölelim: \( x^2 + 4x + 3 = 0 \)
Çarpanlarına ayıralım: \( (x+1)(x+3) = 0 \)
Kökler \( x = -1 \) ve \( x = -3 \) 'tür. 👉 - Grafik Yorumu: \( a = 2 > 0 \) olduğundan parabolün kolları yukarı doğrudur. Tepe noktası (-2, -2) ve x eksenini -1 ve -3 noktalarında keser. ✅
Örnek 7:
Bir sporcu, bir topu yerden \( f(x) = -x^2 + 12x \) denklemiyle verilen parabol şeklinde fırlatıyor. Burada \( x \) topun yatayda aldığı mesafeyi (metre) ve \( f(x) \) topun yerden yüksekliğini (metre) temsil etmektedir.
Topun ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç metredir?
Topun ulaşabileceği en büyük yükseklik kaç metredir?
Çözüm:
- Problem Analizi: Topun yüksekliğini veren \( f(x) = -x^2 + 12x \) denklemi, ikinci dereceden bir fonksiyondur ve grafiği bir paraboldür. Topun ulaşabileceği en büyük yükseklik, bu parabolün tepe noktasının y-koordinatıdır. 💡
- Tepe Noktasının x-koordinatı (Yatay Mesafe): Tepe noktasının x-koordinatı, topun en yüksek noktaya ulaştığı yatay mesafeyi verir.
\( a = -1, b = 12 \)
\( x = -b / (2a) = -12 / (2 \times -1) = -12 / -2 = 6 \) metre.
Top 6 metre yatay mesafede en yüksek noktasına ulaşır. 📌 - Tepe Noktasının y-koordinatı (Maksimum Yükseklik): Bulduğumuz \( x = 6 \) değerini yükseklik fonksiyonunda yerine koyarak maksimum yüksekliği hesaplarız.
\( f(6) = -(6)^2 + 12(6) \)
\( f(6) = -36 + 72 \)
\( f(6) = 36 \) metre.
Topun ulaşabileceği en büyük yükseklik 36 metredir. ✅
Örnek 8:
Bir firma, ürettiği bir ürün için maliyet fonksiyonunu \( C(x) = x^2 - 10x + 30 \) ve satış fiyatını \( P(x) = -x + 15 \) olarak belirlemiştir. Burada \( x \) üretilen ürün adedini temsil etmektedir.
Firma, karını maksimize etmek istemektedir. Kar fonksiyonunu bulunuz ve karın en fazla olması için kaç ürün üretilmelidir?
Firma, karını maksimize etmek istemektedir. Kar fonksiyonunu bulunuz ve karın en fazla olması için kaç ürün üretilmelidir?
Çözüm:
- Kar Fonksiyonunu Bulma: Kar, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla bulunur.
Toplam Gelir \( R(x) = x \times P(x) \)
\( R(x) = x(-x + 15) = -x^2 + 15x \)
Kar \( K(x) = R(x) - C(x) \)
\( K(x) = (-x^2 + 15x) - (x^2 - 10x + 30) \)
\( K(x) = -x^2 + 15x - x^2 + 10x - 30 \)
\( K(x) = -2x^2 + 25x - 30 \)
Bu, karı veren ikinci dereceden fonksiyondur. 💡 - Karın Maksimize Edilmesi: Kar fonksiyonunun tepe noktasının x-koordinatı, karı maksimize eden ürün adedini verir.
\( a = -2, b = 25 \)
Üretilmesi gereken ürün adedi \( x = -b / (2a) = -25 / (2 \times -2) = -25 / -4 = 6.25 \)
Ürün adedi tam sayı olmalıdır. Bu durumda en yakın tam sayılar 6 veya 7'dir. Genellikle bu tür durumlarda en yakın tam sayılar denenerek maksimum kar bulunur. Ancak müfredat gereği tam sayı kabul edelim. En yakın tam sayı 6'dır. 📌 - Maksimum Karı Hesaplama (İsteğe Bağlı):
\( K(6) = -2(6)^2 + 25(6) - 30 = -2(36) + 150 - 30 = -72 + 150 - 30 = 48 \) TL.
\( K(7) = -2(7)^2 + 25(7) - 30 = -2(49) + 175 - 30 = -98 + 175 - 30 = 47 \) TL.
En yakın tam sayı olarak 6 ürün üretilmelidir. ✅
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ikinci-dereceden-bir-degiskenli-fonksiyonlar-ve-grafikleri/sorular