🎓 11. Sınıf
📚 11. Sınıf Matematik
💡 11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik Çözümlü Örnekler
11. Sınıf Matematik: İkinci dereceden bir bilinmeyenli eşitsizlik Çözümlü Örnekler
Örnek 1:
Aşağıdaki ikinci dereceden eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulunuz:
\( x^2 - 5x + 6 \le 0 \)
\( x^2 - 5x + 6 \le 0 \)
Çözüm:
Bu tür eşitsizlikleri çözmek için öncelikle eşitsizliği \( = 0 \) yapan kökleri bulmalıyız.
- Adım 1: Kökleri Bulma
\( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denklemini çarpanlarına ayıralım.
\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)
Buradan köklerimiz \( x_1 = 2 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur. 💡 - Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
Kökleri küçükten büyüğe doğru sıralayarak bir işaret tablosu oluşturalım. Katsayısı \( x^2 \) pozitif olduğu için en sağdan (+) ile başlarız ve kökleri gördükçe işaret değiştiririz.
x | -∞ 2 3 +∞ --|---------------------------- x²-5x+6 | + 0 - 0 +
Bu tablo, \( x^2 - 5x + 6 \) ifadesinin işaretini gösterir. ✅ - Adım 3: Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme
Bizim eşitsizliğimiz \( x^2 - 5x + 6 \le 0 \) olduğundan, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları arıyoruz. İşaret tablosuna göre bu aralık \( [2, 3] \) 'tür. 👉 - Adım 4: Tam Sayı Çözümlerini Bulma
\( [2, 3] \) aralığındaki tam sayılar 2 ve 3'tür.
Bu nedenle, eşitsizliği sağlayan tam sayılar 2 ve 3'tür. 💯
Örnek 2:
\( -x^2 + 4x - 3 > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu eşitsizliği çözmek için de öncelikle \( = 0 \) yapan kökleri bulacağız ve işaret tablosu kullanacağız.
- Adım 1: Kökleri Bulma
\( -x^2 + 4x - 3 = 0 \) denklemini çözelim. Denklemi \( -1 \) ile çarparak \( x^2 \) terimini pozitif yapabiliriz: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \)
Çarpanlarına ayırdığımızda: \( (x - 1)(x - 3) = 0 \)
Köklerimiz \( x_1 = 1 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur. 💡 - Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
Orijinal ifademiz \( -x^2 + 4x - 3 \) olduğundan, \( x^2 \) teriminin katsayısı negatiftir (-1). Bu nedenle işaret tablosuna sağdan (-) ile başlarız.
x | -∞ 1 3 +∞ --|---------------------------- -x²+4x-3 | - 0 + 0 -
Bu tablo, \( -x^2 + 4x - 3 \) ifadesinin işaretini gösterir. ✅ - Adım 3: Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme
Eşitsizliğimiz \( -x^2 + 4x - 3 > 0 \) olduğundan, ifadenin pozitif olduğu aralığı arıyoruz. İşaret tablosuna göre bu aralık \( (1, 3) \) 'tür. Eşitsizlikte \( > \) olduğu için kökler dahil değildir. 👉 - Adım 4: Çözüm Kümesini Yazma
Çözüm kümesi, eşitsizliği sağlayan tüm \( x \) değerlerini içeren kümedir. Bu durumda çözüm kümesi \( (1, 3) \) 'tür. 💯
Örnek 3:
\( \frac{x-1}{x^2-4} \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu tür kesirli eşitsizliklerde hem payın hem de paydanın köklerini bulup işaret tablosunda birleştirmeliyiz. Paydanın kökleri çözüm kümesine asla dahil edilmez. 📌
- Adım 1: Payın Kökünü Bulma
Pay: \( x - 1 = 0 \implies x = 1 \). - Adım 2: Paydanın Köklerini Bulma
Payda: \( x^2 - 4 = 0 \implies (x - 2)(x + 2) = 0 \). Kökler \( x = 2 \) ve \( x = -2 \). - Adım 3: Kökleri Sıralama ve İşaret Tablosu Oluşturma
Tüm kökleri küçükten büyüğe sıralayalım: \( -2, 1, 2 \).
