💡 11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizliklerin çözüm kümesi bulma Çözümlü Örnekler

Eşitsizliği çözmek için şu adımları takip edelim:

• 1. Adım: Eşitsizliği denklem gibi düşünerek köklerini bulalım.
  \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)
  \( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
  Buradan kökler: \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur.
• 2. Adım: İşaret tablosunu inceleyelim.
  En yüksek dereceli terim olan \( x^2 \)'nin katsayısı pozitif (+) olduğu için tabloya en sağdan (+) ile başlanır.
• 3. Adım: Kökler arasında işaret değişir:
  - \( (3, \infty) \) aralığında: +
  - \( (2, 3) \) aralığında: -
  - \( (-\infty, 2) \) aralığında: +
• 4. Adım: Soru bizden ifadenin 0'dan küçük (\( < 0 \)) olduğu yerleri istediği için negatif bölgeyi seçeriz.

✅ Çözüm Kümesi: \( Ç.K. = (2, 3) \)

Adım adım çözüm:

• 1. Adım: Denklemin köklerini bulalım.
  \( -x^2 + 4x + 5 = 0 \) denklemini \( -1 \) ile çarpalım:
  \( x^2 - 4x - 5 = 0 \)
  \( (x - 5)(x + 1) = 0 \)
  Kökler: \( x_1 = -1 \) ve \( x_2 = 5 \).
• 2. Adım: İşaret belirleme.
  Orijinal eşitsizlikte \( x^2 \)'nin katsayısı negatif (-) olduğu için tabloya en sağdan (-) ile başlanır.
• 3. Adım: İşaret tablosu dizilimi:
  - \( (5, \infty) \) aralığı: -
  - \( [-1, 5] \) aralığı: +
  - \( (-\infty, -1) \) aralığı: -
• 4. Adım: Eşitsizlik \( \geq 0 \) dediği için pozitif bölgeyi ve kökleri (dahillik olduğu için) alırız.

✅ Çözüm Kümesi: \( Ç.K. = [-1, 5] \)

Bu soruda çift katlı kök durumuna dikkat etmeliyiz:

• 1. Adım: Kökleri bulalım.
  \( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
  \( (x - 3)^2 = 0 \)
  Burada \( x = 3 \) çift katlı köktür.
• 2. Adım: İşaret incelemesi.
  \( x^2 \)'nin katsayısı (+) olduğu için en sağdan (+) ile başlanır. Çift katlı köklerde işaret değişmez.
• 3. Adım: Tablo durumu:
  - \( (3, \infty) \) aralığı: +
  - \( (-\infty, 3) \) aralığı: +
• 4. Adım: Eşitsizlik \( \leq 0 \) (sıfırdan küçük veya eşit) olmasını istiyor. İfade hiçbir zaman negatif olamaz, sadece \( x = 3 \) için sıfıra eşit olur.

✅ Çözüm Kümesi: \( Ç.K. = \{3\} \)

Diskriminant (\( \Delta \)) durumunu kontrol edelim:

• 1. Adım: \( \Delta = b^2 - 4ac \) formülünü uygulayalım.
  \( a = 1, b = 2, c = 5 \)
  \( \Delta = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 \)
• 2. Adım: \( \Delta < 0 \) olduğu için denklemin gerçek kökü yoktur.
• 3. Adım: İşaret tablosu.
  Kök olmadığı için tablo tek bir bölgeden oluşur. \( x^2 \)'nin katsayısı (+) olduğu için tüm tablo (+) işaretlidir.
• 4. Adım: Eşitsizlik \( > 0 \) durumunu sorduğu için tüm gerçek sayılar bu şartı sağlar.

✅ Çözüm Kümesi: \( Ç.K. = \mathbb{R} \) (Tüm gerçek sayılar)

💡 İpucu: Bu tür sorularda her bir parantezi sıfıra eşitleyerek kökleri buluruz.

• 1. Adım: Kökler:
  \( x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4 \)
  \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \)
• 2. Adım: İşaret belirleme.
  Parantezlerin içindeki \( x \)'lerin katsayıları çarpımı \( (+) \cdot (+) = (+) \) olduğu için en sağdan (+) ile başlanır.
• 3. Adım: İşaret tablosu:
  - \( [4, \infty) \) aralığı: +
  - \( (-2, 4) \) aralığı: -
  - \( (-\infty, -2] \) aralığı: +
• 4. Adım: \( \geq 0 \) istendiği için pozitif kısımlar birleştirilir.

✅ Çözüm Kümesi: \( Ç.K. = (-\infty, -2] \cup [4, \infty) \)

Katsayıları dikkatli kullanarak çözelim:

• 1. Adım: Çarpanlara ayırma.
  \( 2x^2 - 7x + 3 = (2x - 1)(x - 3) = 0 \)
  Kökler: \( x_1 = 1/2 \) ve \( x_2 = 3 \).
• 2. Adım: İşaret tablosu.
  \( 2x^2 \) pozitif olduğu için sağdan (+) ile başlanır.
  - \( (3, \infty) \) aralığı: +
  - \( [1/2, 3] \) aralığı: -
  - \( (-\infty, 1/2) \) aralığı: +
• 3. Adım: \( \leq 0 \) aralığı \( [1/2, 3] \) kapalı aralığıdır.
• 4. Adım: Bu aralıktaki tam sayılar: \( 1, 2, 3 \).

✅ Cevap: En küçük pozitif tam sayı 1'dir.

Günlük hayat problemini matematiksel eşitsizliğe dönüştürelim:

• 1. Adım: İstenen durum: \( h(t) > 12 \)
  \( -t^2 + 8t > 12 \)
  Tüm terimleri sağa toplayalım:
  \( 0 > t^2 - 8t + 12 \) yani \( t^2 - 8t + 12 < 0 \)
• 2. Adım: Kökleri bulalım.
  \( (t - 2)(t - 6) = 0 \)
  Kökler: \( t = 2 \) ve \( t = 6 \).
• 3. Adım: İşaret tablosu.
  \( t^2 \)'nin katsayısı (+) olduğu için sağdan (+) ile başlanır.
  - \( (6, \infty) \): +
  - \( (2, 6) \): -
  - \( (-\infty, 2) \): +
• 4. Adım: Bizden \( < 0 \) olan bölge isteniyordu.

✅ Cevap: Roket 2. ve 6. saniyeler arasında 12 metreden yüksektedir.

Geometrik sınırlamaları unutmadan çözelim:

• 1. Adım: Alan formülü: \( x \cdot (x - 3) < 10 \)
  \( x^2 - 3x - 10 < 0 \)
• 2. Adım: Kökleri bulalım.
  \( (x - 5)(x + 2) = 0 \)
  Kökler: \( x = 5 \) ve \( x = -2 \).
• 3. Adım: İşaret tablosuna göre \( (-2, 5) \) aralığı elde edilir.
• 4. Adım: ⚠️ Kritik Uyarı: Uzunluk negatif olamaz!
  \( x > 0 \) ve \( x - 3 > 0 \) olmalıdır.
  Buradan \( x > 3 \) şartı gelir.
• 5. Adım: İki şartı birleştirelim:
  \( x \in (-2, 5) \) ve \( x > 3 \)

✅ Çözüm Kümesi: \( Ç.K. = (3, 5) \)