📄 11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden bir değişkenli fonksiyonlar ve grafikleri Çalışma Kağıdı

💡 Çözüm Adımları:

Çözüm:

1. Tepe Noktası (T(r, k)):

Öncelikle tepe noktasının apsisini (r) bulalım: \(r = -\frac{b}{2a}\). Verilen fonksiyonda \(a = 1\) ve \(b = -4\) olduğundan:

\(r = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2\)

Şimdi tepe noktasının ordinatını (k) bulalım: \(k = f(r) = f(2)\).

\(k = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9\)

Tepe Noktası: \(T(2, -9)\)



2. Simetri Ekseni:

Simetri ekseni, tepe noktasının apsisinden geçen düşey doğrudur. Bu durumda simetri ekseni: \(x = 2\) doğrusudur.



3. y eksenini kestiği nokta:

y eksenini kestiği noktayı bulmak için \(x = 0\) yazarız:

\(f(0) = (0)^2 - 4(0) - 5 = -5\)

y eksenini kestiği nokta: \((0, -5)\)



4. x eksenini kestiği noktalar:

x eksenini kestiği noktaları bulmak için \(f(x) = 0\) denklemini çözeriz:

\(x^2 - 4x - 5 = 0\)

Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:

\((x - 5)(x + 1) = 0\)

Buradan \(x_1 = 5\) ve \(x_2 = -1\) bulunur.

x eksenini kestiği noktalar: \((5, 0)\) ve \((-1, 0)\)



Grafik bu noktalar kullanılarak çizilir. Parabolün kolları \(a = 1 > 0\) olduğu için yukarı doğrudur.

💡 Çözüm Adımları:

Çözüm:

Tepe noktası \(T(r, k)\) bilinen bir parabolün denklemi \(y = a(x - r)^2 + k\) şeklindedir.

Verilen tepe noktası \(T(2, 5)\) olduğundan, \(r = 2\) ve \(k = 5\) değerlerini yerine koyalım:

\(y = a(x - 2)^2 + 5\)



Parabol \((0, 1)\) noktasından geçtiği için bu noktanın koordinatlarını denklemde yerine yazarak \(a\) değerini bulabiliriz:

\(1 = a(0 - 2)^2 + 5\)

\(1 = a(-2)^2 + 5\)

\(1 = 4a + 5\)

\(1 - 5 = 4a\)

\(-4 = 4a\)

\(a = -1\)



Şimdi \(a\) değerini parabol denkleminde yerine yazalım:

\(y = -1(x - 2)^2 + 5\)

Denklemi açarak genel formu elde edelim:

\(y = -(x^2 - 4x + 4) + 5\)

\(y = -x^2 + 4x - 4 + 5\)

\(y = -x^2 + 4x + 1\)



Bu parabolün denklemi \(y = -x^2 + 4x + 1\) şeklindedir.

💡 Çözüm Adımları:

Çözüm:

Bahçenin bir kenarı duvarla çevrili olduğu için, diğer üç kenarı tel ile çevrilecektir. Dikdörtgenin kenar uzunluklarını \(x\) ve \(y\) olarak adlandıralım. Duvarın olduğu kenar \(y\) olsun. Bu durumda, tel ile çevrilen kenarlar \(x\), \(y\) ve \(x\) olacaktır.



Kullanılan telin toplam uzunluğu 100 metre olduğuna göre:

\(x + y + x = 100\)

\(2x + y = 100\)

Bu denklemden \(y\) değerini \(x\) cinsinden ifade edelim:

\(y = 100 - 2x\)



Bahçenin alanı \(A\) ise, \(A = x \cdot y\) formülüyle bulunur. \(y\) yerine \(100 - 2x\) yazalım:

\(A(x) = x(100 - 2x)\)

\(A(x) = 100x - 2x^2\)



Bu bir ikinci dereceden fonksiyondur (\(A(x) = -2x^2 + 100x\)). \(a = -2 < 0\) olduğu için parabolün kolları aşağı doğrudur ve bu fonksiyonun bir maksimum değeri vardır. Maksimum alanı bulmak için tepe noktasının apsisini (r) bulup fonksiyonda yerine yazmalıyız.



Tepe noktasının apsisi \(r = -\frac{b}{2a}\) formülüyle bulunur. Burada \(a = -2\) ve \(b = 100\) dir:

\(r = -\frac{100}{2 \cdot (-2)} = -\frac{100}{-4} = 25\)



Bu, bahçenin alanının maksimum olması için \(x\) kenarının 25 metre olması gerektiği anlamına gelir. Şimdi bu \(x\) değeri için maksimum alanı bulalım:

\(A_{maks} = A(25) = 100(25) - 2(25)^2\)

\(A_{maks} = 2500 - 2(625)\)

\(A_{maks} = 2500 - 1250\)

\(A_{maks} = 1250\)



Bahçenin alanı en fazla 1250 metrekare olabilir.