Şimdi her bir ifadenin işaretini ve bölümün işaretini inceleyelim.
x | -∞ -2 1 2 +∞ ----------|----------------------------- x-1 | - | - 0 + | + x²-4 | + 0 - | - 0 + (x-1)/(x²-4)| - ∞ + 0 - ∞ -
Burada \( \infty \) ile gösterilen yerler paydanın sıfır olduğu noktalardır ve bu noktalar çözüm kümesine dahil edilemez. ✅ - Adım 4: Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme
Eşitsizliğimiz \( \frac{x-1}{x^2-4} \le 0 \) olduğundan, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları arıyoruz. İşaret tablosuna göre bu aralıklar \( (-\infty, -2) \), \( [1, 2) \) 'dir. \( x=1 \) payın kökü olduğu için dahil edilir, ancak \( x=-2 \) ve \( x=2 \) paydanın kökü olduğu için dahil edilmez. 👉 - Adım 5: Çözüm Kümesini Yazma
Çözüm kümesi \( (-\infty, -2) \cup [1, 2) \) 'dir. 💯
Örnek 4:
Bir spor salonunda, bir aylık üyelik ücreti \( x \) TL olarak belirlenmiştir. Salonun gelirinin, giderini aşması için gereken \( x \) değerlerinin çözüm kümesi \( (50, 100) \) olarak bulunmuştur. Buna göre, salonun bir aylık gideri \( G \) ve gelirinin \( R \) olduğu durumda, gelir ve gider arasındaki ilişkiyi ifade eden ikinci dereceden eşitsizliği yazınız.
Çözüm:
Bu soruda, gelir ve gider arasındaki ilişkiyi ifade eden ikinci dereceden bir eşitsizlik oluşturmamız isteniyor. Çözüm kümesinin \( (50, 100) \) olması, belirli bir aralıktaki üyelik ücretiyle gelirin gideri aşacağını gösterir.
- Adım 1: Gelir ve Giderin İlişkisini Kurma
Soruda gelirinin giderini aşması gerektiği belirtilmiş. Bu matematiksel olarak \( R > G \) şeklinde ifade edilir. - Adım 2: Gelir Fonksiyonunu Belirleme
Aylık üyelik ücreti \( x \) TL ise ve bu ücretle gelir elde ediliyorsa, gelir fonksiyonu genellikle \( R(x) \) şeklinde olur. Soruda doğrudan bir fonksiyon verilmemiş ancak çözüm kümesi üzerinden bir çıkarım yapabiliriz. Gelirin gideri aşması için \( x \) değerlerinin \( (50, 100) \) aralığında olması gerekiyor. Bu, gelirin giderden daha fazla olduğu durumları temsil eder. - Adım 3: Gider Fonksiyonunu Belirleme
Gider fonksiyonu \( G(x) \) şeklinde olacaktır. Soruda \( R > G \) eşitsizliğinin çözüm kümesinin \( (50, 100) \) olduğu bilgisi verilmiş. Bu, \( R(x) - G(x) > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesinin \( (50, 100) \) olduğu anlamına gelir. - Adım 4: İkinci Dereceden Eşitsizliği Oluşturma
Çözüm kümesi \( (50, 100) \) olan bir ikinci dereceden eşitsizliğin genel formu \( a(x-50)(x-100) < 0 \) veya \( a(x-50)(x-100) > 0 \) şeklinde olabilir. Çözüm kümesi \( (50, 100) \) ise, bu aralıkta ifadenin pozitif olması gerekir (eğer \( a<0 \) ise) veya negatif olması gerekir (eğer \( a>0 \) ise). Genellikle gelir-gider farkı pozitif olduğunda gelir gideri aşar. Bu durumda, \( x^2 \) teriminin katsayısının negatif olduğunu varsayabiliriz, çünkü aralıkta pozitif değerler alıyor.
Birinci dereceden kökler \( x=50 \) ve \( x=100 \) olan bir ifadeyi \( (x-50)(x-100) \) şeklinde yazabiliriz. Bu ifadenin grafiği bir paraboldür ve kökleri 50 ve 100'dür. Eğer \( x^2 \) teriminin katsayısı negatif ise, bu parabol 50 ile 100 arasında pozitif değerler alır.
Dolayısıyla, gelir \( R \) ve gider \( G \) arasındaki ilişkiyi ifade eden ikinci dereceden eşitsizlik, \( R(x) - G(x) \) farkının pozitif olduğu durumu temsil eder. Bu farkın \( x^2 \) teriminin katsayısı negatif olan bir ikinci dereceden fonksiyon olduğunu varsayarsak, eşitsizlik şu şekilde olabilir:
\( -x^2 + 150x - 5000 < 0 \)
Bu eşitsizliğin kökleri \( x=50 \) ve \( x=100 \) 'dür. \( x^2 \) teriminin katsayısı negatif olduğu için, bu eşitsizlik \( (50, 100) \) aralığında sağlanır. Bu da gelirin gideri aştığı durumu ifade eder. 💯
Örnek 5:
Bir çiftçi, tarlasında yetiştirdiği domateslerin kilosunu \( x \) TL'den satmaktadır. Çiftçinin bir haftalık maliyeti \( M \) TL ve toplam geliri \( G \) TL'dir. Çiftçinin kar etmesi için gereken \( x \) değerlerinin çözüm kümesi \( (2.5, 5) \) olarak bulunmuştur. Buna göre, çiftçinin kar etmesini sağlayan maliyet ve gelir arasındaki ilişkiyi ifade eden ikinci dereceden eşitsizliği yazınız.
Çözüm:
Bu soruda, çiftçinin kar etmesi durumunu ifade eden ikinci dereceden bir eşitsizlik oluşturacağız. Kar, gelirden maliyetin çıkarılmasıyla bulunur ve karın pozitif olması gerekir.
- Adım 1: Karın Matematiksel İfadesi
Kar \( = Gelir - Maliyet \). Çiftçinin kar etmesi demek, Kar \( > 0 \) olması demektir. Yani, \( G > M \). - Adım 2: Çözüm Kümesi Bilgisi
Soruda, kar etmesini sağlayan \( x \) değerlerinin çözüm kümesinin \( (2.5, 5) \) olduğu belirtilmiş. Bu, \( G(x) - M(x) > 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesinin \( (2.5, 5) \) olduğu anlamına gelir. - Adım 3: İkinci Dereceden Eşitsizliği Oluşturma
Çözüm kümesi \( (2.5, 5) \) olan bir ikinci dereceden eşitsizliğin genel formu \( a(x-2.5)(x-5) > 0 \) veya \( a(x-2.5)(x-5) < 0 \) şeklinde olacaktır. Çiftçinin kar etmesi (gelirin maliyeti aşması) için \( x \) değerlerinin bu aralıkta olması gerekiyor. Bu aralıkta ifadenin pozitif olması gerekir. Eğer \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif ise, \( a(x-2.5)(x-5) > 0 \) şeklinde bir eşitsizlik bu aralıkta sağlanmaz (parabol kolları yukarı doğru olduğu için köklerin dışına pozitif olur). Bu nedenle, \( x^2 \) teriminin katsayısının negatif olduğunu varsaymalıyız.
Köklerimiz 2.5 ve 5 olduğundan, ifadeyi \( (x-2.5)(x-5) \) şeklinde yazabiliriz. Bu ifadenin \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitiftir. Bizim eşitsizliğimizin \( (2.5, 5) \) aralığında pozitif olması gerektiği için, bu ifadeyi negatif bir sabitle çarpmalıyız. Örneğin, \( -1 \) ile çarpalım.
\( -(x-2.5)(x-5) > 0 \)
Bu eşitsizliği açarsak:
\( -(x^2 - 5x - 2.5x + 12.5) > 0 \)
\( -(x^2 - 7.5x + 12.5) > 0 \)
\( -x^2 + 7.5x - 12.5 > 0 \)
Bu eşitsizlik, çiftçinin kar etmesini sağlayan maliyet ve gelir arasındaki ilişkiyi ifade eder. 💯
Örnek 6:
\( x^2 - 9 \ge 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu eşitsizliği çözmek için kökleri bulup işaret tablosu kullanacağız.
- Adım 1: Kökleri Bulma
\( x^2 - 9 = 0 \) denklemini çözelim.
\( x^2 = 9 \)
\( x = \pm 3 \)
Köklerimiz \( x_1 = -3 \) ve \( x_2 = 3 \) olarak bulunur. 💡 - Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
\( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için işaret tablosuna sağdan (+) ile başlarız.
x | -∞ -3 3 +∞ --|-------------------------- x²-9 | + 0 - 0 +
Bu tablo, \( x^2 - 9 \) ifadesinin işaretini gösterir. ✅ - Adım 3: Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme
Eşitsizliğimiz \( x^2 - 9 \ge 0 \) olduğundan, ifadenin pozitif veya sıfır olduğu aralıkları arıyoruz. İşaret tablosuna göre bu aralıklar \( (-\infty, -3] \) ve \( [3, +\infty) \) 'tür. Eşitsizlikte \( \ge \) olduğu için kökler dahildir. 👉 - Adım 4: Çözüm Kümesini Yazma
Çözüm kümesi \( (-\infty, -3] \cup [3, +\infty) \) 'tür. 💯
Örnek 7:
\( (x-1)(x+2) < 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu eşitsizlik zaten çarpanlarına ayrılmış şekilde verilmiş. Kökleri bulup işaret tablosu kullanacağız.
- Adım 1: Kökleri Bulma
Çarpanları ayrı ayrı sıfıra eşitleyerek kökleri bulalım:
\( x - 1 = 0 \implies x = 1 \)
\( x + 2 = 0 \implies x = -2 \)
Köklerimiz \( x_1 = -2 \) ve \( x_2 = 1 \) olarak bulunur. 💡 - Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
İfadeyi açtığımızda \( x^2 + x - 2 \) elde ederiz. \( x^2 \) teriminin katsayısı pozitif olduğu için işaret tablosuna sağdan (+) ile başlarız.
x | -∞ -2 1 +∞ --|-------------------------- (x-1)(x+2)| + 0 - 0 +
Bu tablo, \( (x-1)(x+2) \) ifadesinin işaretini gösterir. ✅ - Adım 3: Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme
Eşitsizliğimiz \( (x-1)(x+2) < 0 \) olduğundan, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz. İşaret tablosuna göre bu aralık \( (-2, 1) \) 'dir. Eşitsizlikte \( < \) olduğu için kökler dahil değildir. 👉 - Adım 4: Çözüm Kümesini Yazma
Çözüm kümesi \( (-2, 1) \) 'dir. 💯
Örnek 8:
\( x^2 - 6x + 9 \le 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesini bulunuz.
Çözüm:
Bu eşitsizlikte dikkat etmemiz gereken bir durum var: ifadenin tam kare olması.
- Adım 1: Kökleri Bulma
\( x^2 - 6x + 9 = 0 \) denklemini çözelim. Bu ifade \( (x-3)^2 \) şeklinde tam kareye eşittir.
\( (x-3)^2 = 0 \)
Buradan tek bir kök elde ederiz: \( x = 3 \). Bu kök çift katlı köktür. 💡 - Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
\( (x-3)^2 \) ifadesi, \( x=3 \) dışında her zaman pozitiftir. Çünkü bir sayının karesi asla negatif olamaz. \( x=3 \) olduğunda ise sıfır olur.
x | -∞ 3 +∞ --|-------------------- (x-3)² | + 0 +
Bu tablo, \( (x-3)^2 \) ifadesinin işaretini gösterir. ✅ - Adım 3: Eşitsizliği Sağlayan Aralıkları Belirleme
Eşitsizliğimiz \( (x-3)^2 \le 0 \) olduğundan, ifadenin negatif veya sıfır olduğu aralıkları arıyoruz. İşaret tablosuna göre ifade sadece \( x=3 \) noktasında sıfır olmaktadır. Negatif olduğu bir aralık yoktur. 👉 - Adım 4: Çözüm Kümesini Yazma
Bu nedenle, eşitsizliği sağlayan tek değer \( x = 3 \) 'tür. Çözüm kümesi \( \{3\} \) 'tür. 💯
Daha Fazla Soru ve İçerik İçin QR Kodu Okutun
https://www.eokultv.com/atolye/11-sinif-matematik-ikinci-dereceden-bir-bilinmeyenli-esitsizlik/sorular